（推荐）哈工大大学物理--振动-波动习题

1、振动和波动 机械振动知识要点机械振动知识要点 1.掌握简谐振动的表达式和三个特征量的意掌握简谐振动的表达式和三个特征量的意 义及确定方法义及确定方法 决定于系统本身的性质！决定于系统本身的性质！ A和和 由初始条件由初始条件x0, v0决定！决定！ 0 2 0 2 0 x v xA 0 0 tan x v v0的正负号的正负号(sin ) 值值 )cos(tAx m k 2. 掌握简谐振动的动力学特征，并能判定简谐掌握简谐振动的动力学特征，并能判定简谐 振动，能根据已知条件列出运动的微分方程，振动，能根据已知条件列出运动的微分方程， 并求出简谐振动的周期并求出简谐振动的周期 (1). 动力学判

2、据动力学判据: kxF (3). 运动学判据运动学判据: 0 cosx tAt )arctan( 0 0 0 x v 0 2 2 2 x dt xd (2). 能量判据：能量判据： 振动系统机械能守恒振动系统机械能守恒 恒量 22 2 1 2 1 xkmv 3. 掌握简谐振动的能量特征掌握简谐振动的能量特征 总的机械能：总的机械能： 222 11 22 pk EEEmAkA 4. 掌握简谐振动的合成规律掌握简谐振动的合成规律:同方向、同频率同方向、同频率 简谐振动的合成简谐振动的合成 )cos( 21 tAxxx )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA 2211 2211 cosc

3、os sinsin tan AA AA k2)( 21 )12()( 21 k 2121 AAAAA 21 AAA 21 AAA 其其它它值值 )( 21 ( ( 同相同相 ) ) ( ( 反相反相 ) ) 本章基本题型：本章基本题型： 1、已知振动方程，求特征参量、已知振动方程，求特征参量 2、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程 3、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动 4、简谐振动的合成、简谐振动的合成: 动力学判据动力学判据；能量判据；能量判据；运动学判据运动学判据 解析法、解析法、旋转矢量法旋转矢量法

4、 （振幅、周期、频率、初相位）（振幅、周期、频率、初相位） 例例 一质量为一质量为m = 10 g的物体作简谐振动，振幅为的物体作简谐振动，振幅为A = 10 cm ,周期周期T = 2.0 s。若。若t = 0时，位移时，位移x0= - 5.0 cm，且，且 物体向负物体向负x方向运动，方向运动， 试求：试求： （1）t = 0.5 s时物体的位移；时物体的位移； （2）t = 0.5 s时物体的受力情况；时物体的受力情况； （3）从计时开始，第一次到达）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间；所需时间； （4）连续两次到达）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。处的时间

5、间隔。 【解解】0.10mA 2rad/s)T （1 1）由已知可得简谐振动的振幅）由已知可得简谐振动的振幅 角频率角频率 振动表达式为振动表达式为 0.10cos o xt (SI) 0t 时0.10cos0.05m o x 0.05 sin0 o v x 0.1O-0.05 0t 23 o 由旋转矢量法可得由旋转矢量法可得 振动方程振动方程 0.1cos23xt t=0.5s时物体的位移时物体的位移? 0.1cos230.1cos 0.5230.0866mxt （2） t = 0.5 s时物体受到的恢复力时物体受到的恢复力? 由（由（1）得）得 0.0086NFkx 22 0.010.09

6、9km N/m (SI) （3）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间； （4）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。 x 0.1O-0.05 0t 0.05 1 5323 1st 第一次到达第一次到达x=5.0cm=5.0cm时的相位为时的相位为 5 3 故故 第一次达到此处所需时间为第一次达到此处所需时间为 2 23 0.67st 连续两次到达连续两次到达x = 5.0 cm处的相位差为处的相位差为 2 3 例例2、如图所示的振动曲线。求：、如图所示的振动曲线。求： （1）简谐振动的运动方程）简谐振动的运动方程 （2）由状态）由状态a运动到状态运动到状态b，再由，再由b

