大学物理：力学7刚体

1、刚体 刚体 既考虑物体的质量既考虑物体的质量, 又考虑形状和大小，但忽略又考虑形状和大小，但忽略 其形变的其形变的物体模型物体模型。 刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元 之间相对距离保持不变的质点系。之间相对距离保持不变的质点系。 刚体运动的基本形式 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。 刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。 1. 平动平动 刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。 a. 定轴转动定轴转

2、动 b. 定点转动定点转动 如：门、如：门、 窗的转动等。窗的转动等。 如：陀螺的转动。如：陀螺的转动。 3. 平面运动平面运动 可以分解为刚体随质心的平移和绕质心垂直于运动平可以分解为刚体随质心的平移和绕质心垂直于运动平 面的定轴转动。面的定轴转动。 刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面。刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面。 如：车轮滚动。如：车轮滚动。 可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动。可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动。 4. 刚体的一般运动刚体的一般运动 2. 转动转动 定轴转动的描述 角量 研究方法：研究方法：作定轴转动时，刚体内平行于转轴的直线上作定轴转动时

3、，刚体内平行于转轴的直线上 各点具有相同的运动状态各点具有相同的运动状态(速度和加速度速度和加速度)，因此，只要研，因此，只要研 究刚体内某一究刚体内某一垂直于转轴的平面垂直于转轴的平面(转动平面转动平面)上各点的运动，上各点的运动， 就可了解整个刚体的运动。就可了解整个刚体的运动。 转动平面内：取转心转动平面内：取转心O，参考轴，参考轴x， 1. 刚体的角位置与角位移刚体的角位置与角位移 2. 刚体的角速度刚体的角速度 角加速度角加速度 t d d x O P r 转动平面转动平面 2 2 d d t P点：角位置点：角位置 角位移角位移 3. . 线量与角量的关系：线量与角量的关系： t

4、v at d d 2 2 r r v an 的的单单位位分分别别是是 SI:.rad/srad/s,rad, 2 rvrv 角速度角速度 的方向：的方向： r v / 角加速度的方向：角加速度的方向： 加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。 r t r d d 对于对于匀角加速转动匀角加速转动，则有：，则有： t 0 2 2 1 00 tt )(2 0 2 0 2 式中：式中： 00 , 是是 t =0 时刻的角速度和角位置时刻的角速度和角位置。 说明：说明：作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量

5、， 但不同位置的质点具有不同的线量。但不同位置的质点具有不同的线量。 匀加速直线运动：匀加速直线运动： )(2 2 1 0 2 0 2 2 00 0 xxavv attvxx atvv 定轴转动定理 O i m i r i F r i F t i F 只考虑切向外力：只考虑切向外力： i ii i ii iiii iii iii rmFr rmFr rmF amF 2 t 2 t t t IM i iir mI 2 定义定义转动惯量转动惯量： 定轴转动定理定轴转动定理： i iiz FrM t)( 对对(z)轴力矩：轴力矩： 转动惯量 i iir mI 2 或：或： mrId 2 VrI Sr

6、I xxI d d d 2 2 2 1维维 2维维 3维维 转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的 形状、大小、质量分布以及转轴的位置有关形状、大小、质量分布以及转轴的位置有关。 例例:求均质细棒求均质细棒( m, l ) 的转动惯量：的转动惯量： (1) 转轴通过中心与棒垂直，转轴通过中心与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端与棒垂直。转轴通过棒的一端与棒垂直。 解：解： x l m xmddd xxmxIdd 22 22 12 1 d 2 2 mlxx l m l l l mlxx l m I 0 22 3 1 d (1) (2) 可见，转动惯量

7、因转轴位置而变，故必须指明可见，转动惯量因转轴位置而变，故必须指明 是是关于某轴的转动惯量关于某轴的转动惯量。 Ox Oxdx dm dx dm xxId 2 例例: 圆箍圆箍( m, R ) 通过圆心的转动惯量：通过圆心的转动惯量： O R 222 ddmRmRmRI mrId 2 圆筒的转动惯量与圆箍一样圆筒的转动惯量与圆箍一样。 例例: 薄圆盘薄圆盘( m, R ) 通过圆心的转动惯量：通过圆心的转动惯量： O Rrd SrId 2 rrSd2d 2 R m 2 0 2 22 2 1 d2 dmRrr R m rSrI R 圆柱的转动惯量与圆盘一样圆柱的转动惯量与圆盘一样。 常用转动惯量

