转动惯量专题知识专业知识讲座

1、本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 本章将介绍一种特殊的质点 系刚体所遵从的力学规律。 它实际上就是质点系的基本原 理在刚体上的应用。重点是定 轴转动，重要的概念是转动惯 量。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 刚体运动概述：刚体运动概述： 刚体：在任何情况下形状和大小都不变的物体。即任 意两质点之间的距离保持不变的质点系 （理想模型）。 ? 刚体一种特殊质点系 质点系 质点 刚 体 5 . 0 节 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿

2、。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 ? ? 刚体 ?个自由度个自由度 自由度自由度为确定该力学系统的位置所需要的 独立 变量的个数。（若运动受到约束，自由度将减少 ） 一个自由质点： 三个自由度 一个自由刚体： 六个自由度 三个平动自由度 三个转动自由度 注：不共线的三点可以确定刚体 的位置（9个），而任意两个质 点间的距离都保持不变（ 6个）。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 ? 刚体的运动形式 刚体运动 平 动 转 动 质心运动定理 刚体质心运动（平动） 角动量定理 刚体的取向与方位（转动） 刚体运动微分方程

3、式 刚体运动积分方程式 动能定理 刚体的平动和转动 ? ? A A ? cc （质点A既随质心平动又绕质心转动） 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 ? 作用于刚体上的力 力的 两种效果 使质心平动 绕质心转动 施于刚体的力不是自由矢量 F B A F B A 力的作用线过质心 （平动） 力的作用线不过质心 （平动加转动） 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 施于刚体的力是滑移矢量 作用于刚体的力的三要素：大小、方向和作用线 A B F F 力沿作用线滑移不改

4、变作用效果 F?F c A F d 施于刚体的力等效于一作用线过质心 的力 （平动）和一力偶 和 （转动） F?FF 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 1、刚体的定轴转动: 刚体中有根确定的直线 始终保持不动，整个刚体绕着这根直线转动，该直 线称作转轴。 5.1定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述 ?各质元的线速度、加速 度一般不同，但角量（角 位移、角速度、角加速度） 都相同。 ?描述刚体整体的运动用角量最方便。 ?只有一个转动自由度。 Q P ? ? X X Z 5 . 1 节 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科

5、学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 运动学方程：运动学方程： ? t? 2、定轴转动的角量描述 ? ? 角坐标 ：确定刚体的位置 d dt ? ? ? 角速度 ：描述转动的快慢 ? 2 2 dd dtd t ? ? ? 角加速度 ：描述角速度变化的快慢 ? ? x z P 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 ?角速度是矢量，方向规定为沿轴方向，指向用右 手螺旋法则确定：右手四指沿刚体转动方向，伸直 的大拇指的指向为角速度的方向。对于刚体定轴转 动，角速度的方向只有两个，规定逆时针方向为正， 角速度方向

6、可用正负号表示。 加速转动 ? ?方向一致 减速转动 ? ?方向相反 ? r ? v ? z P 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 0 2 00 22 00 1 2 2 t tt () ? ? ? ? ? ? ? 如果 ? 为恒量 相应公式 ? 两类基本问题两类基本问题 已知运动方程求角速度和角加速度 求导数 已知角加速度求角速度和运动方程 求积分 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 ? r ? v ? z P ? 刚体上任一刚体上任一P点线量点线量 与角量

7、的关系：与角量的关系： 2 n vrarar ? ? 矢量式矢量式 dvd a(r )rv dtdt ? vr? 可见，刚体各质元的角量相同，线量一般不同。 n aaarv ? ? 即 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 5.2 转动惯量及其计算转动惯量及其计算 1、转动惯量：反映刚体在转动中的惯性。 2 i i i Jmr ? 定义定义 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的 质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。 （单位： ） 2 kg m? 若质量连续分布 2 Jr dm? ? 5 . 2 节 本文档所提供的信息仅

8、供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 线分布 体分布 面分布 dldm? dsdm? dVdm? 质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布 其中?、?、?分别为质量的线密度、面密度和体 密度。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 2、转动惯量的计算： （1 ） 质点、圆环、圆筒绕中心轴转动 z o R m o z R m m R 2 o JmR?质点的转动惯量为 对于匀质圆环和薄圆筒，因各质元到轴的垂直距离 都相同，则有 2 o JmR? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科

