相似三角形的性质典型例题-辅助线的作法

1、相似三角形的性质-添加辅助线的方法.与相似三角形有关的辅助线（一）主要是掌握如何根据线段的比例式作平行辅助线（二）其他辅助线的做法举例例1 :已知：如图， ABC中，AB= AC, BD丄AC于D.求证：BC2 = 2CD- AC.BC Ac分析：欲证BC= 2CD- AC,只需证-BC二但因为结论 2CD BC中有“ 2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图 形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分 变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似由“2”所放的位置不同，证法也不同.证法一（构造2CD）:如图，在 AC截取DE= DC,/ BD丄 AC于 D, BD是

2、线段CE的垂直平分线, BC=BE /C=/ BEC,又 AB= AC, / C=/ ABC. BCEA ACB. BC _ ACBC ACCE BC，2CD BC bC2= 2CD-AC.证法二（构造2AC）:如图，在 CA的延长线上截取 AE= AC,BE,/ AB= AC, AB= AC=AE/ EBC=90 , 又 BD 丄 AC./ EBC=/ BDC=Z EDB=90, / E=Z DBC, EB3A BDC.BCCEBC 2AC即CDBC CD BC bC2= 2CD- AC.1证法三（构造一BC ）:如图，取 BC的中点E,连结AE,则2ECBC .2又 AB=AC, AE 丄

3、 BC,/ ACE=/ C/ AEC=/ BDC=90 ACEA BCD.丄BC CE .AC 即 2 = AC .CD BC CD BC BC2 = 2CD- AC.11证法四(构造BC )：如图，取BC中点E,连结DE,贝U CEBC .22/ BD丄 AC,. BE=EC=EB/ EDC=/ C又 AB=AC,ABC=Z C, ABBA EDC.BC ACJ即BCCDAC1 丄BC2 BC2= 2CD AC.说明：此题充分展示了添加辅助线, 开阔.例2 已知梯形 ABCD中，构造相似形的方法和技巧.在解题中方法要灵活，思路要AD/BC，BC=3AD，E 是腰 AB 上的一点,连结CECD

4、 EC(1)(2):BCE和四边形AECD的面积分别为Si和S2，且2S =3S2，试求业的值AE如果 CE_AB，AB 二 CD，BE = 3AE，求.B 的度数;（1） 解法DAE =k，贝V BE =3k如图，延长BA、CD交于点FF卢.旷-CAD/BC，BC =3AD , BF =3AF AF =2k，E 为 BF 的中点 又CE_BFBC=CF，又CF二BF BCF为等边三角形故 B = 60 解法2 如图作DF / AB分别交CE、CB于点G、 则CE _ DF，得平行四边形 ABFD 同解法1可证得 CDF为等边三角形 故 B 1 =60解法3 如图作AF / EC交CD于G，交

5、BC的延长线于F 作GI/AB，分别交CE、BC于点H、I 则CE _ GI，得矩形 AEHGAF/CE . BC 二匹=3，CF AE又BC=3AD CF二AD，故G为CD、AF的中点以下同解法1可得. CGI是等边三角形故.B =/1 =60解法4 如图，作AF/CD，交BC于F，作FG/CE，交AB于G，得平行四边形 AFCD，且FG _ AB读者可自行证得.ABF是等边三角形，故.B=60解法5 如图延长CE、DA交于点F，作AG/CD，分别交BC、CE于点G、H，得平行四边形AGCD可证得A为FD的中点，则 得ABG为等边三角形，故 解法6 如图（补形法），AH =2k，故.1 =6

6、0B =60读者可自行证明CDF是等边三角形,得 B F =60（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2）设 S BCE - 3S，则 S四边形 AECD - 2S 解法1 （补形法）如图补成平行四边形 ABCF，连结AC，贝U DF = 2AD设 S acd = x，则 S ace = 2s - X , SCdf = 2x由 S abc二 S acf 得，3s 2s - x = x 2x , x 二SaCE解法be-S BCE壬4aeS ace3 s4延长BA、CD交于点F ,s fad 丄Sabc 9（补形法）如图,5 s44D3s1S fadS fad8S梯形ABC