8、 杆（中心）杆（中心） 杆（端点）杆（端点） 圆箍圆箍 圆筒圆筒 2 2 2 2 3 1 12 1 mR mR ml ml 2 2 2 2 5 2 3 2 2 1 2 1 mR mR mR mR 圆盘圆盘 圆柱圆柱 球壳球壳 球球 所有转动惯量可写成所有转动惯量可写成 2 mkI k：回转半径：回转半径 平行轴定理 刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量 I 等于对通过质心的平行等于对通过质心的平行 转轴的转轴的转动惯量转动惯量 IC 加上刚体质量加上刚体质量 m 乘以两平行转轴乘以两平行转轴 间距离间距离 d 的平方。的平方。 2 iOiOi i iOi mrmIrr i iCiC

9、i mdrdr i iCi i iCi mmdrmrd2 22 C O ICI d iO r iC r mi 2 mdII C 对于杆：对于杆： 2 2 1 12 1 3 1 例例:挂钟摆锤对挂钟摆锤对O轴的转动惯量。轴的转动惯量。 m l 1 O m R 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 RlmRmlmI 21 III 2 11 3 1 lmI 2 2 mdII C 解：解： 2 2 2 2 2 1 RlmRm 例例: 有质量有质量m定滑轮（圆盘）（绳与滑轮无相对滑动）。定滑轮（圆盘）（绳与滑轮无相对滑动）。 m1 m2 m R m1 T1 m1g a amgmT 111 m2 T

10、2 m2g a amTgm 222 m R T1 T2 IRTRT 12 2 2 1 mRI Ra g m mm mm a 2 21 12 例例: 两人抬杠，一人松手。两人抬杠，一人松手。 AB mg l N C maNmg I l mg 2 2 l aC 解解: 质心运动定理：质心运动定理： 以以A为轴，定轴转动定理：为轴，定轴转动定理： 角量线量关系：角量线量关系： 2 3 1 ,mlI mgN 4 1 例例: 打击中心。打击中心。 OC f 0 f C r r C maff 0 解解: 质心运动定理：质心运动定理： Ifr 以以O为轴，定轴转动定理：为轴，定轴转动定理： CC ra 角量

11、线量关系：角量线量关系： f I rmr f C 1 0 令令 ：0 0 f C mr I r 刚体定轴转动的角动量 i ii i iiiz rm vrmL 2 沿转轴沿转轴 z 的分量：的分量： ILz 刚体定轴转动的角动量变化定理 I t I t Lz d d d d z z M t L d d 若若 ，则，则 守恒。守恒。0 z MILz 例例: 质点与杆的完全非弹性碰撞。质点与杆的完全非弹性碰撞。 O M m 0 v l 以以O为轴，角动量守恒：为轴，角动量守恒： 22 0 3 1 mlMlI Ilmv 注意：注意：系统总动量一般不守恒，系统总动量一般不守恒， 因为轴处的外力不能忽略。

12、因为轴处的外力不能忽略。 只当碰撞在打击中心时，系统的水平动量守恒。只当碰撞在打击中心时，系统的水平动量守恒。 解解: 例例: 摩擦离合器摩擦离合器 飞轮飞轮1：I1、 1 摩擦 摩擦轮轮2： I2 静止，静止， 两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。 两轮对共同转轴的角动量守恒两轮对共同转轴的角动量守恒 2111 III 21 11 II I 解：解： 21 例：例：两圆盘形齿轮半径两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心垂直于盘面对通过盘心垂直于盘面 转轴的转轴的转动惯量为转动惯量为I1 、 I2，开始开始1 1轮以轮以 0 0转动，然

13、后两轮转动，然后两轮 正交啮合，求啮合后两轮的角速度。正交啮合，求啮合后两轮的角速度。 两轮绕不同轴转动，故对两轴分两轮绕不同轴转动，故对两轴分 别用角动量定理：别用角动量定理： 01111d IItFr 222d ItFr 2211 rr 得：得： 2 21 2 12 2 201 1 rIrI rI 2 21 2 12 2101 2 rIrI rrI 解：解： 0 1 2 2 F 1 非刚体非刚体( ( I 可变可变) )的角动量守恒的角动量守恒 当当 I 增大，增大， 就减小，就减小，当当 I 减小减小， 就就增大。增大。 常量 00 II 如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动，如：芭蕾舞，花样滑

