九级数学下册 3.4 简单几何体的表面展开图课件 （新版）浙教版

1、展开图展开图 第第 1 课课 时时 杜登尼杜登尼(Dudeney,1857-1930年年)是是19 世纪英国知名的谜题创作者世纪英国知名的谜题创作者“蜘蛛蜘蛛 和苍蝇和苍蝇”问题最早出现在问题最早出现在1903年的年的 英国报纸上，它是杜登尼最有名的谜英国报纸上，它是杜登尼最有名的谜 题之一它对全世界难题爱好者的挑题之一它对全世界难题爱好者的挑 战，长达四分之三个世纪战，长达四分之三个世纪 A B A B - “蜘蛛和苍蝇蜘蛛和苍蝇”问题问题 在一个长方形长、宽、高在一个长方形长、宽、高 分别为分别为3 3米，米，2 2米，米，2 2米长方米长方 体房间内，一蜘蛛在一面的中间体房间内，一蜘蛛在

2、一面的中间, ,离天花板离天花板. .米处米处 (A(A点点) )，苍蝇在对面墙的中间，苍蝇在对面墙的中间, ,离地面离地面0.10.1米处米处(B(B点点),), 试问试问: :蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少? ? 将立方体沿某些棱剪开后铺平将立方体沿某些棱剪开后铺平, ,且六个面连在一起，这样的图形叫立方体的且六个面连在一起，这样的图形叫立方体的表表 面展开图面展开图。 需要需要七刀七刀才能剪开。才能剪开。 不同的剪法就会有不不同的剪法就会有不 同的展开图。同的展开图。 二个三型二个三型 一四一型一四一型 一三二型一三二型 三个二型三个二型 “一四

3、一一四一”,“一三二一三二”. “一一”在同层可任意；在同层可任意； “三个二三个二”成阶梯，成阶梯， “二个三二个三”，“日日”字连；字连； 异层异层 “日日”字连字连 整体没整体没 “凹凹”“”“田田” 口诀口诀 (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) 立方体展开图的周长是每个小正方形边长的几倍立方体展开图的周长是每个小正方形边长的几倍? ? 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 6 1 1 4 4 1 1 5 56 63 3 2 2 (1)(1) 5 56 63 32 2 4 4 1 1 (2)(2) 5 56 63 32 2 1 1 4 4 (3)

4、(3) 5 5 6 63 32 2 1 1 4 4 (4)(4) 5 5 3 32 2 4 4 (5)(5) 5 56 63 32 2 1 1 4 4 (6)(6) 4 4 5 56 6 3 3 1 12 2 (7)(7) 5 56 63 3 4 4 1 12 2 (8)(8) 展开图规律之四展开图规律之四: 立方体表面展开图的周长是小立方体表面展开图的周长是小 正方形边长的正方形边长的14倍倍. 想一想：想一想： 5 56 63 3 4 4 2 2 1 1 (9)(9) 2 2 5 5 1 1 3 36 6 4 4 (10)(10) 5 56 63 3 4 42 21 1(11)(11) 例

5、1.如图是一个立方体的表面展开图吗? 如果是,请分别用1,2,3,4,5,6中的同一个数 字表示立方体和它的展开图中各对对应的 面(只要求给出一种表示法) 6 2 3 4 5 1 1 4 2 3 5 6 （1）下图给出三种纸样，它们都正确吗？ 例2：有一种牛奶软包装盒如图. 为了生产这种包 装盒，需要先画出展开图纸样. （1）解：图中，因为表示底面的两个长方形不可 能在同一侧，所以图乙不正确. 图甲和图丙都正确. 甲 乙 丙 （2）从已知正确的纸样中选出一种，标注上尺寸； 解：若选图甲，可得表面展开图及尺寸标注如下 图所示. 甲 乙 丙 甲甲 a b b bb aa 解解:由右图可得由右图可得

