《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)

1、选修 45不等式选讲最新考纲： 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： (1)|ab| |a |b|(a，bR) (2)|ab| |ac|c b|(a，bR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax b| c，|axb| c， |x c| |x b| a.3.了解柯西不等式的几种不同形式， 理解它们的几何意义， 并会证明 .4. 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)? f(x)a 或 f(x)a；(2)|f(x)|0)? af(x)b

2、0 时等号成立()(2)对 |ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(3)|axb|c(c0)的解等价于caxbc.()(4)不等式 |x 1| |x2|1，xy 2，则 x0， y0.()答案 (1) (2) (3) (4) (5)2不等式 |2x 1|x1 的解集是 ()A x|0x2B x|1x2C x|0x1D x|1x3解析 解法一： x1 时，满足不等关系，排除C、 D、B，故选 A.1x 1， x ，2解法二：令 f(x)则 f(x)1 的解集为 x|0x2 113x，x2，答案A3设 |a|1，|b|2B|ab| |ab|2C|ab| |a b|2D不能比较大小解析 |ab

3、|ab| a|2|2.答案 B4若 a，b，c (0，)，且 abc1，则 a b c的最大值为 ()A1B 2C. 3D2解析 2 (1 a1 b 1 c)221212 ( abc)(1)(a bc)3.1当且仅当 abc3时，等号成立 ( a b c)2 3.故abc的最大值为3.故应选 C.答案C5若存在实数 x 使|x a| |x1| 3成立，则实数 a 的取值范围是 _解析 利用数轴及不等式的几何意义可得x 到 a 与到 1 的距离和小于 3，所以 a 的取值范围为 2a4.答案 2a4考点一含绝对值的不等式的解法解|xa| |x b| c(或 c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每

4、个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号(1)(2015山东卷 )不等式 |x1| |x 5|2 的解集是 ()A(，4)B(，1)C(1,4)D(1,5)51(2)(2014湖南卷 )若关于 x 的不等式 |ax2|3 的解集为 x 3x3，则 a _.解题指导 切入点： “脱掉 ”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论解析 (1)当 x1 时，不等式可化为 (x

5、1) (x5)2，即 42，显然成立，所以此时不等式的解集为 (，1)；当 1x5时，不等式可化为 x1 (x5)2，即 2x62，解得 x5 时，不等式可化为 (x1)(x5)2，即 42，显然不成立，所以此时不等式无解综上，不等式的解集为 ( ，4)故选 A.(2) |ax 2|3， 1ax0 时， axa，与已知条件不符；当 a 0 时， xR，与已知条件不符；5151当a0时， x ，又不等式的解集为 xx，故 aa33a3.答案 (1)A(2)3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段

6、时不要遗漏区间的端点值对点训练已知函数 f(x) |x a|x2|.(1)当 a 3 时，求不等式f(x) 3的解集；(2)若 f(x) |x 4|的解集包含 1,2 ，求 a 的取值范围2x5，x2，解 (1)当 a 3 时， f(x)1， 2x3，2x5，x 3.当 x2时，由 f(x) 3得 2x 53，解得 x1；当 2xc 或 |x a|xb|k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围是 _解题指导 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题解析 (1) |x 1|x2| x|(1) (x2)| 3，a21 3，解得1 171 174 4.2a2a即实数 a 的取值范

7、围是1 171 174，4.(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x， 1,2 在数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于 PA PBk 恒成立 AB3，即|x 1|x2| 3.故当 k3 时，原不等式恒成立解法二：令 y |x1|x2|， 3， x1，则 y 2x1， 1xk恒成立，从图象中可以看出，只要k 3即可故k 3 满足题意答案 (1)117，1 17(2)(， 3)44解含参数的不等式存在性问题， 只要求出存在满足条件的 x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即 f(x)f(x)max， f(x)a 恒成立 ? acd，则abcd；(2)abcd是|a b|c

8、d 得(a b)2(2cd) .因此abcd.(2)若 |ab|cd|，则 (ab)2(c d)2，即 (ab)24abcd.由(1)得 a b c d.若abcd，则 (ab)2(cd)2，即ab2 abc d2 cd.因为 abcd，所以 abcd.于是 (ab)2(a b)2 4ab(c d)2 4cd (c d)2.因此 |a b|cd是|ab|cd|的充要条件分析法是证明不等式的重要方法， 当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系， 较难发现条件和结论之间的关系时， 可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆对点训练(2014 新课标

