研究生数理统计第三章习题答案

1、1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37 .如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化?解 由题意知，XLIN 4.55,0.1082 ，n=5，匚丄5人5 i 4=4.364，: = 0.05,习题二XLI N 4.55,0.1082 .现在测试了 5炉铁水，其含如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化字；=0.05 ？-21 5 2sXj - %0.09526.5 i 41）当二0 =0.108已知时， 设统计假设 Ho：- % =4.55, H1- 4.55.当=0.05时,u Uo.975 = 1.96， 20.1081.96 =

2、0.0947拒绝域为 K0 = x 0 c = x 0 0.0947.x 卩。=4.3644.55 =0.186壬K。，所以拒绝H。，接受 已，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.2）当 =4.55已知时，2 2 2 2 2 2设统计假设 HqY -心 =0.108 , H1- -0 =0.108 .当-0.05时，临界值為5 5 二 2.5666，-22.5666或笃：:0.1662.a010.025 5 =0.1662, C2 :n-2-2-2sss拒绝域为 K0 =2 勺或 2 : C1 = -2a0a0% 电=0.095乎=8.1670 K。，所以拒绝 匚00.108H。，接

3、受H1，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.2. 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值x = 950h .已知该 种元件寿命X LI N -,1002，问这批元件是否合格：0.05 ？=0.05, = 100 .解 由题意知，XL|N,1002 , n=25,匚=950,:-=1000.设统计假设H。：% =1000, Hi： 当 a =0.05时，= u0.05 =-1.65，临界值c_nu100二屈气-1.65-33,拒绝域为 K0 =x - ： c =x - ： 33.H0，接受Hi，即认为这批元件不合格 x- =950-1000 = 50 K0，所以拒

4、绝3. 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495（单位：g）,假定罐头质量服从正态分布.问1）机器工作是否正常=0.05 ？2）能否认为这批罐头质量的方差为5.52：二-0.05 ？解设X表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位：g）.由题意知XLI N 500门2，方差二2未知.= 500.8889 ,:二 0.05,2 2-2 1 n - 2x) =_迟(x -X ) =33.61111,8 y-21 5 2sx -030.66679 i =11）设统计假设

5、- * =500,已=500 . 门-10.97528 =2.306，临界值 c 二:n T =25.79752.306 二 4.4564拒绝域为 K0 = x - 巴 c = x - 4.4564.= 500.8889 500 =0.8889更K。，所以接受H。，拒绝 比，即认为机器工作正常.2）当 =500已知时,2 2 2 2 2 2 设统计假设 HqY =：；0 -5.5 ,H1 - =6 -5.5 . 当=0.05时，临界值1212 1212cin 0.02519 = 0.3, C24 n 0.975 9 - 2-1133 ,n肓9n1于9-2-2-2-2拒绝域为 Ko =二C2或

6、笃 2珂笃 2.1133或:：: 0.3. 0口0口0口0-22二.2=1.01378 K0 ,所以接受H。，拒绝H1，即为这批罐头质量的方差为；05.55.52.4. 某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为3.399元/500克，标准差为0.269元/500克.已知往年的平均售价一直稳定3.25元/500克 左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年:=0.05 ？解 由题意知，XLJN 3.252，n =20, x =3.399，? =0.05，s = 0.269.设统计假设H 0: ：0 =3.25,出：丄乜丄0 = 3.25 .当。=0.05时，

7、t(n 1)=t.95(19) = 1.729，临界值c = -tg( n 1 0：26x 1.72 0.1067一 n 一.19拒绝域为 K0 二x-% c二x-%0.1067X-% = 3.399-3.25=0.149 K0，所以拒绝H。，接受 已，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.5.已知某厂生产的维尼纶纤度xLI N J,0.0482，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,1.50,1.44,1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差匚2是否明显变解 由题意知X LI N J,0.0482 ，n =8，-1 8xx =1.42125，8 im