9、学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 2dmrdrl? 23 2dJr dmlr dr? 34 0 1 2 2 R JdJlr drR l? ? （2）圆盘、圆柱绕中心轴转动）圆盘、圆柱绕中心轴转动 对于质量为 、半径为 、厚为 的均匀圆盘 取半径为 宽为 的薄圆环，则有 R m l r dr 可见，可见，转动惯量与厚度 无关。所以，实心圆柱对 其轴的转动惯量与圆盘的相同。 l 2 m R l ? ? ? 2 1 2 JmR? 则有 由于 O Z r dr R l 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 （

10、3） 球体绕其直径的转动 将均质球体分割成一系 列彼此平行且都与对称轴垂 直得圆盘，则有 ? 2 22 222 22 1 2 1 2 1 2 82 155 O R R Jdm r r dz r ( Rz) dz RmR ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 2 2 5 O JmR? R z o r dz z m 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 轴位于端点A： 2 2 2 2 1 12 l lC ml m Jxdx l ? ? ? 2 0 2 1 3 l A m Jxmldx l ? ? （4 4）求长

11、为）求长为 、质量为、质量为 的均匀细棒绕垂直轴的转的均匀细棒绕垂直轴的转 动惯量。动惯量。 lm 取一小段 ，可视为质点 dx 轴位于中心C： A B dx l x A B C dx 2l2l x 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 决定刚体转动惯量的因素：决定刚体转动惯量的因素： ? 刚体的质量分布 ? 转轴的位置 注 意 平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为 J c ，则刚体对与该轴相距为 d 的平行 轴 z 的转动惯量 J z 是 2 zc JJmd? m R z J c J 2 1 2 c JmR? 222 1

12、3 22 z JmRmRmR? 如图所示： 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 垂直轴定理垂直轴定理 o z y x zxy JJJ? 对于薄板刚体，绕垂直于板面的轴 Oz的转动 惯量，等于位于板面内与 Oz轴交于一点的两相互 正交轴Ox和Oy的转动惯量之和。 例如：薄盘绕直径的转动 惯量 2 1 2 zxy JJJmR? 2 1 4 xy JJmR? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 若力学体系有几个部分组成，整体绕定轴转 动的转动惯量,等与各部分对该轴的

13、转动惯量之和。 即 组合定理组合定理 i JJ? ? 1 ml 2 mR z z JJJ? 杆球? 2 22 122 12 35 mlm RmlR? 例如：例如：有质量为 ,长 为 的均质细杆和质 量为 ，半径为 的 匀质球体组成的刚体， 对Z轴的转动惯量为 2 m 1 m l R 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 圆环： 转轴通过中心与环面垂直 薄圆盘： 转轴通过中心与盘面垂直 圆柱体： 转轴沿几何轴 细棒： 转轴通过中心与棒垂直 球体： 转轴沿直径 转轴沿直径 圆筒： 转轴沿几何轴 圆柱体： 转轴通过中心与几何轴垂直 细

14、棒： 转轴通过端点与棒垂直 球壳： 转轴沿直径 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 5.3 定轴转动的基本方程定轴转动的基本方程 5.3.1 基本方程 刚体作定轴转动时，一个自由度。确定刚体 的位置只需一个独立变量 角坐标，因而需要一 个动力学方程 角动量定理 z z dL M dt ? 5 . 3 节 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 5.3.2 对定轴的转动定理 1、对定轴的角动量 ? v ? r ? i m 2 zii i LJmrJ? ? 即 z L

15、J? 2、转动定理 z z dLd MJJ dtdt ? ? 由于刚体的转动惯量为常量，所以有 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 即 z MJ? 当刚体绕固定轴转动时，刚体对该轴的转动 惯量与角加速度的乘积等于外力对此轴的合力 距。 定轴转动定律 瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。 与牛顿第二定律 相比，地位相当。 Fma ? 在定轴转动中， 和 均沿转轴方位。 M? 转动惯量是刚体绕定轴转动惯性大小的度量。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 3、

