32一阶系统的数学模型精选

1、其闭环传递函数为： 1 1 1 1 1)( )( )( ? ? ? ? ? ? TssR sY s K s s K s K 式中， ，称为时间常数，开环放大系数越大，时间 常数越小。 K T 1 ? 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数 是 s的一次有理分式。 一阶系统的微分方程为： )(sY - s K )(sE)(sR 典型的一阶系统的结构图如图所示。 )()( )( trty dt tdy T? 3.2.1 一阶系统的数学模型 )(t? 0/ / ? ? tTe Tt ， )( 1 t 01 / ? ? te Tt ， t 0 / ? ? tTeTt Tt ， 2/ 2 t0

2、)1 (2/ /22 ? ? teTTtt Tt ， 输出响应输入信号 ? 单位脉冲信号与单位阶跃信号的一阶导数、单位斜坡信 号的二阶导数和单位加速度信号的三阶导数相等。 ? 单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数、单位斜坡响 应的二阶导数和单位加速度响应的三阶导数也相等。 3.2.5 一阶系统的单位加速度响应线性系统的特点 开环传递函数为: ss sG n n ? ? 2 )( 2 2 ? ? 闭环传递函数为: 22 2 2)(1 )( )( nn n sssG sG s ? ? ? ? ? ? )2( 2 n n ss? ? ? )(sR )(sY - 典型结构的二阶系统如右图所示： 由二阶

3、微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程 中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简 化为二阶系统来研究。 典型二阶系统的微分方程 ： 0)()(2 )( 2 2 2 ?ttrty dt dy T dt tyd T，? 3.3.1 典型二阶系统的数学模型 称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数， 称 为无阻尼振荡圆频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特 征参数。T称为二阶系统的时间常数。 )(s? n ? 12 1 2)(1 )( )( 2222 2 ? ? ? ? ? ? TssTsssG sG s nn n ? ? 1 2 2, 1 ? nn p其特征根为： 二阶系统的

4、特征方程为： 02 22 ? nns s? 注意：当 不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响 应形式也不同。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。 ? 当 时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零 (无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。 0? 当 时，特征方程有一对实部为负的共轭复 根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。 10? 当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界 阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。 1? 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻 尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。 1? 1 2 2, 1 ? nn p 阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响

5、应形式如下表 所示： 单位阶跃响应 极点位置 特征根 阻尼系数 单调上升 两个互异负实根 单调上升 一对负实重根 衰减振荡 一对共轭复根(左 半平面） 等幅周期振荡 一对共轭虚根 无阻尼, 0? n js? 2, 1 欠阻尼, 1?o 2 2, 1 1? nn js 临界阻尼，1? )( 2 , 1 重根 n s? 过阻尼，1? 1 2 2, 1 ? nn s? 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程） 最大超调量 %? %100% 2 1 ? ? ? ? ? ?e 2、调节时间 ： s t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 时当 时当 5 2 , 3 , 4 n n s

6、t ? ? 例 有一位置随动系统，其方块图如图所示。其中K=4，T=1。 试求： (1) 该系统的无阻尼振荡频率 ? n；(2)系统的阻尼系数?； (3)系统超调量?%和和调整时间ts；（4）如果要求?0.707，在 不改变时间常数T的情况下，应怎样改变系统开环放大系数K。 ?sR?sY ?) 1( ?Tss K + 解： 系统的闭环传递函数为: , 4 4 1 )( )( )( 2 2? ? ? ? ss T K s T s T K sR sY s 2 2 2 2)( )( )( nn n sssR sY s ? ? ? ? 4 4 1 )( )( )( 2 2? ? ? ? ss T K

7、s T s T K sR sY s 2 2 2 2)( )( )( nn n sssR sY s ? ? ? ? 21/4/?TK n ? 25. 02/1? n ? %4 .44%100% 2 1/ ? ? ?e 8/4? ns t? （4）当要求在?0.707时，? n=1/2?= 0.707，则K?n2=0.5。 可见要满足二阶工程最佳参数的要求（该例中为增加阻尼 系数），必须降低开环放大系数 K的值。 传递函数： )2)(1()( )( )( 2 2 2 nn n ssTssR sY s ? ? ? ? 2 2 1? nn jp 当 0 ? 0或偶0。 根据李纳德-戚帕特判据，若系统特

8、征方程式的各项系数中有负或零（缺项）， 则系统是不稳定的。 对于n4的线性系统,其稳定的充要条件还可以表示为如下简单形式: n=2时:特征方程的各项系数严格为正. n=3时:特征方程的各项系数严格为正,且2 0 n=4时:特征方程的各项系数严格为正,且2 0以及2an-1 2an-4/an-3 3.5.3 代数稳定性判据-胡尔维茨稳定性判据的另一种形式 李纳德-戚帕特判据 例例2 2 设线性系统的开环传递函数为： (1) ( ) (1)(21) K s G s s Tss ? ? ? 试判断系统稳定时K,T应满足的条件。 根据李纳德-戚帕特判据，K0,T0且 解：解： 系统特征方程式为 1+G

9、(s)H(s)=0 0)1 ()2(2 0) 1() 12)(1( 23 ? ? KsKsTTs sKsTss ) 1()1 (2 02)1)(2( 0 12 2 0 2 ? ? ? ? ? ? KTK TKKT KT KT 系统稳定时，要求： ? ? ? ? ? ) 1()1 (2 0, 0 KTK KT （二）、劳斯判据 设线性系统的特征方程为 0 01 1 1 ? ? ? asasasa n n n n ? 劳斯阵列的前两行元素由 特征方程的系数组成，第 一行由特征方程的第一、 三、五、项系数组成， 第二行由特征方程的第二、 四、六、项系数组成。 若特征方程有缺项，则该 项系数以零计。

10、劳斯阵如下： 0 1 2 3 2 1 s s s s s s s n n n n ? ? ? ? 1 21 321 321 321 531 42 f ee ddd ccc bbb aaa aaa nnn nnn ? ? ? ? ? ? ? 3.5.3 代数稳定性判据-劳斯稳定性判据 1 1 321 321 321 531 42 g f ddd ccc bbb aaa aaa nnn nnn ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 4 3 2 1 s s s s s s s n n n n n ? ? ? ? ? 以后各项的计算式为： 1 321 1 31 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ?