7、运动到运动到c的时间的时间 分别是多少分别是多少 （3）状态）状态d的速度和加速度的速度和加速度 【解解】方法方法1 解析法解析法 000 12 cos 223 A x 000 0sin0sin0vA 0 cos()xAt 0cos(52/3)0 c x 0 0sin(52/3)0v 0t 原点：原点： 5ts c点：点： 2 3 1 6 方法方法2 旋转矢量法旋转矢量法 （1）0t 0 / 2xA 0 0v 确定旋转矢量确定旋转矢量 2 3 5 6 t 1 6 振动方程为振动方程为 12 cos() 63 xAt t -A-A/2AA/2xO (SI) （2）由状态）由状态a运动到状态运动到

8、状态b，再由，再由b运运 动到动到c的时间分别是多少的时间分别是多少 （3）状态）状态d的速度和加速度的速度和加速度 -A-A/2AA/2x /6 a /3 /3 2 /6 ba ba ts /6 1 /6 cb cb ts sin0.451 3 d vAA 2 2 2 2 cos 63 m/s 72 d axA A 例例3 一匀质细杆质量为一匀质细杆质量为m，长为，长为l，上端可绕悬挂轴无，上端可绕悬挂轴无 摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为k的轻的轻 弹簧相联，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生形变。弹簧相联，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生

9、形变。 求细杆作微小振动是否是简谐振动。求细杆作微小振动是否是简谐振动。 O 【解解】方法一方法一. 分析受力法分析受力法 mg f 22 2 d (sin )(sincos ) 23d gF mglml MMMkll t 很小时很小时 2 2 22 d3 0 d2 mgl kl tml 细杆微小振动是简谐振动细杆微小振动是简谐振动 取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向 方法二方法二. 分析能量法分析能量法 由杆、弹簧、地球所构成的系统，机械能守恒。取平衡位置由杆、弹簧、地球所构成的系统，机械能守恒。取平衡位置 系统的势能为零，当杆在某一

10、任意位置时，系统机械能为系统的势能为零，当杆在某一任意位置时，系统机械能为 22 11 (1 cos ) 222 l EJConksxtmg xl 2 1 sin0 2 ddd Jklmgl dtdtdt J为杆绕为杆绕O轴的转动惯量，轴的转动惯量，x为弹簧伸长量，杆作微小振动时，为弹簧伸长量，杆作微小振动时， 代入上面式子，并且两边对时间求一次导数，有：代入上面式子，并且两边对时间求一次导数，有： 2 1 sin0 2 ddd Jklmgl dtdtdt 2 2 2 1 , 3 ddd Jml dtdtdt sin 式中，式中， 在杆作微小振动时，在杆作微小振动时， 代入后，可以得到：代入后

11、，可以得到： 杆的微小振动是简谐运动杆的微小振动是简谐运动 2 2 22 d3 0 d2 mgl kl tml 例例 如图所示，两轮的轴相互平行，相距为如图所示，两轮的轴相互平行，相距为2d，两轮的转速相同而转向相反。，两轮的转速相同而转向相反。 现将质量为现将质量为m的一块匀质木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为的一块匀质木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为u。 若木板的质心偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期。若木板的质心偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期。 O 2d x 解：解： 以木板的中心为坐标原点，向右的方向为正，以木板的中心为坐标

12、原点，向右的方向为正， 设木板的质心偏离原点设木板的质心偏离原点x，木板对两轮的作用力，木板对两轮的作用力 分别为分别为N1，N2 根据木板所受力矩平衡条件根据木板所受力矩平衡条件 12 Ndmg dx 22 Ndmg dx 木板在水平方向所受到的合力木板在水平方向所受到的合力 12 mg FNNx d 水平方向水平方向 2 2 d d x Fm t 2 2 d 0 d xg x td 振动周期振动周期2 d T g 例例. 图中定滑轮半径为图中定滑轮半径为 R, 转动惯量为转动惯量为 J ， 轻弹簧劲度系数为轻弹簧劲度系数为 k ，物体物体 质量为质量为 , 现将物体从平衡位置拉下一微小距离