16、沿定轴的角动量守恒定律、沿定轴的角动量守恒定律 当 时， 0 z M ? z LJ? 常量 对于形变物体，转速与转动惯量成反比。即对于形变物体，转速与转动惯量成反比。即 1 21 2 J J ? o ? 1 o ? 2 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 5.3.3 定轴转动的动能定理 由于刚体是质点系，满足质点系的动能定理。即 21eikk AAEE? 1、刚体转动动能 质元动能： 222 11 22 kiiii i Emvmr? 刚体的转动动能： ? 2222 11 22 kiiii Emrmr? ? 2 2 1 ?JEk

17、? z i r ? i v i m ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 2、内力的功为零、内力的功为零 以刚体内两质点为例， 讨论一对内力的功。 1212 rrr? o 1 r 2 r 1 F 2 F 12 质点1： 111 dAF dr? 质点2： 222 dAFdr? ? 1122112 1 1121 1 212 2 2 1 0 F drFdrF d rr F F drrdr r dA ? ? ? )(d 1212 刚体rr ? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系

18、本人或网站删除。 o i F i F ? in F i r ? iz F ? iz F d? 3、力矩的功、力矩的功 iiziziizin FFFFFF n ? ? ? ? 一个外力元功为 ?izin ii ii ii FF nds F ds F rd d M dF A ? ? ? ? ? ? ? 如图所示：设 为刚体所受的任一个外力，当刚体 转过 角时, 作用点的元位移为 , 沿轴方向的 分力 不做功，法向分力 不作功，只有切向分力 作功。即 i F i F ?in F d? ds? iz F 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删

19、除。 所有外力的总功为 1 22 1 i M dAMd ? ? ? ? 4、刚体定轴转动的动能定理 力矩的功 2 1 22 21 11 22 MdJJ ? ? ? ? 刚体在作定轴转动的过程中，其转动动能的 增量等于刚体所受的沿定轴方向的合力矩对刚体 所作的功 为定轴转动的动能定理。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 5、机械能守恒定律 如果仅有保守力对定轴转动的刚体做功，则其 机械能守恒，即转动动能与势能的总和为常量。 若质量为m的刚体，仅在重力场中作定轴转动， 以yc表示刚体质心的竖直坐标，则机械能守恒方程 为 2 1

20、2 c EJmgy? 常量 根据柯尼希定理，则 22 11 22 ccc EmvJmgy? 常量 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 （1）确定研究对象。 （2）受力分析，确定做功的力矩。 （3）确定始末两态的动能。 （4）列方程求解。 6 6、应用转动动能定理解题方法、应用转动动能定理解题方法 2 1 22 21 11 22 MdJJ ? ? ? ? 理论依据理论依据 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 ? mg o m,l c 例5.3.1 自由摆下的杆

21、有匀质细杆长为 l，质 量为m，可以绕过端点的水平轴在竖直平面内自由 摆动。今使杆自水平位置由静止释放，求： 2）杆摆到竖直位置时，轴 与杆的相互作用力。 1）杆摆到 位置时的角速度 和角加速度； ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 由 得： MJ? 2 11 23 mglcosml? 3 2 g cos l ? 因为 dddd dtddtd ? ? ? ? 所以，分离变量并积分得： 00 3 3 2 g dcos d l g sin l ? ? ? ? ? ? ? 解： （1）方法一，利用转动定理求 ，积分求 。 ? ?

22、 ? mg o m,l c 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 方法二，利用动能定理求 ，求导数得 。 ? ? 重力矩作功： 0 AMd ? ? ? 0 2 l mgcos d ? ? ? ? 1 2 mglsin? 由动能定理： 2 22 11 0 22 11 23 mglsinJ ml ? ? ? ? ? ? ? 3g sin l ? 本题也可用机械能守恒定律计算 ? mg o m,l c 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 22 111 223 mgls

23、 inml? ? ? ? ? 将方程 两边对时间求导数得 2 3 dd g cosl dtdt ? ? 3 2 dg cos dtl ? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 ? mg o m,l c x N y N 由质心运动定理得 （2）当杆摆到竖直位置时， 。 2 ? ? ? 3 0 g l ? 2 2 2 xcx ycy l Nmam l Nmgmam ? ? ? ? 由上两式解得 5 0 2 xy NNmg? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 例