6、,包装盒的侧面积为包装盒的侧面积为 S侧= ) 22; b a b a h ahbh （ S表=S侧+2S底 222ahbhab a b b bb aa h （3）利用你所选的一种纸样，求出包）利用你所选的一种纸样，求出包 装盒的侧面积和表面积（侧面积与两装盒的侧面积和表面积（侧面积与两 个底面积的和）个底面积的和） . 想一想：(1) 直棱柱的侧面展开图一定是什么平 面图形？ 长方形 (2) 直棱柱的侧面积与底面周长及侧棱长有 怎样的关系？ 直棱柱的侧面积=底面周长 侧棱长 下图中的哪些图形可以沿虚线折叠成长方体包装盒下图中的哪些图形可以沿虚线折叠成长方体包装盒? 先想一想，再折一折先想一想

7、，再折一折. (5) 想想 一一 想想 A B 在一个长方形长、宽、高在一个长方形长、宽、高 分别为分别为3 3米，米，2 2米，米，2 2米长方米长方 体房间内，一蜘蛛在一面的中间离天花板体房间内，一蜘蛛在一面的中间离天花板. .米处米处 (A(A点点) )，苍蝇在对面墙的中间，苍蝇在对面墙的中间, ,离地面离地面0.10.1米处米处(B(B点点),), 试问试问: :蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少? ? BA 解：1.左 上 右 3 3米米 2 2米米 2 2米米 3.左 前 右 BA 2.左 下 右 B A AB=5 AB=5 31. 58 .

8、15 22 AB 直四棱柱直三棱柱 直六棱柱 2 4 2 2 C B c7-1b a 1、如图是一个正方体纸盒的展开图，图中的、如图是一个正方体纸盒的展开图，图中的6个正方形个正方形 中分别已填入了中分别已填入了-1、7、 、a、b、c，使展开图沿虚线折叠，使展开图沿虚线折叠 成正方体后相对面上的两个数互为相反数成正方体后相对面上的两个数互为相反数,求求: 练一练：练一练： _,_,_abc 2 2 2 2、将前、右、上三个面做有标记的立方体盒子展、将前、右、上三个面做有标记的立方体盒子展 开，以下各示意图中是它的展开图的是（开，以下各示意图中是它的展开图的是（ ） ABDC C C 练一练：

9、练一练： 3 3、下面的图形是正方体的平面展开图，如果把它们叠成正方体，哪个字母与哪、下面的图形是正方体的平面展开图，如果把它们叠成正方体，哪个字母与哪 个字母对应（即哪个面与哪个面是对面的）个字母对应（即哪个面与哪个面是对面的） AB CD E F A B C D EF 练一练：练一练： 4 4、如图是立方体的表面展开图，要求折成立方体后，、如图是立方体的表面展开图，要求折成立方体后， 使得使得6 6在前，右面是在前，右面是2 2，哪个面在上？，哪个面在上？ 56 2 1 34 练一练：练一练： 5、 有一个正方体，在它的各个面上分别写了有一个正方体，在它的各个面上分别写了、 、。甲、乙、丙

10、三位同学从三个不同的角度去观察此正方。甲、乙、丙三位同学从三个不同的角度去观察此正方 体，结果如下图，问这个正方体各个面的对面的是什么数？体，结果如下图，问这个正方体各个面的对面的是什么数？ 甲甲 乙乙 丙丙 练一练：练一练： 第2课时 B C DA 问题问题1 1：矩形矩形ABCD，绕，绕AB边所在边所在直线直线旋转旋转一周一周 得到的图形是什么？得到的图形是什么？ B C DA 动作演示动作演示 圆柱的有关概念：圆柱的有关概念： 圆柱圆柱可以看作由一个矩形可以看作由一个矩形ABCD绕一条边绕一条边(AB)旋转一周旋转一周,其余各边所其余各边所 成的面围成的几何体成的面围成的几何体.直线直线