11、 ? n nnnn n nn nn a aaaa a aa aa b 1 541 1 51 4 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? n nnnn n nn nn a aaaa a aa aa b 1 761 1 71 6 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? n nnnn n nn nn a aaaa a aa aa b 1 1 321 321 321 531 42 g f ddd ccc bbb aaa aaa nnn nnn ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 4 3 2 1 s s s s s s s n n n n n ? ? ? ? ? 1 1231 1 21 31 1 b

12、 abab b bb aa c nn nn ? ? ? ? ? ? 1 1351 1 31 51 2 b abab b bb aa c nn nn ? ? ? ? ? ? 1 1471 1 41 71 3 b abab b bb aa c nn nn ? ? ? ? ? ? 1 4141 3 1 3131 2 1 2121 1 c cbbc d c cbbc d c cbbc d ? ? ? ? ? ? 依次类推。可求得 ,.)2 , 1,.(,?igfe iii 劳斯判据：系统特征方程具有正实部根的数目与劳斯阵列第 一列元素中符号变化的次数相等。 ? 根据这个判据可以得出线性系统稳定的充分必

13、要条件为： 由系统特征方程系数组成的劳斯阵列的第一列元素没有符号 变化。 ? 若劳斯阵列第一列元素的符号有变化，其变化的次数等 于该特征方程的根在s右半平面的个数，表明相应的线性系 统不稳定。 一. 劳思阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。导致 劳思阵下一列无法计算。 ? 处理办法：用很小的正数 代替零的那一项，然后据此 计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即 ）与其上项或 下项的符号相反，计作一次符号变化。 ? ? 3.5.3 代数稳定性判据-劳斯稳定性判据的特殊情况 二.劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位 置径向相反的根。至少有下述几种情况之一出现，如：大小

14、相等， 符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭 复根。 处理办法：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对此 辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等，位 置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次 数的。 例例5 5： 设线性系统特征方程式为： 432 ( )22450D sssss? 试判断系统的稳定性。 解解： 建立劳斯表： 0 1 2 3 4 50 042 521 s s s s s 若劳斯表某行第一列系数为零，则劳斯表无法计算下去， 可以用无穷小的正数代替0，接着进行计算，劳斯判据结论 不变。 5 104 5 042 521 0 1

15、2 3 4 s s s s s ? ? ? ? 由于劳斯表中第一列系数有负，系统是不稳定的。 例9系统的特征方程为： 该 系统稳定吗？ 0462348242 2345 ?sssss 解：劳斯阵如下 000 46482 23241 3 4 5 s s s 行全为零。由前一行系数构成辅助方程得： 3 s 2324)(46482)( 2424 ?sssQsssQ或 其导数为： 将4，48或1，12 代替 行，可继续排列劳斯阵如下： sssQ484)( 3 ? ? 3 s 0023 0010 02312 0121 23242 23241 0 1 2 3 4 5 s s s s s s 劳斯阵第一列系数

16、全为正，所以系统稳定 )50( , 0?iai 控制系统的稳态误差： 定义：误差信号 在时间 趋于无穷大时的数值定义为系统的稳态误差， 记为 。即： )(te t ss e )(limtee t ss ? ? 误差信号 包括瞬态分量 和稳态分量 两部分.由于系统 必须稳定,故当时间趋于无穷大时,必有瞬态分量 趋于零,因而,控制 系统的稳态误差 定义为误差信号的稳态分量 ()ess? etsss e )(te )(te ets 对于稳定的系统，稳态误差可以借助拉氏变换的终值定理方 便的计算出： )(lim)(lim 0 ssEtee st ss ? ? 使用上式的条件是有理函数 在 右半平面和虚

17、轴 上必需解析，即 的全部极点都必需分布在 左半平 面（包括坐标原点）。 )(ssE s )(ssE s )( 2 sG )(sH )(sR - )(sB )(sE )( 1 sG )()()(1 1 )( )( )( 21 sHsGsGsR sE s E ? ? 给定作用下的误差传递函数 稳态误差的计算（总结）： )(sR )(sN )(sC )( 2 sG)( 1 sG - + )(sE )(sH )(sB 扰动作用下的误差传递函数 )( 1 sG )( 2 sG)(sH )(sN + )(sE 1? )()()(1 )()( )( )( )( 21 2 sHsGsG sHsG sN sE

18、 s NE ? ? 给定和扰动同时作用下的误差表达式 )()()()()(sNssRssE NEE ? )()()(1 )()()( )()()(1 )( 21 2 21 sHsGsG sNsHsG sHsGsG sR ? ? ? ? ? 对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差 )()()(1 )()()( lim )()()(1 )( lim )(lim)(lim 21 2 0 21 0 0 sHsGsG sNsHssG sHsGsG ssR ssEtee ss st ss ? ? ? ? ? ? ? ? 终值定理要求有理函数 的所有极点都在s平面的左半 开平面（包括原点）。 )(ssE )(sR )(sN )(sC )( 2 sG)( 1 sG - + )(sE )(sH )(sB 例2 系统方块图如图所示，当 输入为单位斜坡函数时，求系统在 输入信号作用下的稳态误差；调整 K值能使稳态误差小于0.1吗？ ) 12)(