年高考数学理科一轮复习课件第讲定积分及其应用举例

1、 考纲要求 考纲研读 定积分与微积分基本定理 1.了解定积分的实际背景，了解 定积分的基本思想，了解定积分 的概念. 2了解微积分基本定理的含义 . 1.定积分在物理中的应用就是变 力所作的功 2定积分在几何中的应用就是 曲边梯形的面积为S. 3. 定积分的运算可以利用公式， 也可以利用几何意义求解. 1定积分性质 (1) ? ? ? ? a bkf(x)dxk ? ? ? ? a bf(x)dx. (2) ? ? ? ? a bf 1(x) f2(x)dx ? ? ? ? a bf 1(x)dx ? ? ? ? a bf 2(x)dx. (3) ? ? ? ? a cf(x)dx ? ? ?

2、 ? c bf(x)dx ? ? ? ? a bf(x)dx(aca0) (6) e b a? xdxex|b a. (7) b a a ? xdx ? ? ? a x lna b a(a0 且 a1) 1(2010 年广东深圳第一次调研)曲线 ysinx，ycosx 与直 线 x0，x 2所围成的平面区域的面积为( ) A 2 0 ( ? sinxcosx)dx B 2 4 0 ( ? sinxcosx)dx C 2 0 ( ? cosxsinx)dx D2 4 0 ( ? cosxsinx)dx D 2等比数列an中，a36，前三项和 S3 3 0 4 ? xdx，则公比 q 的值为( )

3、 A1 B1 2 C1 或1 2 D1 或 1 2 C 3若 2 0 ( ? sinxacosx)dx2，则实数 a 等于( ) A1 B1 C 3 D. 3 A 解析： 2 0 ( ? ? ? ? sinxacosx?dx?cosxasinx? 2 0 a12， a1. 4若 1 ( a ? ? 2x1)dx2，则 a_. 1 5汽车以v3t2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第 1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是_ m. 6.5 考点1 定积分的计算 例 1：(2011 年福建) 1 0 (e x ? 2x)dx等于( ) A1 Be1 Ce De1 解析： 1 0 (e x ?

4、 +2x)dx=(ex+x 2) e1 e00e. C (2011 届广东揭阳水平考试)定积分 ? ? ? ? 0 3 9x2dx 的值为( ) A9 B3 C.9 4 D. 9 2 解析： 由定积分的几何意义知 ? ? ? ? 0 3 9x 2 dx 是由曲线y 9x 2，直线 x0，x3 围成的封闭图形的面积， 故 ? ? ? ? 0 3 9x 2dx3 2 4 9 4，选 C. C 2 1|? 1x|dx_. 解析： 2 1|? 1x|dx 1 1(? 1x)dx 2 1 ( ? x1)dx x ? ? ? 1 2x 2 1 1 ? ? ? ? 1 2x 2 x 2 1 203 21 5

5、 2. 5 2 当被积函数是一个带有绝对值的函数，积分时必 须把绝对值符号去掉，根据绝对值函数的定义，就要看看 1x 在 积分区间1,2是否有变号(即由正变负或由负变正)的情况 如因 为|1x| ? ? ? ? ? 1x ?x1?， x1 ?x1?， 即 x1 是使函数改变符号的点，因此 利用积分区间的可加性此定积分分为两个积分的和，即 2 1|? 1x|dx 1 1 ( ? ? 1x)dx 2 1 ( ? x1)dx. 【互动探究】 1. ? ? ? ? 2 41 x dx 等于( ) A2ln2 B2ln2 Cln2 Dln2 D 解析： ? ? ? ? 2 41 xdxlnx| 4 2l

6、n4ln2ln2 2ln22ln2ln2ln2. 2(2011 年广东华附综合测试) ? ? ? ? 0 2(2|1x|)dx_. 3 考点2 定积分的应用求平面区域的面积 例2：求在0,2上，由x轴及正弦曲线ysinx围成的图形 的面积 解析：作出 ysinx 在0,2上的图象如图 D8， ysinx 与 x 轴交于 0，2， 所求面积 S sin ? xdx 2 sin dx x ? (cosx)| 0(cosx)| 2 4. 图D8 利用定积分求平面图形的面积的严格按照作 图、求交点、确定被积函数和计算定积分的步骤进行因为 在0，上，sinx0，其图象在 x轴上方；在 0,2上，sinx