13、后放手，不计一切摩擦和空现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空 气阻力，使证明系统作简谐振动，并求其作谐振动的周期。气阻力，使证明系统作简谐振动，并求其作谐振动的周期。 m k R J O X x T1 mg 解：以解：以 m 为研究对象。为研究对象。 在平衡位置在平衡位置 O 时：合外力时：合外力 0 0(1)Fmgk l 在任意位置在任意位置 x 时：合外力时：合外力 1 (2)FmgT 以下由转动系统解出以下由转动系统解出 T1： f T1 R 1 1 () ()(3) T Rklx RJ J Tklx R 将将 （1），（），（3）代入（）代入（2）中，合外力）中，合

14、外力 ()(4) JJ Fmgklxkx RR 而物块下落加速度等于滑轮旋转加速度而物块下落加速度等于滑轮旋转加速度 aF RmR 代入（代入（4）中得）中得 2 JF Fkx mR 2 22 (1)() JmR k FkxFx mRmRJ 合外力与位移成正比且方向相反，系统的动力学方程为合外力与位移成正比且方向相反，系统的动力学方程为 角频率为角频率为 2 2 2 R k mRJ 周期周期 2 2 2 2 mRJ T kR 22 22 d ()0 d xmR k mx tmRJ 例例4:4:劲度系数为劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为的轻弹簧挂在质量为m，半径为半径为R的匀质的匀质 圆柱体的对称

15、轴上，使圆柱体作无滑动的滚动，证明：圆柱体的对称轴上，使圆柱体作无滑动的滚动，证明： 圆柱体的质心作谐振动。圆柱体的质心作谐振动。 水平面水平面 k c 证明：证明： x c xo 建坐标如图，建坐标如图， 弹簧原长处为坐标原点，设原点处为势能零弹簧原长处为坐标原点，设原点处为势能零 点，质心在点，质心在xc时系统的机械能为时系统的机械能为 222 111 const. 222 ccc kxmvJ （注意上式中的（注意上式中的 是刚体转动的角速度）是刚体转动的角速度） 分析振动系统机械能守恒分析振动系统机械能守恒! 222 111 const. 222 ccc kxmvJ 2 2 1 mRJ

16、c c vR cmkx cc 22 4 3 2 1 两边对两边对t t求导数，得求导数，得 0 3 2 2 2 c c x m k t x d d 将将代入上式代入上式 得得 与动力学方程比较知，物理量与动力学方程比较知，物理量 xc的的运动形式是简谐振动运动形式是简谐振动 m k 3 2 圆频率圆频率 机械波知识要点机械波知识要点 1. 熟练掌握简谐波的描述熟练掌握简谐波的描述 平面简谐波的波函数：平面简谐波的波函数： 0 cos () x yAt u 五大要素五大要素 )cos( 0 kxtAy 0 cos2 () tx yA T 2. 记住能量密度、能流以及能流密度公式记住能量密度、能流

17、以及能流密度公式 平均能量密度：平均能量密度： 22 2 1 Aw 平均能流：平均能流： uSwP 平均能流密度平均能流密度波的强度：波的强度：uAuwI 22 2 1 3. 记住惠更斯原理的内容记住惠更斯原理的内容 媒质中波阵面上的各点都可以看做子波波源，其后任媒质中波阵面上的各点都可以看做子波波源，其后任 一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面 4. 熟练掌握简谐波的干涉条件，干涉加强、熟练掌握简谐波的干涉条件，干涉加强、 减弱的条件减弱的条件 波的相干条件：波的相干条件： 干涉加强或减弱的条件：干涉加强或减弱的条件： 12 12 2,(0,1,2,.), (