8、:-=0.05,1 n _ 2 1 n - 2s2 =区(x x)=(x x) =0.01221.n 1 i8 i =1设统计假设 H:二2- ；02 =0.0482, H1 :二2 二02 =0.0482.当=0.05时，临界值1c =n 1s20.95 7 = 2.01，拒绝域为 Ko 二202sc =22.01.%2 s0.。12? =5.2995 K0，所以拒绝 H。,0.0482接受Hi，即这天生产的维尼纶纤度的方2差二明显变大了6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h，标准差不得超过130h .现从一批该种元解设X表示这批元件的寿命，由题意知件中抽取25个，测得寿命均值为1

9、950h，标准差s = 148h.设元件寿命服从正态分布。试 在显著性水平0.05下，确定这批元件是否合格 .XLJN 2000,13c2 ，n = 25，x =1950，:-=0.05，s=148.1)设统计假设% =2000,比:： J =2000.当。=0.05时，tjn 1 )=如5 (24)=1.711，临界值s148c t：. n -11.711 二-50.6456一 n、25拒绝域为 Ko 二X - : c =x- % ： -50.6456.x - =1950 -2000二-50一 Ko，所以接受H。，拒绝比，即认为这批元件平均寿命不得低于2000h.-1302.2 2 2 2

10、22)设统计假设 Ho= 辽二。=130屮1飞 -o当:1c =n 1= 0.05时，临界值0.95 24 )=1.5175,，即认为这批元件标准差不超过130h .已知对统计假设 Ho :丄=1；s2s2拒绝域为 Ko =2 c = r 1.5175.aoaos21482丁而九29飞所以接受Ho 拒绝H1 所以这批元件合格.7.设X1,X2l(,Xn为来自总体xLn j,4的样本,H1= 2.5的拒绝域为Ko = ：X 2?.1)当n = 9时，求犯两类错误的概率匸与-；2)证明：当.十；时，=r 0,卩j 0.解 1)XL N ,4 , Ho =1,H1=2.5, Ko =X 2: , n

11、 = 9.f -.X _1 L 2_1 L0( =px 2 P=1 = P2J9/9 = 1.5、I 22J=1 -：1.5 =0.0668,P =PX 兰2 1丽=五! = 1 f H 0,(nT 址)，I 222 J I 2 丿B =pX 兰2 卩=2.5=p!X2.5vnw22.5vn =五 1 = 1五一 0,(nT 垃 i 224 J i4 丿8.设需要对某一正态总体X L N,4的均值进行假设检验H0I = 15;已、： 15取检.若要求当H1中的 -13时犯第n类验水平=0.05，试写出检验 H0的统计量和拒绝域错误的概率不超过 ：=0.05，估计所需的样本容量n .解 X N(

12、4), H0 J、=15;H115.拒绝域为K0：X -15 ： c?,统计量为a=- 1.65汉-2 =-?； n3.30, n=P I X -15 _ 3.30= PX-说叫3皿l麻丿P皎-13亦二需_1.65、=1P咳一13用兰需-1.65】 2 丿1 2 丿 0.05,JT（需1.65）色0.95,药1.65 Au0.95 =1.65,需 H3.30,n 色 3.32 = 11.所需的样本容量n =11.9.设X1,X2l|,Xn来自总体xLIn j02的样本，-02为已知，对假设2二 0解由题意知X LI N,二02 ,且匚02为已知，故c二Ui_一.-0n，拒绝域为K0 = X ：

13、-0 uiVnP =p（Xw%+c =已）=p（=- n），1 _ 1 所以5十比七=1石0 jn,2 n 2，-02Ui_：. U10.设X1,X2,|I(,X17为来自总体XLlN Of2样本，对假设H0Y2=9, H12二=3.319的拒绝域K0二s2 ： 41求犯第i类错误的概率 :和犯第n错误的.解由题意知X LI N 0,二2 ,，二 P W K0匚2 =9,耳:：4 ,r2 9j412厂行，查表得一0.025；1 二 P W K0宀 3.319,耳,o2 3.314J2 Hi “ -叫，其中f，试证明n =u. u-.41 2c j17，查表得-0.25 .3.31417 一11