14、冰中的转动， 恒星塌缩恒星塌缩 (R0，0) (R，) 中子中子 星的形成等。星的形成等。 u 0 人与转台组成的系统对竖直人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：轴的角动量守恒： II 00 ) 2 1 ( 2 1 22 2 2 10 2 1 tumRmRm 2 2 1 2 2 0 2 1t Rm um 例：例：水平转台水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角速度可绕竖直的中心轴转动，初角速度 0，一人，一人( (m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度立在台中心，相对转台以恒定速度u沿半径沿半径 向边缘走去，计算经时间向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。，台转过了多

15、少角度。 解：解： t t 0 d R m m ut m m u R 2/1 1 2 2/1 1 2 0 ) 2 ( arctan ) 2 ( 刚体定轴转动的动能 i ii i ii i ii rm rm vmE 22 2 2 k 2 1 )( 2 1 2 1 2 k 2 1 IE MI t II tt E d d ) 2 1 ( d d d d 2 k WM t t MtME dd d d d dd k f i d K ME 刚体定轴转动的功-动能定理 刚体定轴转动的重力势能 mgy gm m ym gymE C i i i i i ii i ii p C mgyE p 适用于一般质点系适用

16、于一般质点系。 刚体定轴转动的机械能守恒 若若除重力以外无其它外力矩做功：除重力以外无其它外力矩做功： C mgyIEEE 2 pk 2 1 为常量为常量 例：例：一定滑轮，质量为一定滑轮，质量为M，半径为，半径为R，在其上绕一，在其上绕一 根细绳，绳的另一端连着一质量为根细绳，绳的另一端连着一质量为m的物体的物体。 求：求：当物体从静止开始下落当物体从静止开始下落 h 时，物体的速度。时，物体的速度。 M R m 解：解： 机械能守恒：机械能守恒： ; 2 1 2 1 22 ImvmghRvMRI, 2 1 2 22 22 4 1 2 1 )( 4 1 2 1 Mvmv RMmvmgh mM

17、 mgh v 2 2 例：例： 均质细杆均质细杆m， l ，水平轴水平轴O，开始，开始 棒处于水平状态，由静止释放。棒处于水平状态，由静止释放。 求：求：q 时杆的角速度，角加速度，时杆的角速度，角加速度， 轴对杆的作用力。轴对杆的作用力。 O m l q 解：解： 机械能守恒：机械能守恒： 22 3 1 ; 2 1 sin 2 mlII l mgq l gq sin3 l g tt2 cos3 d d 2 1 d d d d d d d d 2 q q q q q 或转动定理：或转动定理： IM qI l mgcos 2 mg q 质心加速度：质心加速度： tC a nC a 切向：切向：q

18、cos 4 3 2 t g l aC 径向：径向：qsin 2 3 2 2 n g l aC C mmagf n f t f 轴对杆作用力满足：轴对杆作用力满足： tt nn cos sin C C mamgf mamgf q q q q cos 4 1 sin 2 5 t n mgf mgf O m l m l 0 hh 例例: 质点与杆的弹性碰撞。质点与杆的弹性碰撞。 已知已知m，l，h0 求：求：h 解：解：碰撞前小球速度：碰撞前小球速度： 2 0 2 1 mvmgh 0 2ghv 碰撞时对碰撞时对O点角动量守恒：点角动量守恒： 设碰撞后，小球速度设碰撞后，小球速度v，杆角速度，杆角速度

19、 2 3 1 ;mlIIvmlmlv 碰撞时动能守恒：碰撞时动能守恒： 222 2 1 2 1 2 1 Ivmmv 碰撞后杆机械能守恒：碰撞后杆机械能守恒： C mghI 2 2 1 0 2 3 2hhh C l v 2 3 0 4 3 hhC 平面平行运动的描述 C v C v 球（滚动）球（滚动）杆杆 平动+转动 质心的平动质心的平动+相对于通过质心的轴的转动相对于通过质心的轴的转动 平面平行运动的运动学 CC rvv C v C v C v C v C v C r C r v v v v 例：纯滚动例：纯滚动 滚动的分类 1 1、有滑动滚动、有滑动滚动 接触点有相对滑动，有滑动摩擦力接触