9、全国卷 )设 a、 b、 c 均为正数，且 a b c 1.证明：1(1)abbc ac ；3a2b2 c2(2) b c a 1.2b22 ，2c22 ，2a22 得a2b2 c2 证明 (1)由 aab bbcccaab bcca.由题设得 (a b c)21，即 a2b2 c22ab2bc 2ca 1.1所以 3(ab bcca) 1，即 ab bcca .3a2b2c2(2)因为 b b2a， c c2b， a a2c，a2b2c2故 b c a (a b c) 2(abc)，a2b2c2即 b c a a b c.a2b2c2所以 b c a 1. 方法规律总结 方法技巧 1绝对值不

10、等式求解的根本方向是去除绝对值符号2绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件3在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数易错点睛 1对含有参数的不等式求解时，分类要完整2应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件课时跟踪训练 (七十 )一、填空题1不等式 |2x 1|3 的解集为 _解析 |2x 1|3? 32x13? 1x2.答案 ( 1,2)2若不等式 |kx4| 2的解集为 x|1 x 3，则实数 k _.解析 |kx 4| 2， 2kx 42， 2kx 6.不等式的解集为 x|1 x

11、3， k2.答案23不等式 |2x 1|x1|2 的解集为 _1解析 当 x2时，原不等式等价为 (2x 1)(x1)2，即 3x22113，此时3x2.当2x1 时，原不等式等价为 (2x 1)(x1)2，即 x0，12此时 2x0.当 x1时，原不等式等价为(2x 1)(x1)2，即 3x2， x3，此22时不等式无解，综上，原不等式的解为3x0，即原不等式的解集为3，0 .答案 2， 034已知关于 x 的不等式 |x1|x| k无解，则实数 k 的取值范围是 _解析 |x1|x| |x1x| 1，当 k1 时，不等式 |x 1|x| k无解，故 k1.答案 (， 1)5(2015 安统

12、考西 )若关于实数 x 的不等式 |x 5| |x3|a 无解，则实数 a 的取值范围是 _解析 |x5|x3| x|(5)(x3)|8，故 a8.答案 (， 86 (2015 重庆卷)若函数f(x) |x 1| 2|xa|的最小值为5，则实数a_.解析 当 a 1时， f(x)3|x1| 0，不满足题意；当 a1 时， f(x) 3x12a， xa，x12a， a3x1 2a，x1，3x1 2a，x1，1 时， f(x) x12a， 1a，4.答案6或 47若关于 x 的不等式 |a|x1| |x 2|存在实数解，则实数a 的取值范围是_解析 f(x) |x1| |x 2| 2x 1 x1

13、，3 1x0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是_解析 若 x1(x1)2 对任意的 x1， )恒成立，即 (a1)(a1)2x0 对任意的 x1， )恒成立，所以a10，a12x，(舍去 )或对任意的 x1 ， 恒成立，解得 a1.综上，a12x，a0 时，将不等式 5a4a整理，得 a25a40，无解；当 a0 时，将不等式 5a4a整理，得 a2 5a40，则有 a4 或 1a0.综上可知，实数a 的取值范围是 (， 4 1,0)答案 (， 41,0)二、解答题13已知不等式 2|x3| |x 4|2a.(1)若 a1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求 a 的取值

14、范围解 (1)当 a 1 时，不等式即为 2|x 3|x4|2，若 x4，则 3x102， x4，舍去；若 3x4，则 x 22， 3x4；8若 x3，则 103x2， 3x 3.8综上，不等式的解集为x 3x4.(2)设 f(x)2|x3|x4|，则3x 10，x4，f(x)x2，3x1，a2，即a 的取值范围为12，.14 (2015 新课标全国卷)已知函数f(x)|x 1| 2|x a|， a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围解 (1)当 a 1 时， f(x)1 化为 |x1| 2|x 1|

15、10.当 x1 时，不等式化为x 40，无解；2当 1x0，解得 3x0，解得 1x1 的解集为2x 3x2.(2)由题设可得，f(x)x 12a，xa.所以函数f(x)的图象与x2a1轴围成的三角形的三个顶点分别为A，0 ，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC32的面积为 3(a 1)2.由题设得 2(a 1)2 6，故 a2.3所以 a 的取值范围为 (2， )(1)若 a 1，解不等式 f(x) 3；(2)如果 ? xR，f(x) 2，求 a 的取值范围解 (1)当 a 1 时， f(x) |x 1| |x1|， 2x，x1.作出函数 f(x) |x 1|x1|的图象由图象可知，不等式f(x) 3的解集为3 3x x 或x .2 2(2)若 a1，f(x)2|x 1|，不满足题设条件； 2xa 1， xa，若 a1，f(x) 1a，ax1，f(x) a1，1x0，b0，c0，函数 f(x)|xa|x b| c 的最小值为 4.(1)求 abc 的值；(2)求 14a219b2c2 的最小值解 (1)因为