14、.设总体的密度函数为日 X64,。VX1,0,其他.，统计假设Hr=1，H1 =2 .现从总体中抽取样本 X1,X2，拒绝域Ko =-X2 ,4X1解当g成立时f x 0,1,0 ： x :： 1,其他.X2 日=2、JP =PW 童 K。日=2 = P 彳14X1994x1 4 x1x2dx2dx1ln 0.75 ) 16 812.设总体xLI N J2，根据假设检验的基本原理，对统计假设:1）H ： = %,已：=亠%已知；2）H ： - 0,出： 二 $ 未知，试分析其拒绝域解1）因为xLIn（巴2-0n2y (n)j，22）因为XLI N,2 ，当未知时，nSCJn -1，P古CT21

15、 -：n -1 H0，即 P S2j i_ 20 2:gn -12 I 22 I所以拒绝域为K0 = S202 n-1.(n -1)14. 从甲乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率%为甲:243,208,237,213,17.4， 乙:182,169,202,16.72 2假定含灰率均服从正态分布且G问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异:=0.05 ？解 设X,Y分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知：xL N（叫F2）,Y_ N（Jf2）. 2 2n =5, m =4,x = 21.5, y =18， 0 = 7.505, s2 = 2.59333 .问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异，因此，可进

16、行以下假设检验。 统计假设H。： 7 =二2屮0： 7， 当 a =0.05时，tiOt(n + m2 ) = t.975(7)=2.365临界值为n m 亠；_1S2 m二 3.68667= 2.36511 4 7.5。5 3 25933叭5 4丿拒绝域为K0 =x-y c= 3.68667.由于XF = 21.5 18 =3.5老Ko所以，接受 Ho,即认为甲、乙两煤矿的含灰率无显 著差异.15. 设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低。通过试验获 得他们的抗拉强度分别为 单位：kg/cm2 :甲：88,87,92,90,91乙：89,89,90,84,882 2

17、假定两种零件的抗拉强度均服从正态分布且=：；2 .问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的 咼 -0.05 ？解设X ,Y分别表示甲乙两种零件的抗拉强度单位：kg/cm2 .由题意知:X L N （叫，；2 ）,Y _ N （2,二2） , n = 5,m = 5, x = 89.6, y = 88 , = 4.3, sf = 5.5 .问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高，因此，可进行以下假设检验。 统计假设 H 0 : 2, H1 :亠：2,c =t -. n m -2 当 a =0.05时，如5 +m 2 ) = t.5 (8 )= 1.86临界值为1 . 1 n-1 S2m S；n mn m -

18、2二-2.604-1.86 , 1 1 4 4.3 4 5.5Yl5 5 丿 8拒绝域为 K0 二x - y ： c = 2.604.由于x-y =89.6-88 =1.6K0所以，接受H。，即认为甲种零件的抗拉强度比乙种的高.16. 甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径单位：mm为：甲：15.0,14.5,15.2,15.5,14.8,15.1,15214.8乙：15.2,15.0,14.8,15.2,15.0,15.0,14.8,15.1,14.8假设其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高:=0.05 ?解设X,Y分别表示乙甲

19、两种车床加工零件的外径单位：mm.由题意知：X |_N(7,g2),Y_| Ned)，n =8,m =9,1 =15.0125,=14.98889，2 2s, = 7.9011607, S2 =0.0373611 问乙车床的加工精度是否比甲车床的高，因此，可进行以下假设检验。2 2 2 2 统计假设 H 0 :二 1.2, H1 :匚 1 _；丁2， 当=0.05时c = Fn 1, m -1 F0.05 （7,8 ）=0.2857142拒绝域为K0 =s2s；:c =0.2857142.由于 鸟=7.9011607 =211.48094一 K0所以，接受H。，即认为乙车床的加工精度是S20.