11、AB叫做叫做圆柱的轴圆柱的轴，AD、BC旋转所成的面就是旋转所成的面就是 圆柱的圆柱的两个底面两个底面,是两个半径相同的圆是两个半径相同的圆CD旋转所成的面就是旋转所成的面就是圆柱的侧圆柱的侧 面面,CD不论转到哪个位置不论转到哪个位置,都是都是圆柱的母线圆柱的母线圆柱两个底面之间的距离是圆柱两个底面之间的距离是圆圆 柱的高柱的高. A BC D 母线母线 底面底面 侧面侧面 高高 问题问题: :将圆柱的将圆柱的侧面沿母线剪开侧面沿母线剪开，展在一个平面上，展在一个平面上 得到什么图形？你能想象出圆柱的展开图吗？得到什么图形？你能想象出圆柱的展开图吗？ 3 3、圆柱的表面展开图怎样？、圆柱的表

12、面展开图怎样？ l l l 30900 x )(6 . 9 30 2cmr 1.1.如图如图,已知矩形已知矩形ABCDABCD, AB AB25 cm25 cm, AD AD 13 cm . 13 cm . 若以若以ADAD边为轴边为轴,将矩形旋转一周将矩形旋转一周, 则所成的圆柱的底面直径是则所成的圆柱的底面直径是_cm_cm,母母 线长是线长是_cm_cm,侧面展开图是一组邻边侧面展开图是一组邻边 长分别为长分别为 _ _ 的一个矩形的一个矩形. 13 50 50cm和和13cm 25 cm25 cm 13 cm13 cm 变式：若以以ABAB边为轴边为轴,将矩将矩 形旋转一周呢？形旋转一

13、周呢？ 2.一个圆柱的底面直径为一个圆柱的底面直径为20cm, 母线长为母线长为15cm.求这个圆柱的求这个圆柱的 侧面积和全面积侧面积和全面积(结果保留结果保留). S側 側= 2rl= 21015 = 300(cm2). S全 全= 2rl + 2r= 21015+210 = 500(cm2). 答答:圆柱的侧面积为圆柱的侧面积为300cm2，全面积为，全面积为 500cm2. 如图如图3-50,一只蚂蚁在圆柱的底面一只蚂蚁在圆柱的底面A处处,准备沿着圆柱准备沿着圆柱 的侧面爬到的侧面爬到B处处,它怎样爬行路线最近？先说说你的它怎样爬行路线最近？先说说你的 解题思路解题思路,然后给出解答然

14、后给出解答,并算出最近路线的长并算出最近路线的长(精确精确 到到0.01 cm). 探究活动 4 6 单位：cm A B A 画出圆柱的侧面展画出圆柱的侧面展 开图如图开图如图, 8.64()ABcm 22 4 +6 B C BC2, AC6. 根据两点之间线段最短根据两点之间线段最短, 蚂蚁在圆柱表面爬行的蚂蚁在圆柱表面爬行的 最短路程长应是线段最短路程长应是线段AB 的长的长, 3.一个圆柱的底面半径为一个圆柱的底面半径为 120mm,母线长为母线长为 280mm.以以1:10的比例画的比例画 出它的表面展开图出它的表面展开图,并求并求 出它的侧面积和全面积出它的侧面积和全面积 (结果保留

15、结果保留). S側 側= 2rl = 2120280 =67200(mm2). S全 全= 2rl+2r = 96000(mm2). 21.2 2.8cm 4.已知圆柱的全面积为已知圆柱的全面积为 150cm,母线长为母线长为10 cm.求求 这个圆柱的底面半径这个圆柱的底面半径. 设底面积半径为设底面积半径为 r.由题意由题意, 得得 2r + 2r10 = 150, r+10r75 = 0, 解得解得r 1= 5,r2-15 (不合题意不合题意,舍去舍去). 答答:圆柱的底面半径为圆柱的底面半径为5cm. 5.已知一个圆柱的侧面展开图是长为已知一个圆柱的侧面展开图是长为 20cm,宽为宽为