18、21) ,(0,1,2,.), kkAAA kkAAA 振幅最大 振幅最小 2121 2 ()rr 振动方向相同；振动方向相同；相位差恒定相位差恒定频率相同；频率相同； 5. 理解驻波的形成，并掌握驻波的特点理解驻波的形成，并掌握驻波的特点 两列频率、振幅和振动方向都相同而两列频率、振幅和振动方向都相同而传播方向相反传播方向相反的的 简谐波叠加形成驻波，其表达式为简谐波叠加形成驻波，其表达式为 2 2coscosyAxt (21),0, 1, 2,. 4 xkk ,0, 1, 2,. 2 xkk 波节：波节： 波腹：波腹： 2 cos00 x 振幅 2 cos12Ax 振幅 驻波的特点：驻波的

19、特点： 1. 相邻波腹（节）之间的距离为相邻波腹（节）之间的距离为 /2 2. 一波节两侧质元具有相反的相位一波节两侧质元具有相反的相位 3. 两相邻波节间的质元具有相同的相位两相邻波节间的质元具有相同的相位 4. 驻波无能量传递驻波无能量传递 同号相同；同号相同； 异号相反！异号相反！ 6. 掌握半波损失的概念掌握半波损失的概念 波从波从波疏媒质到波密波疏媒质到波密媒质，从波密媒质反射媒质，从波密媒质反射 回来，在反射处发生了回来，在反射处发生了 的相位突变的相位突变 在在自由端无自由端无相位突变，无相位突变，无半波损失半波损失 折射无半波损失折射无半波损失 在在固定端有固定端有 相位突变，

20、有相位突变，有半波损失半波损失 本章基本题型：本章基本题型： 1. 已知波动方程，求有关的物理量已知波动方程，求有关的物理量 (1) 求波长、周期、波速和初相位求波长、周期、波速和初相位 2. 由已知条件建立波动方程由已知条件建立波动方程 (2) 求波动曲线上某一点的振动方程求波动曲线上某一点的振动方程 (3) 画出某时刻的波形曲线画出某时刻的波形曲线 (1) 已知波动曲线上某一点已知波动曲线上某一点 的振动状态的振动状态 (2) 已知某一时刻的波形曲线已知某一时刻的波形曲线 3. 波的传播及叠加波的传播及叠加 (2). 驻波驻波 (1). 波的干涉波的干涉 (3). 半波损失半波损失 例例

21、一波长为一波长为 的平面简谐波，已知的平面简谐波，已知 A 点的振动方程为点的振动方程为 y=Acos(t+) 试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式 y O A x u y O A x u y xOA l u 解答提示解答提示 （1)(2)(3) （1） cos() x yAt u （2） cos() x yAt u （3） cos() xl yAt u （4） cos() xl yAt u x O A u y (4) l 1. 有一以速度u沿x轴正向传播的平面简谐波， 其质点振动的振幅和角频率分别为A和, 设某一瞬间的波形如图所示，并以此瞬

22、间 为计时起点，分别以o和p点为坐标原点， 写出波动表达式。 u y AM-A 解解: (1) 以以O点为坐标原点，设点为坐标原点，设O点振动方程为点振动方程为 cos()yAt 0t O u 2 O 以以O点为坐标原点的波动表达式为点为坐标原点的波动表达式为 cos () 2 O x yAt u P P 以以P点为坐标原点的波动表达式为点为坐标原点的波动表达式为 cos () P x yAt u xO P y 2. 如图所示，S 1、S2为同一介质中沿其连 线方向发射平面简谐波的波源，两者相距作同方向、 同频率、同振幅的简谐振动，设S1经过平衡位置向 负方向运动时, S2恰处在正向最远端，且

