氢原子中静态电磁场角动量的研究

1、西南民族大学学报自然科学版第 36 卷第 3 期May. 2010 J_ou_rn_a_l o_f S_o_ut_hw_e_st_U_ni_ve_rs_ity_f_or_N_at_io_na_lit_ie_sN_a_tu_ra_l S_c_ien_c_e E_d_iti_on 文章编号: 1003-2843(2010)03-0471-04氢原子中静态电磁场角动量的研究吴明(四川大学物理学院, 四川成都 610064)要:考察对电磁场角动量的两种定义：用坡印亭矢量定义角动量以及横场定义角动量表述为自旋、轨道角动量之和：摘,J , , ,J d,( , ) 和. 两种定义在自由场中虽然积分后结果相

2、同, 但带来了不, d 3 x E A +d 3 x Ei r A i3x 0 r E B00同的角动量密度, 而在相互作用场中两种定义甚至积分后的结果也不相同. 以氢原子为模型的静态场, 通过推导和数值计算, 确定两种定义带来的角动量差别. 横场定义中电磁场自旋、轨道角动量分量相消, 而对电子自旋没有贡献；而传 统坡印亭矢量定义通过数字计算积分得到一个不为零的小量. 揭示两种表述本质上不同, 而横场定义下静态电磁场不 提供角动量贡献显得更为合理. 同时引出对在核子内有夸克胶子更强的耦合, 也在更小限度范围内的胶子场角动量的 研究, 我们的观测对胶子场在核子自旋上的贡献给了重要的线索.关键词：

3、电磁场角动量; 氢原子; 矢势横向分量; 坡印亭矢量中图分类号: O441.4文献标识码: A引言,在很长时间以来, 坡印亭矢量 E B 都广泛的被认同为电磁场的动量密度, 由于大量电磁场理论和实验,上满意的解释, 很少有人去质疑它的正确性. 然而作为相应的电磁场角动量密度定义 r (E B ) 却不能直观的给出自旋和轨道角动量贡献. 1994年, van Enk 和 Nienhuis 首先得出了电磁场角动量密度的另一种规范不变, ,的表述,1自旋、轨道角动量密度之和：E A + E i r Ai . 在定义中虽然沿用了依赖库伦规范 A = 0 的,矢势的横场部分 A , 但由于横场 A的规范

4、不变性, 使得自旋、轨道角动量密度均是规范不变的, 使得研究有着确切的物理意义.电磁场的这两种角动量密度不仅于表述上, 实质上也有着本质的不同. 在自由场中它们的积分结果相同, 但有着不同的角动量密度；而在相互作用场中两种定义的角动量密度和积分后结果均不相同, 本文即是通过对 有源静态场氢原子基态模型的计算证实这一点.1以氢原子基态为模型的计算在过往的长时间里关于规范理论下系统角动量的理论分析1,2和测量3已经被广泛的研究, 可关于角动量的定义以及自旋、轨道部分的分解还一直存在很大的异议, 当然所有的讨论都需要实验的证实与支持, 否则都将失 去意义. 正如引言介绍, 主要讨论两种定义：坡印亭矢

5、量定义以及横场定义, 表述为自旋、轨道角动量之和. 而 在拉盖尔高斯模型的自由场中两者的表现不同4, Beth 的实验2支持了横场定义, 同样在偶级辐射中横场定义下的角动量也更为合理.收稿日期：2010-04-02作者简介：吴明(1984-), 男, 四川成都人, 四川大学物理学院硕士研究生.1.1相互作用场中矢势计算与规范讨论所有可观测物理量都必须满足规范不变性. 从电磁场角动量 J 中看到, 自旋、轨道角动量部分均由电场 E,和横场 A 表示, 看似只能在库伦规范下分解, 有着规范依赖, 接下来我们简要的证实它们的规范不变性.,由矢势唯一的分解 A = A + A/ 可以看出, 满足库伦规

6、范的横场 A 在对磁场 B 的定义中将自由度抛给了纵场, 自己被完全确立下来, 不受规范变换影响, 从而使得由 A 与其他规范不变物理量表述的物理量也为规范 不变.,在有源场中具体计算：库伦规范 A = 0 , 得到横场 A 和标势 的运动方程,21 A 1 = J ,2 A(1)0c2t 2c2 t2 = ,(2)0,式中 J 为电流密度, 同时 E = t A , 可以得到,2 A = J +1 E ,(3) 0t c2, c J (r , t ) + E (r , t )2,( ,10t)4 c2 3Ar , t =d x或积分形式：.(4),r r ,注意 A 完全可以由规范不变的物理

7、量 J 、E 完全的表述出来, 印证了它的规范不变性.有人会发觉表达式(4)似乎在产生超距作用, 但并非如此, 对给定系统电流密度不会在不引起电场变化下改变. 库伦规范下 QED的相对论不变性已被广泛的研究.1.2氢原子系统中对两种角动量的计算氢原子系统由自旋为 1/2 的电子与质子(表述为 Dirac 场), 以及所产生的电磁场(表述为自旋为 1 的矢量场),所组成. 为方便我们将核子看作无自旋的无限重点电荷提供库伦电场 Eer, 电流密度仅有电子运动贡=N4 0 r3, , , = 0献：j = ec,其中 为电子的 Dirac 场波函数, 为泡利矩阵, 通过 Dirac 方程解出 , 这