24、5.3.2 粗糙桌面上绕定抽转动的圆盘 o R m ? ? 2）圆盘转动几圈后停止。 1）从开始到停止所经历 的时间； 一半径为R 的匀质圆盘，以初角速度? 0在摩擦 系数为 ? 的水平桌面上,绕光滑质心轴转动。若转动 过程中盘面与桌面始终紧密接触，求： 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 o R m ? ? dr r 解： （1）以圆盘为研究对象， 将圆盘分 割成无限多个圆环。每个圆环的质量为： 22 2 2 mm dmdSrdrrdr RR ? ? ? 每个圆环产生的摩擦力矩为 ， 2 2 2 mg dMdmg rr dr

25、 R ? ? ? ? ? 阻 整个圆盘产生的摩擦力矩为 2 2 0 2 R MdM mg r dr R ? ? ? ? ? ? 阻阻 2 3 mgR? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 根据转动定律： d MJJ dt ? ? 0 0 0 t MdtJd ? ? ? 2 0 00 1 2 2 3 3 4 mR J M mR R t g g ? ? ? ? ? ? 其中 为常量，将上式分离变量并积分，则 M 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 2 0 0

26、1 0 2 MdJ ? ? ? 阻 22 0 211 322 mgRmR? ? （2 2）根据动能定理： 2 0 3 8 R g ? ? ? ? 则转过的角度： 则转过的圈数： 2 n ? ? ? 2 0 3 16 R g ? ? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 x N F C O x y N A b d 所示，已知刚体的质量为 m 、 对轴转动惯量为 J0 ，b表示质 心到O点的距离。求打击中心 到转轴的距离d。 例5.3.3 打击中心 一刚体竖直悬挂于支点 O且 可以绕点O在竖直平面内自由转动。以水平力打击 刚体的

27、A点，若打击点选择合适，则打击过程中轴 对刚体的水平力为零，该点 A称为打击中心。如图 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 根据质心运动定理 xcx FNma? 根据对支点O的转动定律 o FdJ? 又因 cx ab? A点为打击中心 0 x N ? 则解得 0 J d mb ? 对于匀质细棒： 2 12 323 o l Jmlb,dl.? x N F C O x y N A b d 解： 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 5.4 力学体系绕定轴转动力学体系

28、绕定轴转动 ? ?力学体系：力学体系：是指由质点、变形质点系、刚体等 多个物体组成的整体。 如图所示：由人、哑铃、 转盘组成的力学体系。 整体绕定轴转动，但其中 的各个部分有的作平动，有的作转动。 o ? ? ?解决此类问题的基本方法为： 1、隔离分析法： 转动体 MJ? 转动定律 平动体 Fma? 牛顿第二定律 平动体 转动体 找出关系式 5 . 4 节 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 2、整体分析法：整体分析法： 从力的角度 ? iziz d ML dt ? ? 质点系的角动量定理 从能的角度 21eikk AAEE?

29、 质点系的能动定理 （角动量守恒） （机械能守恒） zizziz MMoLL? ? 常量若 eikp AAAEEE? 保 常量 若 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 例5.4.1 研究阿特伍德机的运动 .滑轮可看作匀质 圆盘，且 。求：两物体的加速度。 21 mm 解法一：隔离分析法，取顺时针转 动 为正方向。 由此解得 21 12 2 m gmg a mmm ? ? ? 1 T 2 T 2 m 1 m 1 T 2 T mR 1 m g 2 m g ? 111 2 22 2 21 1 2 Tm gma m gTm a TT

30、RmR aR ? ? ? ? ? ? 1 m m 2 m ? 12 TT? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 2 m 1 m mR 1 m g 2 m g 解法二：整体分析法，利用角动量 定理。取顺时针转动 为正方向。 系统角动量为： 22 12 LmRm RJ? dL M dt ? 222 2112 1 2 d m gRm gRm RmRmR dt ? ? ? ? ? 21 12 2 m gm g a mmm d RR dt ? ? ? ? ? 由于 所以 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如

31、有不 当之处，请联系本人或网站删除。 2 m 1 m mR 1 m g 2 m g 解法三：解法三：整体分析法，利用动能定整体分析法，利用动能定 理。理。取顺时针转动 为正方向。 ? 22 21120 11 22 k m gxm gxmmvJE? 对上式求导数 ? ? ? 2112 2 12 12 1 2 2 d m gvm gvmmv aJ dt mmv amR mmmv a ? ? ? ? ? ? ? ? ? vRaR? 所以 ? 21 12 2 mgmg a mmm ? ? ? 整体分析法更简单！整体分析法更简单！ 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不