23、介质不吸收 波的能量。求： S1S2x/m 4 5 S1和和 S2外侧合成波的强度外侧合成波的强度 S1和和S2之间因干涉而静止点的位置，设两列之间因干涉而静止点的位置，设两列 波的振幅都是波的振幅都是A0，强度都是，强度都是I0 。 x AM -A 0t S1 S2 2 1 0 2 两列波在干涉点的相位差两列波在干涉点的相位差 解解: 121212 22 ()/2()rrrr (1) 在在S1左侧的左侧的P点，两列波的波程差点，两列波的波程差 12 5 4 rr 12 25 ()3 4 满足干涉条件，所以在满足干涉条件，所以在S1左侧所有点合成振幅左侧所有点合成振幅A=0,合合 成波强度为零

24、成波强度为零 S1S2x/m 4 5 (2) 在在S2右侧的右侧的P点，两列波的波程差点，两列波的波程差 4 5 21 rr 12 2 5 ()2 4 满足干涉加强条件，所以在满足干涉加强条件，所以在S2右侧所有点合成振幅右侧所有点合成振幅 A=2A,合成波强度为合成波强度为4I0 (3) 在在S1、S2之间，两列波沿相反方向到达干涉点，设之间，两列波沿相反方向到达干涉点，设 任意干涉点到任意干涉点到S1的距离为的距离为x，则，则r1=x，r2=5/4-x， 12 5 2 4 rrx 12 254 (2)3 4 xx 4 3(21) ,0, 1, 2.xkk (1) 2 xk 在干涉静止点：在

25、干涉静止点： 4 5 0 x , 2 1 x S1S2x/m 4 5 3. 一平面简谐波沿x正方向传播如图所示，振幅为 A，频率为v, 速率为u. 求 (1) t=0时，入射波在原点o处引起质元由平衡位 置向位移为正的方向运动，写出波表达式 (2) 经分界面反射的波的振幅和入射波振幅相等 写出反射波的表达式，并求在x轴上因入射 波和反射波叠加而静止的各点位置。 O P u x 波疏波疏波密波密 4 3 解解: (1) 由已知条件可写出入射波在由已知条件可写出入射波在O点的振动表达式点的振动表达式 cos(2) 2 O yAt 入 入射波的表达式为入射波的表达式为 2 cos2 ()cos(2)

26、 22 x yAtAtx u 入 (2) 设反射波的表达式为设反射波的表达式为 2 cos2 ()cos(2) x yAtAtx u 反 在在P点，入射波的相位为点，入射波的相位为 23 2 42 t 入 反射波的相位为反射波的相位为 23 2 4 t 反 O u x 波疏波疏波密波密 4 3 P 由由 入反 得得 2 所以反射波的表达式为所以反射波的表达式为 2 cos(2) 2 yAtx 反 2 2coscos(2-) 2 yyyAxt 入反 波节位置波节位置 2 cos0 x 2 (21),0, 1, 2. 2 xkk (21) 4 xk 因此合成波的表达式因此合成波的表达式 3 4 x

27、 (21),1 4 xkk 的整数 B B O d=5/4 x p 例例: 如图所示，波源位于如图所示，波源位于 O 处，由波源向左右两边发出振幅为处，由波源向左右两边发出振幅为 A，角频率为，角频率为 ，波速为，波速为 u 的简谐波。若波密介质的反射面的简谐波。若波密介质的反射面 BB 与点与点 O 的距离为的距离为 d=5/4, 试讨论合成波的性质。试讨论合成波的性质。 解：解： 设设 O 为坐标原点，向右为正方向。为坐标原点，向右为正方向。 ) 2 cos(),( 1 xtAtxy 自自 O 点向右的波：点向右的波： 自自 O 点向左的波：点向左的波：) 2 cos(),( 2 xtAtxy 反射点反射点 p 处入射波引起的振动：处入射波引起的振动： ) 2 cos() 4 5 ( 2 cos)( 2 tAtAty p 反射波在反射波在 p 点的振动（有半波损失）：点的振动（有半波损失）： ) 2