7、0 其图象在x轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝 对值才表示面积 【互动探究】 3由曲线yx22与y3x，x0，x2所围成的平面图形 的面积为_. 1 解析：S ? ? ? ? 0 1(x223x)dx ? ? ? ? 1 2(3xx22)dx1. 考点3 物理方面的应用 例3：汽车以每小时 54公里的速度行驶，到某处需要减速 停车，设汽车以等减速度 3米/秒刹车，问从开始刹车到停车， 汽车走了多少公里？ 解题思路：汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可 以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之 前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式 解析：由题意，v054(千米

8、/时)15(米/秒)， v(t)v0at153t，令 v(t)0 得 153t0，t5， 即 5 秒时，汽车停车 汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s 5 0 v ? (t)dt 5 0 v ? (153t)dt ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15t3 2t 25 0 37.5(米)0.037 5(公里) 答：汽车走了 0.037 5 公里 汽车刹车过程是一个减 速运动过程，我们可以利用定积分算出 汽车在这个过程中所走过的路程，计算 之前应先算出这一过程所耗费的时间和 减速运动变化式若作变速直线运动的 物体的速度关于时间的函数为 vv(t)v(t)0， 由定积分的物理意 义可知，作变速运动

9、物体在a，b时间内的路程 s 是曲边梯形(如 图 441 的阴影部分 )的面积，即路程s b a v ? (t)dt；如果 v(t)0(atb)时，则路程 s b a v ? (t)dt. 图441 【互动探究】 4一物体A以速度v3t22(t的单位：s，v的单位：m/s)， 在一直线上运动，在此直线上在物体A出发的同时，物体 B在物 体A的正前方8 m处以v8t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与 A同向运动，设n s后两物体相遇，则n的值为( ) A.4 10 3 B2 10 C5 D4 解析：依题意得 0 ( n ? 3t22)dt8 0 8 n ? tdt，n32n84n2? (

10、n4)(n22)0? n4. D 考点4 定积分的综合的应用 例4：过原点的直线l与抛物线yx24x所围成图形的面积 为36，求l的方程 解析：由题意可知直线的斜率存在，故设直线 l 的方程为 ykx， 则由 ? ? ? ? ? ykx， yx24x， 得 ? ? ? ? ? x0， y0 或 ? ? ? ? ? xk4， yk?k4?. (1)当 k40，即 k4 时， 面积 S 4 0 ( k? ? kxx 24x)dx ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2kx 21 3x 32x2k4 0 1 2k(k4) 21 3(k4) 32(k4)2 1 6(k4) 336， k2，故直线

11、l 的方程为 y2x. (2)当 k40，即 k4 时， S 0 4 ( k? ? kxx 24x)dx ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2kx 21 3x 32x20 k4 ? ? ? ? ?1 2k?k4? 21 3?k4? 32?k4?2 1 6(k4) 336， k10，故直线 l 的方程为 y10 x. 【互动探究】 5在区间0,1上给定曲线yx2，试在此区间内确定点 t 的值，使图442中阴影部分的面积S1与S2之和最小 图442 解：S1面积等于边长为 t 与 t2的 矩形面积去掉曲线 yx2与 x 轴、 直线 xt 所围成的面积， 即 S1tt2 2 0 t x ? dx2 3t 3. S2的面积等于曲线 yx 2 与 x 轴、xt、x1 围成的面积减去 矩形面积， 矩形边长分别为 t2，(1t)， 即 S2 1 2 t x ? dxt2(1t)2 3t 3t21 3. 所以阴影部分的面积 S 为 SS1S24 3t 3t21 3(0t1) 当 S(t)4t22t4t? ? ? ? ? t1 2 0 时，可得 t0，t1 2. 当 t1 2时，S 最小，所以最小值为 S? ? ? ? ? ?1 2 1 4. 1定积分在物理中的应用：在恒力作用下，物体沿力的方向 移动 s，则恒力所作的功为 wfs，当 F(x)为变力的，物体在变力 F(