32、当之处，请联系本人或网站删除。 1）物体A、B运动多 长时间C才开始动？ 2）物体C运动时的 速度多大？ 例5.4.1 连结体的定轴转动 A、B、C的质量都 是 m ，A和C间用长为 l 的细绳相连接。A通过一跨过 定滑轮的细绳与B相连，定滑轮为半径R 、质量m 的 匀质圆盘。先用手托住 B，使A、B间的绳子刚好伸长， 如图所示。不计绳的伸长和轴处的摩擦，设绳与滑轮 间不打滑，求放手后： m m,R AC B m m mg l 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 m m,R AC B m m mg l 解： （1）采用整体分析

33、法，利用角动量定理 求解。求解。C动前，视A、B、盘为一整体，其角动量为 222 2 1 22 2 5 2 LmRJmRmR mR ? ? ? ? 由于 dL M dt ? 2 5 2 d mgRmR dt ? ? 2 5 g d RR t a d ? ?所以 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 由 得， C开始运动的时间为 2 1 1 2 lat? 1 25ll t ag ? （2）从绳绷紧到C运动的瞬间，A与C作用时间极短， 视A、B、C、盘为一整体，系统所受的外力矩为物体 B 的重力矩可忽略， 因此角动量守恒。 则有 1

34、122 23mv RJmv RJ? 111 2 5 5 vatlgR? 22 vR? 其中 m m,R AC B m m mg l 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 由以上各式解得，物体 C开始运动的速度为 21 52 5 77 vvlg? 请用其他两种方法求解！ 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 1 m ,l A B m e 0 v ? 例例5.4.3 小球与定轴转动的杆的碰撞小球与定轴转动的杆的碰撞 长为l、质 量为 M 的匀质细杆AB，可绕过端点A的

35、光滑轴在水 平桌面内转动，最初杆静止，今有一质量为 m的球沿 垂直于杆的方向飞向端点 B，与杆发生碰撞。设碰撞 的恢复系数为e，杆与 桌面的摩擦系数为， 问为使杆至少转一周， 球的初速度最小应为 多大？ 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 1 m ,l A B m e 0 v ? 解： 1）球与杆的碰撞过程， 由于作用时间极短， 摩擦阻力矩可忽略，因此 角动量守恒（动量不守恒）。 取逆时针方向为正。则有 0 0 mv lmvlJ lv e v ? ? ? ? ? （1） （2） 2）杆的转动过程，根 据动能定理得 22 0 1

36、1 22 MdJJ ? ? ? （3） 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 于是（3）式可写为 22 1 111 222 m glJJ? 解得 ? ? 2222 1 3 Jl m glg ? ? ? ? ? 其中 1 1 0 1 2 l m Mdmg rgrdrm gl l ? ? ? ? ? 2 1 1 3 Jml? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 至少转一周的条件为至少转一周的条件为 ?2? 2 ? ? 0 因此有 2? 2 3 l g ? ? 6g

37、l ? ? v 由（1）和（2）式消去 ，解得 ? ? 0 1 31 3 mve mm l ? ? ? ? 于是有 ? ? 0 1 31 3 mve mm l ? ? 6g l ? 解得 0 v ? 1 3 6 31 m m gl me ? ? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 例5.4.4 质量为 M ，半径为 R 的转台，可绕中心 轴转动。设质量为 m 的人站在台的边缘上，初始时人、 台都静止。如果人相对于台沿边缘奔跑一周，问：相 对于地面而言，人和台各转过了多少角度？ 解：解： 角动量守恒： 0JJ? 人台台地人地

38、 ? 人地人台台地 J JJ ? ? 人 台地人台 人台 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 J dtdt JJ ? ? ? ? 人 台地人台 人台 4 2 2 Jm JJmM ? ? ? ? ? 人 台地 人台 2 2 M mM ? ? ? ? ? 人地人台台地 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 思考思考5.4.1 一个人站在有光滑固定转轴的转动平 台上,双臂伸直水平地举起二哑铃 ,在该人把此二 哑铃水平收缩到胸前的过程中 ,人、哑铃与转动 平台组成的系统