20、点有相对滑动，有滑动摩擦力 2 2、无滑动滚动、无滑动滚动 纯滚动纯滚动 满足满足 Ra Rv C C R为半径为半径 此时，接触点速度此时，接触点速度0RRv 接触点无相对滑动，有静摩擦力接触点无相对滑动，有静摩擦力 平面平行运动的动力学 1 1、质心的运动、质心的运动 C i i maF 质点组的质心运动定理质点组的质心运动定理 2 2、绕质心的轴的转动、绕质心的轴的转动 IM 定轴转动定理定轴转动定理 例例: 斜面上的纯滚动。粗糙斜面（斜面上的纯滚动。粗糙斜面（q）, 球（球（m，R） 求求: 质心加速度。质心加速度。 q mg f x 解：解： 沿沿 x 方向的力：重力分量，摩擦力方向

21、的力：重力分量，摩擦力 C mafmgqsin 对质心的力矩：摩擦力矩对质心的力矩：摩擦力矩 2 5 2 ;mRIIfR CC 纯滚动条件：纯滚动条件： RaCqsin 7 5 gaC 例例: 从滑动到纯滚动。粗糙平面（从滑动到纯滚动。粗糙平面（m）, 球球(m，R )。 求求: 若球初速若球初速v0，则经过多久变为纯滚动。，则经过多久变为纯滚动。 f x 0 v解：解： 沿沿 x 方向的力：摩擦力方向的力：摩擦力 C mamgfm 对质心的力矩：摩擦力矩对质心的力矩：摩擦力矩 2 5 2 ;mRIImgRfR CC m 球的质心作匀减速运动，球对质心作匀加速的转动球的质心作匀减速运动，球对质

22、心作匀加速的转动 t R g t gtvvC m m 2 5 0 gaCm R gm 2 5 当当t时，纯滚动：时，纯滚动：RvC g v t m7 2 0 连滚带滑连滚带滑纯滚纯滚永远永远 平面平行运动的能量 动能 2 kk 2 1 C mvEE 22 k 2 1 2 1 CC ImvE 势能 C mgyE P 机械能守恒 若若除重力以外无其它外力矩做功：除重力以外无其它外力矩做功： CCC mgyImvEEE 22 pk 2 1 2 1 为常量为常量 例：例：一匀质圆球从静止开始沿一粗糙斜面纯滚动而下，一匀质圆球从静止开始沿一粗糙斜面纯滚动而下， 球从上端滚到下端球心高度相差为球从上端滚到

23、下端球心高度相差为 h ， 求：求：小球滚到下端时质心的速度和转动角速度。小球滚到下端时质心的速度和转动角速度。 q f h 解：解：机械能守恒：机械能守恒： 22 2 1 2 1 CC Imvmgh 纯滚动条件：纯滚动条件： RvC ghvC 7 10 2 5 2 mRIC 静摩擦力不做功，但对能量分配有作用，静摩擦力不做功，但对能量分配有作用， 使得球获得了转动能量。使得球获得了转动能量。 平面平行运动的角动量 LLL C prL CC I 质点组的角动量质点组的角动量： = =质心的角动量质心的角动量+ +相对质心的角动量相对质心的角动量 平面平行运动的角动量平面平行运动的角动量： = =质心的角动量质心的角动量+ +相对质心转动的角动量相对质心转动的角动量 例例: 从滑动到纯滚动。粗糙平面（从滑动到纯滚动。粗糙平面（m）, 球球(m，R )。 求求: 纯滚动后球相对球心的角速度。纯滚动后球相对球心的角速度。 解：解： x v f 0 v O 以以O点为参考点，点为参考点， 角动量守恒：角动量守恒： C ImRvmRv 0 纯滚动条件：纯滚动条件： Rv 2 5 2 mRIC R v0 7 5 例例: 一杆一杆(M，l )静止于光滑水平面上。质量静止于光滑水平面上。质量m的小球的小球 以以v0与杆的端点垂直作弹性碰撞。