16、10cm的矩形的矩形.描述这个圆柱的描述这个圆柱的 形状形状,并画出它的三视图并画出它的三视图(尺寸比例自选尺寸比例自选). 它的三视图如图它的三视图如图. 解：解：2r=202r=20，r=10r=10 这个圆柱的底面半径为这个圆柱的底面半径为10cm,母线长为母线长为10cm, 6.已知一个圆柱的底面半径已知一个圆柱的底面半径r与母线长与母线长l 的比为的比为2:3,圆柱的全面积为圆柱的全面积为500cm.选选 取适当的比例画出这个圆柱的表面展开取适当的比例画出这个圆柱的表面展开 图图. r=10, r=10, l15.15.所求展所求展 开图如图开图如图. . 15 20 解：设解：设r

17、=2k,r=2k,l=3k =3k 由已知可得由已知可得 22r r + 2 + 2r rl= 500.= 500. 8K8K2 2+12K+12K2 2=500=500 20K20K2 2=500=500 k k5(5(负值舍去）负值舍去）. . 总总 结结 ： 知识：知识：、圆柱的底面、圆柱的底面、 侧面和高侧面和高、圆柱的轴、母线）圆柱的轴、母线）、圆柱的侧面圆柱的侧面 展开图展开图 及其面积及其面积l l 思 想思 想 : “” 求 圆 柱 的 侧 面 积 （ 立 体 问 题 ）求 圆 柱 的 侧 面 积 （ 立 体 问 题 ） 转化为求矩形的面积（平面问题）转化为求矩形的面积（平面问

18、题） 圆柱的形成）圆柱的形成） 方法：圆柱的侧面展开（化曲为直）方法：圆柱的侧面展开（化曲为直） 如图为一个圆柱的三视图如图为一个圆柱的三视图.根根 据三视图的尺寸据三视图的尺寸,画出这个圆画出这个圆 柱的表面展开图柱的表面展开图. 问题1.圆柱体怎么形成呢？ 问题2.你对圆柱还有哪些了解？ = 2Srh 侧 2 = 2+ 2Srhr 表 2 =Vr h 第第3课时课时 试一试：试一试：以以直角三角形直角三角形一条直角边所在的一条直角边所在的 直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所 围成的几何体围成的几何体是是？ 圆锥可以看成是圆锥可以看成是直角三角直角三角形

19、形以它的一条直以它的一条直 角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周 而成的面所围成的几何体而成的面所围成的几何体. 侧面 斜边旋转而成的曲面叫做斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面圆锥的侧面 母线 无论转到什么位置，这条斜边都叫做无论转到什么位置，这条斜边都叫做 圆锥的母线圆锥的母线 另一条直角边旋转而成的面叫做另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的圆锥的 底面底面 a r h 圆锥的相关概念圆锥的相关概念 l 问题：问题： 圆锥的母线有几条？圆锥的母线有几条？ 用平行于圆锥底面的平面去用平行于圆锥底面的平面去 截圆锥，得到的截面是圆，在截圆锥，得到的截面是圆，在 不

20、同位置所截得的圆的半径，不同位置所截得的圆的半径， 与底面半径均不等。与底面半径均不等。 用过圆锥的高线的平面截圆用过圆锥的高线的平面截圆 锥，得到的截面（圆锥的轴锥，得到的截面（圆锥的轴 截面）是等腰三角形截面）是等腰三角形 它的底边是圆锥底面的直径它的底边是圆锥底面的直径 底边上的高线就是圆锥的高线底边上的高线就是圆锥的高线 1.1.连结连结顶点顶点与与底面圆心底面圆心 的线段叫做的线段叫做圆锥的高圆锥的高 如图中如图中l l是圆锥的一条母线，是圆锥的一条母线， 而而h h就是圆锥的高就是圆锥的高 2. 2.圆锥的底面半径、圆锥的底面半径、 高线、母线长三者之间高线、母线长三者之间 间的关

