2014全国联赛专项突破：与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题 (学生版

1、与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题2014.5.27复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值.一、 1.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则A

2、BP的面积为()A18 B24 2设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)3若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OF的取值范围为()A32，) B32，) C. D.4定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离已知曲线C1：yx2a到直线l：yx的距离等于曲线C2：x2(y4)22到直线l：yx的距离，则实数a_.必备知识二、有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦

3、达定理，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2| |x2x1|或|P1P2|y2y1|，其中求|x2x1|与|y2y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形：|x2x1| ； |y2y1| .（2）抛物线的焦点弦长：(3)弦的中点问题：有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”、“设而不求法”来简化运算圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值: F1、F2为椭圆1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有：|OP|b，a； |PF1|ac，a

4、c； |PF1|PF2|b2，a2；F1PF2F1BF2.(2)双曲线中的最值: F1、F2为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有 |OP|a； |PF1|ca.(3)抛物线中的最值: 点P为抛物线y22px(p0)上的任一点，F为焦点，则有|PF|； A(m，n)为一定点，则|PA|PF|有最小值必备方法1定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积

5、、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量2.解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明难度较大【例1】 (2012湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点

6、M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y03)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值 解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等【突破训练1】 设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A，B两点(1)设L的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求

7、证：是一个定值该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点【例2】 (2012浙江)如图，椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程；(2)求ABP面积取最大值时直线l的方程【突破训练2】 已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为()A2 B C1 D0此类问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值常与距离、倾斜

8、角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇【例3】 (2011重庆卷改编)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e，且2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P满足：2，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为.问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由审题视点 (1)利用e，2求a，c.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由2可得xx12x2，yy12y2，又点M、N在椭圆x22y24上，可得x2y4，x2y4，再结合直线OM与ON的斜率之积为.可求得点P满足方程x22y220.由椭圆的定义可求解

9、【突破训练3】在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由圆锥曲线“最”有应得椭圆、双曲线、抛物线的最值问题的解题方法较灵活，学生时常感到无从下手常遇到面积最大最小问题，距离的最长最短问题，不定量的最大最小问题等等，下面给同学们提供两种解法，只要掌握了它们，就可以“最”有应得一、几何法求最值【示例1】 抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足(4，12)(1)求直线l和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P从点A运动到点B时，求ABP面积的最大值二、函数法求最值【示例2】 (2012广东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1