39、的 （A）机械能守恒 , 角动量守恒; （B）机械能守恒 , 角动量不守恒, （C）机械能不守恒 , 角动量守恒; （D）机械能不守恒 , 角动量不守恒. 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 思考思考5.4.2 人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道 运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的 (A) 动量不守恒，动能守恒； (B) 动量守恒，动能不守恒； (C) 角动量守恒，动能不守恒； (D) 角动量不守恒，动能守恒。 m 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请

40、联系本人或网站删除。 5.5 刚体的平面平行运动 ? 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动: : 刚体运动时，刚体内每个 点的轨迹都是一条平面曲线，各曲线所在平面都某 一固定平面平行。 5 . 5 节 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 ? 运动的特点：运动的特点： 1）刚体的质心始终位于同一个平面上。 2）刚体内垂直于固定平面的直线上各点具有完全相 同运动状态。 3）刚体内平行于固定平面的各平面有相同的运动特 征。 ? 三个自由度 两个平动自由度 一个转动自由度 ? 只须研究质心所在平面的运动只须研究质心所在平面的运动 :

41、: 质心运动+绕质心转动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 5.5.1 运动学简介运动学简介 1、运动学方程 如图所示，取质心所在 的平面为研究对象，任取一 点A为基点（一般取质心）。 则P点的运动方程为 ?A r P y? x?A y x O r? P r ? AA xxt ,yy.t ,t? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 2、 运动叠加原理 ?A r P y? x?A y x O r? P r P点运动 随基点A平动 绕基点的转动 ? 基点A可

42、以任意取 ? 基点A的平动量（ ）因基点而异；绕 基点A的转动的角量（ ）都相同。 AAA r ,v ,a , ,? ? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 A B C B C A ? A r C r ? 举例：直角三角形的平面平行运动 可见，基点不同，平移的位移不 同，但转过的角度相同，转向也 相同。 ? 以A为基点平移 ，逆转 。 A r 0 90? ? 以C为基点平移 ，逆转 。 C r 0 90? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 3、 刚体上任

43、一点P的速度和加速度 ? A r P y? x?A y x O r? P r 根据伽利略变换式： PA rrr? ? 刚体上任一点P的速度 PAA vvvvr? ? 刚体上任一点P的加速度 2 P A An A a arr aa ddr ar dt a dt ? ? ? ? ? ? ? ? dr vr dt ? ? ? ? ? ? （ 为定长旋转矢量） r? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 4、运动学特例圆柱体的纯滚动 ? 纯滚动：摩擦力足够大，接触点间无相对滑动。 ? 滑滚运动：摩擦力不够大，刚体既滚动又滑动。 1）纯滚

44、动的运动学判据： ? ? ? A A ? cc ? 质心C的位移为： 质心C的速度为： c vR? 质心C的加速度为： c aR? 运动学判据 ?Rxc? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 2）纯滚运动的速度分布： 以质心C为基点： 最高点D的速度为 接触点A的速度为 2 CDDCC vrvv? 0 CACACC vrvvv? 任一点E的速度为 ECCE vvr? 可见， 代表刚体整体的速度，刚体上的每一点 都具有这个平动速度。 C v FE D C A D v E v 0 A v ? F v cA r? c v c v ?

45、 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 FE D C A D v E v 0 A v ? F v c v ? 以接触点A为基点： DAD vr? 任一点 P 的速度为 AAP A P P vvr r ? ? ? ? ? ? ? CAC vr? 因此有 ? 可见，对于纯滚动，若取接触点 A 为基点，在某 瞬时刚体的平面平行运动，可视为 A点的单纯转动。 0 A v ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 ? 作纯滚动的刚体，与平面的接触点就是它的瞬心。 瞬时转动中

46、心 ： 在任何瞬时，作平面平行运动的刚体（或它的延 伸体）上总有一点O，其速度v0=0 。此刻刚体只能绕 此点旋转。 这个点称为瞬时转动中心 ，简称 瞬心 。 ? 确定瞬心的几何方法： O C c v c v? 1）若已知 和 ， 瞬心O在与 垂直且 相距 的地方。 c v? c v? c v B O A B v A v 2）若已知刚体上A、B两点同一时刻速度的 方向，则它们垂线的交点即为瞬心。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 注意注意 刚体作纯滚动时，接触点的速度为零，但加速 度不为零。 CAC ara ? ? ? AC