20、0373611比甲车床的高.17. 要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对,现再随机地选取8架飞机，将8对轮胎磨损量 单位：mg数据列表如下：Xi 甲 )49005220550060206340766086504870y （乙）49304900514057006110688079305010试问对这两种轮胎的耐磨性有无显著差异:=0.05 ?假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足xLIn人，.2，yLIn2,；拧，且两个样本相互独立解设甲乙两种轮胎的磨损量分别为X,Y， 单位：mg.由题意知：XN（叫，匚2），Y w 打），】=6145二=5825,s2 =1

21、867314.2,s2 =1204428.5,n=8,m = 8此题假设检验问题是比较两总体的均值与方差1首先对两总体的方差进行检验：统计假设 H 0 =12 =打,比12 匚；， 由于未知总体的均值叫，所以当二=0.05时，拒绝域为K。=工 CG = F。025 （7,7）=1=0.20042S2F.975（7,7）4.992C2 二 F.975（7,7） =4.99S22F 二S21867314.21204428.5= 1.5504 K0，落在接受域内，所以接受原假设，即2 2；丁1 ,；2 无明显差异.2再对两种体的均值进行检验 设立统计假设H。： 7二忖比广2，2 2 由于g -；2，

22、所以当=0.05时，t a（m+ n 2） =to.975（14） =2.145,1 27 1867314.27 1204428.514= 1535871.4临界值c=t（m+ n- 2）Sw2= 2.145 1239.3027= 1420.9235,拒绝域为 Ko = x y c =1420.9235.由于xy = 6145 5825 =320更Ko，所以接受H。，可以接受这两种轮胎磨损量无显著差异的结论.18.设总体x LI N叫，+，总体yLI N 2,爲，由两总体分别抽取样本X : 4.4,4.0,2.0,4.8 ；Y :6.0,1.0,3.2,0.41）能否认为叫=”2 = 0.05

23、 ？2）能否认为120.05 ？解由题意知 xLIn Z2，yLIn J2r-|，x = 3.8, y = 2.65q2 二 1.546667,s| 二 6.436667,n = 4, m = 41）设立统计假设 H1三二2, H1 : 7 = J2，当=0.05时丄（m n - 2） f.975=2.447, Sk =3 1.5466673 6.4366676-3.991667，临界值 c=tn-2)sJ1 + 丄=2.447d.997915SJ1+丄=3.99177,1罟Yn mV3 3拒绝域为 Ko = I _勺 c =3.99177,由于_可=3.82.65 =1.15世Ko，所以接受

24、H。，可以接受 卩i =巴2 2 2 22)统计假设 H。：门=：:2屮1 ：；1 =匚2 ,由于未知总体的均值叫，所以当=0.05时，拒绝域为(3,3)=F0.975 (3,3)115.44=0.0647668_22c2 =F0.975(3,3) =1544S22F爲S21.5466676.436667= 0.24029 K0，落在接受域内，所以接受原假设，即2二 119.从过去收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有2%的治愈率.一个主张化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证实他的看法，他用他的方法治愈200个癌症病人，其中有6个治好了，这个医生断言这种样

25、本中的 3%治愈率足 够证实他的看法.1）试用假设检验方法检验这个医生的看法；2）如果该医生实际得到了 4.5%治愈率，问检验将证实化学法比外科方法更有效的概率是多少？解设采用化学疗法的治愈率为p.1）设立统计假设检验 H。： p 一 p。=2%, H1 : p ： p。=2% .由于n -200是大样本，所以当-0.05时，拒绝域为K0- p0 :： u- p（1 一 p0） 1.65 、0.02（；000.02） 0.016334.由题意知 x=6/200 =3%,x-p =0.010.016334，x落入接受域K0中，所以接受原假设，即在显著性水平为5%下，认为采用化学疗法比采用外科方法

26、更有效2）由于n= 200是大样本，所以 U = _ Po 需L N（0,1），由题意知Po（1- Po）s x（1 -x） =0.2078242，P汉-Po -c、1 -P汉- p0 心! X - p0c!工 1c-0.016334/-PrT : sTn 川 sn=0.8665 .0.207824/200 丿20.在某公路上，50min之间，观察每15s内通过的汽车辆数，得下表:通过的汽车数量(辆)012345数量f9268281110问能否认为通过的汽车数量服从Poisson分布严-0.10 ?解设X表示每次观察时通过的汽车数量，分布函数为F(x)，统计假设是H:F(x) =P),H1:F