21、系间的关系: : 222 rhl O P A B r r h h l l 填空填空: : 根据下列条件求值（其中根据下列条件求值（其中r、h、 分别分别 是圆锥的底面半径、高线、母线长）是圆锥的底面半径、高线、母线长） （1 1） = 2= 2，r=1 r=1 则则 h=_h=_ (2) h =3, r=4 (2) h =3, r=4 则则 =_=_ (3) (3) = 10, h = 8 = 10, h = 8 则则r=_r=_ 23.3.6 3 l l l l l 5 6 动一动：动一动： 图 23.3.6 图 23.3.7 1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得、沿着圆锥的母线，把

22、一个圆锥的侧面展开，得 到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么 关系？关系？ 既是圆的周长既是圆的周长 又是侧面展开又是侧面展开 图扇形的弧长图扇形的弧长 2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的 半径与圆锥中的哪一条线段相等？半径与圆锥中的哪一条线段相等？ 图 23.3.7 既是圆锥的母线既是圆锥的母线 又是侧面展开图扇又是侧面展开图扇 形的半径形的半径 O P A B r h l 圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积 圆锥的圆锥的侧面积侧面积就是弧长为圆锥底面的周就是弧长为圆锥底面的周 长、半径为圆锥的一条

23、母线的长的长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积扇形面积. . 圆锥的圆锥的全面积全面积= =圆锥的圆锥的侧面积侧面积+ +底面积底面积. . 圆锥圆锥的的侧面积和全面积侧面积和全面积 如图如图:设圆锥的母线长为设圆锥的母线长为a,底面底面 半径为半径为r.则圆锥的侧面积则圆锥的侧面积 公式为：公式为： 全面积公式为：全面积公式为： SSS底侧全 = rl r rl2 O P A B r h l .2 2 1 lrS 侧 = rl 2 例例1 1、根据圆锥的下列条件，、根据圆锥的下列条件， 求它的侧面积和全面积求它的侧面积和全面积 （1 1） r=12cm, l=20cm r=12cm, l=

24、20cm 图 23.3.6 （2） h=12cm， r=5cm l rl2 O P A B r h l ) 若设圆锥的表面展开图扇形的圆心角为 ， r l 2 180 则由 得到圆锥的侧面展开图扇形的圆 心角度数的计算公式： 0 360 l r 例例2.圆锥形烟囱帽的母线长为圆锥形烟囱帽的母线长为80cm，高为，高为 38.7cm. （1）求这个烟囱帽的面积（精确到）求这个烟囱帽的面积（精确到10 c)。 r h l 3 解：（1）l=80cm,h=38.7cm, )(707 .3880 2222 cmhlr S侧= rl = 7080 )(108 . 1 24 cm 答：烟囱帽的面积约烟囱帽

25、的面积约 24 108 .1cm 例例2.2.圆锥形烟囱帽的母线长为圆锥形烟囱帽的母线长为80cm80cm，高为，高为38.7cm.38.7cm. r h l （2）以1:40的比例画 出这个烟囱帽的展开图这个烟囱帽的展开图 解：烟囱帽的展开图烟囱帽的展开图 的扇形圆心角为 0 360 l r 00 315360 80 70 按1:40的比例画出这个烟囱这个烟囱 帽的展开图如图帽的展开图如图3-553-55 童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的 母线长为母线长为15cm15cm，底面半径为，底面半径为5cm5cm，生产这种帽身，生

26、产这种帽身1000010000个，你能个，你能 帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗（不计接缝用料和帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗（不计接缝用料和 余料，余料，取取3.14 3.14 ）？）？ 解解: l=15cm,r =5cm,: l=15cm,r =5cm, 235.5235.510000= 235500010000= 2355000 （cm cm 2 2 ) ) 答：至少需答：至少需 235.5 235.5 平方米的材料平方米的材料. S S 侧 侧 =rl =rl 3.143.1415155 5 = = 235.5235.5（cm cm 2 2 ) ) 注意：注意：1、认清直