7、D5sS fad = 8 S ,S fec 二EF S fbc7BES.BEC85s 2S088 s，又 S *BC = 3S设 BE =8m，则 EF =7m ,beAE =2m , 二竺=4AE解法3 (补形法)如图BF = 15m,AF = 5mR连结AC，作DF / AC交BA延长线于点F 连结FC 则 FAD s . ：ABC，故 AB = 3AF (1)S.Acd - S.Acf , S四边形 AECDBE _ S.Eec _ S.Bce n EF S f ec S四边形AECDES FEC3故 2BE =3EF =3(AE AF)=3AE 3AF (2)be由(1)、(2)两式得

8、BE=4AE 即壬=4ae解法4 （割补法）如图-i C连结A与CD的中点F并延长交BC延长线于点G，如图，过E、A分别作高hi、h2 , 则CG = AD且S四边形AECD = S四边形AECG ,11 BC hBC2 又 _BC1 ， BG2 BE上，故AB 5S pBG = S弟形 ABCD = 5S3 S.EBCS.ABGBGhih2BE=4AE说明本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线， 构造相似三角形AF =丄 AD例3.如图4-1，已知平行四边 ABCD中，E是AB的中点，3 ，连E、F交AC于G.求图4解法1:延长FE交CB的延长线于H,四边

9、形 ABCD是平行四边形，/ H=Z AFE, / DAB=Z HBE又 AE=EBAEFA BEH,即卩 AF=BH,1 1 1AF AD AF BC AF CH/3,3 ，即 4/ AD/ CH,/ AGF=Z CGH / AFG=Z BHE,.A AFGA CGH AG: GC=AF CH, AG: GC=1: 4,. AG: AC=1: 5.4 2，延长EF与CD的延长线交于 M,由平行四边形 ABCD可知,AB/DC，即解法2:如图1AF = AD AF: FD=AE MD, AG: GC=AE MC.v3, AF: FD=1: 2, AE: MD=1 : 2.1 1AE AB DC

10、22. AE: MC=1 : 4,即 AG: GC=1: 4, AG: AC=1: 5E为BD的中点，贝U AF: AE=图4-5解析：取CF的中点G,连接BG.v B为AC的中点， BG: AF=1: 2，且 BG/ AF,又 E 为 BD 的中点， F为DG的中点. EF: BG=1: 2.故 EF: AF=1: 4, AF: AE=4: 3.例5、如图4-7，已知平行四边形 ABCD中，对角线 AC BD交于0点，E为AB延长线上一点,0E 交 BC于 F,若 AB=a, BC=b, BE=c,求 BF 的长.解法1:过O点作OM / CB交AB于M,/ O 是 AC 中点，OM / C

11、B,MB M是AB的中点，即 OM是厶ABC的中位线，且 OM / BC,Z EFB=/ EOM,BFOM1BC2EBF=/ EMO.BE BEFA MOE,BF c1 a b c 即22, OM EM ,BF 叵a 2cG,则可得 AOGA COF,BF AG=FC=b-BF T BF/ AG,. AGBE AE .BF即 b - BF a c ,BFbca 2cBFbea 2eBF _ BE解法3:延长EO与CD的延长线相交于 ”，则厶BEF与厶CNF的对应边成比例，即 CF 一 CN解得BFbea 2eAB BD例6、已知在 ABC中，AD是/ BAC的平分线.求证： AC CD .分析

12、1比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生.此题中ADABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用 平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决.证法1:如图49,过C点作CE/ AD,交BA的延长线于 E.图4-9BD BA在厶 BCE中，T DA / CE, . DC AE 又 CE/ AD,./ 仁/3,7 2=7 4，且 AD 平分/ BAC,/ 1 = 7 2,于是7 3=74,BD AB.AC=AE代入式得DC AC .分析2由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点 D作平行线.证法2:如图410,过D作DE/ AC交AB于E,则7 2= 7 3.图 4-L0AB转移到与7 1 = 7 2,.7 1 = 7 3.于是EA=EDBE _ BD AB _ BE _ BE 又 EA DC ,. AC ED EA 分析3欲证式子左边为 AB: AC,而ABAB _ BD.AC CD .AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AC平行的位置.证法3:如图411,过B作BE/ AC,交AD的延长线于 E,则7 2=7 E.S4 H/ 仁/2,：丄 仁/ E, AB=BEBD BE