8、,0 里我们仅引用基态下的波函数球坐标表述510i (1 )13 1 r= 1 2 1 + 2 r 2e a0 .2 m=1/ 2(5)cos4 a 2 (1 + 2 ) n=1, j =1/ 2a 0 0 i (1 )isin e01 )sin e r13 1 1 2 1 + r 2e a0 i (122m =1/ 2=.(6)in =1, j =1/ 2(1 + 2 )a2a04 0 _1其中 为精细结构常数, = 1 2 , a 为波尔半径. 在不影响计算结果的情况下, 采用较好的近似13701 , 1 . 将波函数代入通过简单的计算可以得到电流密度 j 的唯一非零 分量23 2 rj

9、m=1/ 2 = ec 1 2 e a0 sin .(7)8 a0 由于基态氢原子提供的是静态电磁场： A 通过待定系数法, 在球坐标系下得到A ( R, ,) = 0j (r, , ) r 2 sin drd d4R r2= 0ec a0 + a0 + 2 a0 + 2 e R2 sin e222 a0.(8)8 a R2 R2 R 0 系统电场 E = 2 = / , 电荷密度也由电子波函数表述为 = e , 得到电场解析表达式0E ( R, , ) = 1 r 2 sin drd de R40 R r2ea2 a2a 2 a0 0 + 0 + 2 0 + 2 e R2 e .(9)4 a

10、2R2R2RR0 0 总电场 E = Ee + EN , 代入横场定义 J 中计算, 假设原子沿 z 方向极化, 则总角动量仅有 z 方向分量有意义. 进行积分数值计算后, 得到横场定义中电磁场自旋、轨道角动量拥有大小相等, 符号相反的值.zz5S |m =1/ 2 =L |m =1/ 2 =1.0 10h .(10)其实在定性分析中, 自旋、轨道部分相消可以通过简单的推导得到, 注意在静态场中 E = , J 的表达式可以写作3()3()iJ = d x0 A + d x0 i r A3 3 (i )=d x0 A +d x0 i r A .(11)利用分部积分计算并有 A = 0 , 自旋

11、、轨道角动量准确的相消使 J 总值为 0, 对外没有贡献.在另一方面, 通过积分数值计算, 得到坡印亭矢量定义下的电磁场总角动量为一非零值z6J |m =1/ 2 = 5.5 10h .(12)2分析与总结对于自由电磁场, 已经被证实两种定义下的积分结果相同, 但角动量密度却不同.而在相互作用情况下, 通 过研究氢原子中的电磁场, 我们发现不仅角动量密度不同, 最后全空间的积分结果也不同z6J |m =1/ 2 = 5.5 10h 47_3_第 3_期 吴明: 氢原子中静态电磁场角动量的研究, , ,J z= S z + Lz = 0 .这里横场定义中电磁场总角动量对原子自旋没有贡献, 而坡印

12、亭矢量定义中却有. 尽管在氢原子模型中与1电子自旋h 相比, 其贡献值很小, 但引发了对传统定义的正确性的思考, 静态场中电磁场总角动量不对外有2任何贡献显得更为合理. 也许有人认为如此小的贡献对往后的研究没有价值, 但当开始深入研究核子内部自旋结构的时候情况将会大不一样, 夸克胶子场的耦合比起电磁场耦合作用要强很多, 并且夸克也被限制在比原子 尺度小 5 个量级以上的更小尺度中以致夸克色流将比原子中的电流更强.复合粒子的固有自旋为研究粒子内部动力学提供了一个良好的窗口. 关于核子自旋结构的定义, 就归结于 在量子色动力学的非阿贝尔规范中, 对胶子场贡献定义的精细研究. 同样, 在关注原子自旋

13、时对阿贝尔规范下 的电磁场的研究也是有益的.参考文献:1VAN ENK S J, NIENHUIS G. Commutation Rules and Eigenvalues of Spin and Orbital Angular Momentum of Radiation FieldsJ. JMod Opt, 1994, 41: 963-967.BETH R A. Mechanical Detection and Measurement of the Angular Momentum of LightJ. Phys Rev, 1936, 50: 115-125.ALLEN L, BEIJERS

14、BERGEN M W, Spreeuw R J C, et al. Orbital angular momentum of light and the transformation ofLaguerre-Gaussian laser modesJ. Phys Rev, 1992, A 45: 8185-8189.LIANG W F, WU M, LIU H, et al. Gauge-Invariant Spin and Orbital Angular Momentum of Laguerre-Gaussian LaserJ. Chin PhysLett, 2008, 25(12): 4227

15、-4229.ITZYKSON C, ZUBER JB. Quantum Field TheoryM. New York: McGraw-Hill, 1980.2345The Angular Momentum of static electromagnetic field in a hydrogen atomWU Ming(Department of Physics, Sichuan University, Chengdu 610064, P.R.C.)Abstract: This paper study on the two different definitions of angular m

16、omentum for gauge field. The first one is constructedwith the Poynting vector, and the other one is defined in Coulomb gauge as the sum of spin and orbital angular momentum parts:, ,( , ) and, d 3 x E A + d 3 xE i r A i . For a free electromagnetic field, itJ 3J d x 0 r E B00can be verified that the

17、 two definitions give the different angular momentum densities, but in the interacting field even theangular momentum after integration will have different value. After calculation we find in transverse field definition the spin and orbital angular momentum densities have the same magnitude just wit

18、h opposite sign, which means the electromagnetic field does not have any contribution to the spin of the hydrogen atom at the classical level. However, we get a non-zero result by the Poynting vector definition. This shows the essential difference between them, and in the meantime the second one is more reasonable. It would be very interesting to extend our study especially to investigate gluon angular momentum inside the nucleon where quark-gluon coupling is much stronger than the electroma