47、n aaaa ? ? 2 AnCA aar? ? 以质心C为基点有 其中 所以 c a 2 CA r? CA r? c aA C ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 5.5.2 平面运动动力学平面运动动力学 刚体的平面 平行运动 随质心平动 绕质心的转动 ? 三个自由度：两个平动自由度和一个转动自由度 取质心为基点取质心为基点 动力学方程 角动量定理 质心运动定理 xx yy Fma Fma ? ? cc MJ? 注：注：也可以用动能定理或机械能守恒定律求解 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档

48、如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 例例5.5.1 沿固定斜面的纯滚动沿固定斜面的纯滚动 一半径为R、质量为m 的匀质圆柱体,沿倾角为?的固定斜面无滑动的滚下。 若不计滚动摩擦。试求圆柱体质心的加速度。 解：方法一解：方法一 利用运动叠加 原理， 质心的平动加绕质心的转动。 动力学方程为 0 c c c mg sinfma Nmg cos fRJ aR ? ? ? ? ? ? ? ? （纯滚动条件） 解上述四式可得 2 2 c c mgR sin a JmR ? ? ? o C A y x c a ? f mg N ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不

49、 当之处，请联系本人或网站删除。 2 2 c c mgR sin a JmR ? ? ? 1）根据 实心圆柱体： 实心球体： 薄圆筒： 2 2 3 1 2 cc JmRag sin? 2 5 7 2 5 cc JmRag sin? 2 1 2 cc JmRag sin? 【讨论讨论】 ? 2 1 C fmg sinmRJ,Nmgcos? 2）根据纯滚动的 动力学判据： fN ? ? 22 11 CcC tanmRJ,tanmRJ? ? 临界角 转动惯量越小加速度 越大 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 方法二方法二 用机械能

50、守恒定律。 由于圆柱体作纯滚动，接触点 无相对滑动，静摩擦力不做功，只有重力做功，机械能守恒。 o C A y x c a ? f mg N ? ? 22 0 11 22 ccc mvJmgx sinE?常量 对上式求导数得 0 cccc mv aJmg v sin? ? 其中 cc vRaR? 解得 2 2 c c mgR sin a JmR ? ? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 解得 2 2 c c mgR sin a JmR ? ? ? 2 AAc c MmgRsinJJmR aR ? ? ? ? 其中 AA

51、MJ?动力学方程为 o C A y x c a ? f mg N ? 方法三方法三 视为绕瞬心 A 的纯转动。 注意：一般情况对瞬心的角动量定理不成立，当满足条件 “瞬心到质心的距离保持不变”时，对瞬心可用角动量定 理. 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 例5.5.2 沿加速平板表面的纯滚动 在水平板上放 一半径为 R,质量为m的匀质球。设平板具有加速度 a ， 球沿平板作纯滚动，求球质心的加速度和所受静摩擦 力的大小。 解：以球为研究对象、 平板为参考系（非惯性 系），则动力学方程为 2 2 5 c c fmama fRm

52、R aR ? ? ? ? ? ? x? y? o? N f ma mg C c a? a 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 由以上三式解得： 52 77 c aa ,fma ? ? ? 因此，球心的加速度为 52 77 cc aaaaaa? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 例5.5.3 何时开始纯滚动 有一缓慢改变倾角的 固定斜面，如图所示。一质量为 m ，半径为R 的匀质 圆柱体从高h 处由静止沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗 糙水平面运动。已知水平面与圆柱

53、体间的摩擦系数?, 求： 1）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。 2）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。 mg N f C C x h C 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 mg N f C C x h C 解：1）沿 光滑斜面，圆柱 体仅作滑动；沿 水平面达到纯滚 动前作滑滚运动。 动力学方程为： ? 2 0 2 1 2 1 2 c mg hRmv mgma mgRmR ? ? ? ? ? 由以上三式解得： ? 0 22 c vg hRagg R? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 达到纯滚动前有： ? 0 0 2 2 cc vva tg hRgt tgt R ? ? ? ? 达