27、径还是半径、认清直径还是半径 2公式中的公式中的l表示母线表示母线 1.已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为12cm,母线长为母线长为 20cm.求这个圆锥的侧面积和全面积求这个圆锥的侧面积和全面积. S側 側= 240cm2， ，S全 全= 384cm2. 2.如图为一个圆锥的三视图如图为一个圆锥的三视图.以相同的大小比例画出它的表面展开以相同的大小比例画出它的表面展开 图图. 由已知三视图，由已知三视图， 得得r 120mm, l 200(mm) 22 160 +120 216360 200 120 360 l r 1.已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为10cm,母线长为母线长为

28、 15cm.求这个圆锥的侧面积和全面积求这个圆锥的侧面积和全面积. S側 側= 150cm2， ，S全 全= 250cm2. 2.一个圆锥的侧面展开图是半径为一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为圆心角为240的扇形的扇形. 求这个圆锥的底面半径求这个圆锥的底面半径. 12cm 3.将半径为将半径为30cm的圆形铁皮剪成三个全等的扇形的圆形铁皮剪成三个全等的扇形,用来做三个用来做三个 无底的圆锥形筒无底的圆锥形筒,则圆锥形筒的高是少则圆锥形筒的高是少(不计接头不计接头) ? 设圆锥底面半径为设圆锥底面半径为r,则则 得得r 10(cm). 在圆锥的轴截面中在圆锥的轴截面中,由勾股定理由

29、勾股定理,知知 )(2201030 22 cmh 302 3 1 2r 4.已知圆锥的轴截面已知圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面圆过圆锥顶点和底面圆 心的截面心的截面)是边长为是边长为6cm的正三角形的正三角形.求圆锥求圆锥 的高和侧面积的高和侧面积,并以并以1:2的比例画出圆锥的的比例画出圆锥的 表面展开图表面展开图? 2 18,33cmScmh 侧 5.如图为一个圆锥的侧面展开图如图为一个圆锥的侧面展开图.以以 1:10的比例画出它的三视图的比例画出它的三视图. 由已知侧面展开图由已知侧面展开图,得得 360 270,解得解得r 225(cm). 所求三视图如图所求三视图如图,比例比例 1:

30、10 300 r 6.如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,BCCD10,AB 15,ABBC,CDBC.把四边形把四边形ABCD绕直线绕直线CD 旋转一周旋转一周,求所得几何体的表面积求所得几何体的表面积. 四边形四边形ABCD绕直线绕直线CD旋转一周的表面积旋转一周的表面积 为一个圆锥为一个圆锥、一个圆柱的侧面积与这个圆一个圆柱的侧面积与这个圆 柱下底面积的和柱下底面积的和,其中圆锥母线长为其中圆锥母线长为 所以所求表面积为所以所求表面积为 551010-15 22 ）（ 2 10151025510S ）（550400 一个圆锥形的零件一个圆锥形的零件, , 经过轴的剖面是一个等腰三经过

31、轴的剖面是一个等腰三 角形角形, , 这个三角形就叫做圆锥的这个三角形就叫做圆锥的轴截面轴截面；它的腰长等；它的腰长等 于圆锥的于圆锥的母线母线长长, , 底边长等于圆锥底面的底边长等于圆锥底面的直径直径. . 圆锥的轴截面圆锥的轴截面 如如ABCABC就是圆锥的轴截面就是圆锥的轴截面 S S轴截面 轴截面=h =h2r2r2=rh2=rh 已知一个圆锥的轴截面已知一个圆锥的轴截面ABCABC是等边三角形，它的表面积为是等边三角形，它的表面积为75 75 cmcm2 2, ,求这个圆锥的底面半径和母线的长求这个圆锥的底面半径和母线的长. . C O B A 解：解：轴截面轴截面ABCABC是等边三角形是等边三角形 AC=2OCAC=2OC 由题意，得由题意，得 75 2 OCACOC 753 2 OC 25 2 OC 0OC )(5 cmOC )