27、(x) = P). 选择检验统计量 V2二( 7?)；y n? 将X的取值划分为若干区间，A =X =0,人=X =*, A =X =2, A4 =X =3,人=X 3 4； 在H。成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得= 0.805 ； 在H 成立的条件下，A (i = 1,2,3, 4,5)的概率理论估计值为P1 = P(X =0)= 0. 449329 ?2=P；X = 1)= 0. 359463p3 = P(X=2) = 0. 143785 p4=R；X = 3)= 0. 038343p5 二 P(X 一 4) =0.00908 ； 拒绝域为监90 (3) = 6.25；

28、计算的样本值?2，计算过程见表3.3.4.iA、ipn?V - n?)n?1X =0920.44932989.86580.05068452X =1680.35946371.89260.21076343X =2280.14378528.770.02060824X =3110.0383437.66861.44722965X -410.009081.8160.3666607y2001.00002002.0959由于?2样本值为2.0959落在接受域内，因而接受H。，所以通过的汽车数量服从P 0.805分布21.对某厂生产的汽缸螺栓口径进行100次抽样检验，测得100数据分组列表如下：组限10.910

29、.9510.910.9710.97L 10.9910.99L 11.01频数582034组限11.01L11.0311.011.0511.05L 11.0711.07L 11.09频数17664试检验螺栓口径的检验值X的分布是否为正态分布：二-0.05 .解 设X表示某厂生产的汽缸螺栓口径，分布函数为F (x)，统计假设是X 一XH:F(x)儿(),H1:F(x().CTCF 选择检验统计量 v2 =二 匕 咀L ；y n? 将X的取值划分为若干区间，A 二10.93 乞 X 10.97, A2 二10.97 乞 X 10.99, A3 二10.99 乞 X 11.01,A =11.0仁 X

30、11.03, A11.03 乞 X 11.05,A -11.0 -1.015432 计0.1921?3 -(11.01 -11.0024)/0.0319076) -门(10.99 -11.0024)/0.0319076)= ：0.2381877 | 处0.3886221 =0.2465?4 =(11.03 -11.0024) /0.0319076)-：(11.01 -11.0024) / 0.0319076)-：0.8649976凉(0.2381877 =0.2113?5 =心(11.05 -11.0024)/0.0319076) -：门(11.03-11.0024)/0.0319076)=：

31、1.49180750.8649976 =0.1259?6 - (11.09 -11.0024) /0.0319076) - 门(11.05 -11.0024)/0.0319076)八 2.7454274心 1.4918075 = 0.0796 拒绝域为尸 盂.95(3)=7.81； 计算的样本值?2，计算过程见表3.3.4.iA iPn?M n?)2 n?1130.144614.460.14741352X =0200.192119.210.03248823X =1340.246524.653.54655174X =2170.211321.130.80723615X =360.125912.59

32、3.44941226X -4100.07967.960.522814y1001.00001008.5059157由于?2样本值为8.5059157落在拒绝域内，因而拒绝H。，所以螺栓口径的检验值 X的分布不为正态分布.22.检查产品质量时，每次抽取10个产品检验，共抽取100 次,得卜表：次品数0 1 2345678910频数35401851100 000问次品数是否服从二项分布I黨-0.05 ？解设X表示每次检查产品时的次品数，分布函数为F(x)，统计假设是Ho：F(xB(1O,p),H1:F(xpB 10, p . 选择检验统计量 V2 = J(“ 一门？)；y n? 将X的取值划分为若干

33、区间，A =X =0, A =X =1, A =X =2, A4 =X -3； 在Ho成立的条件下，计算参数 p的最大似然估计值 p，通过计算得p = 0.1; 在H。成立的条件下，A (i = 1,2,3, 4)的概率理论估计值为R = PX = 0)= 0.348 6,7 83 p2 = P(X = 1)= 0.387 4,2 04p3=P(X=2) = 0.193 7,1 02 ?4=RXZ3) = 0.0701;9 11 拒绝域为 /2驚95(2) =5.99；计算的样本值?2，计算过程见表3.3.4.iArpn?2M -n?) n?1X =0350.348678334.867830.0005012X =1400.387420438.742040.04084613X =2180.193710219.371020.097036494X