2020届高考数学一轮课件33 三角函数的综合应用

1、3.3 三角函数的综合应用 试题类编 考情概览 20102019年高考全国卷考情一览表 年 份 题 号 考 点 考 向 2013 1 卷 理 15文 16 三角函数的最值 将给出的解析式整理为Asin(x+)的 形式通过最值求余弦 2014 2 卷 理 14文 14 三角函数的最值 化简函数的解析式求最值 2016 2 卷 文 11 三角函数的最值 根据换元法建立二次函数求最值 2017 2 卷 理 14 三角函数的最值 根据换元法建立二次函数求最值 文 13 三角函数的最值 将给出的解析式整理为Asin(x+)的 形式求最值 3 卷 文 6 三角函数的最值 将给出的解析式整理为Asin(x+

2、)的 形式求最值 2018 1 卷 理 16 三角函数的最值 求给定三角函数式的最小值 试题类编试题类编 考情概览考情概览 年 份 题 号 考 点 考 向 2019 1 卷 文 15 三角函数的最 值 求最小值 3 卷 理 12 三角函数图象 和性质的综合 应用 利用三角函数图象和性质判断结 论是否正确 考情分 析 与预测 1.高考常考内容,属中档题,高考对本节的考查主要有三个 方面:(1)三角函数的最值:将给出的函数解析式利用三角 和差公式及倍角公式整理为 y=Asin(x+)的形式求最值 或者利用换元法将 sin x(或 cos x)看作一个整体建立二次 函数求最值;(2)三角函数的综合应

3、用:三角函数的和差角 公式、倍角公式、三角函数图象与性质的综合应用 . 2.2020 年高考对本节的考查不会有大的变化 ,仍将是以考 查三角函数的最值问题为主 ,涉及三角函数各种性质的综 合应用. 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 考点42三角函数的最值 1.(2019北京,文8,5分,难度)如图,A,B是半径为2的圆周上的定 点,P为圆周上的动点,APB是锐角,大小为.图中阴影区域的面积 的最大值为( B ) A.4+4cos B.4+4sin C.2+2cos D.2+2sin 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 解析(方法一)如图,设圆心为 O,连接 OA,OB,半径

4、r=2,AOB=2 APB=2,阴影部分(扇形)的面积 S1=r 2=4 为定 值,SOAB= 1 2|OA|OB|sin 2=2sin 2 为定值,全部阴影部分的面积 S=SPAB+S1-SOAB.当 P 为弧 AB的中点时 SPAB最大,最大值为 1 2(2|OA|sin )(OP+|OA| cos )=2sin (2+2cos )=4sin +2sin 2,所以 全部阴影部分的面积 S 的最大值为 4+4sin ,故选 B. (方法二)观察图象可知,当 P 为弧 AB的中点时,阴影部分的面积 S 取最大值,此时BOP=AOP=-,面积 S 的最大值为 r 2+S POB+SPOA=4+

5、1 2|OP|OB| sin(-)+ 1 2|OP|OA| sin(-)=4+2si n +2sin =4+4sin ,故选 B. 考情概览 试题类编试题类编 考点 42 考点 43 2.(2017全国3,文6,5分,难度)函数f(x)= 1 5sin ?+ 3 +cos ? - 6 的最 大值为( A ) A.6 5 B.1 C.3 5 D.1 5 解析因为 cos ? - 6 =cos 2 - ?+ 3 =sin ?+ 3 ,所以 f(x)= 1 5sin ?+ 3 +sin ?+ 3 = 6 5sin ?+ 3 ,故函数 f(x)的最大值为 6 5.故选 A. 要求f(x)的最值,需将f

6、(x)中的式子合并 ,整理成 y=Asin(x+)的形式,再借助y=sin x的性质求最值 . 3.(2016全国2,文11,5分,难度)函数f(x)=cos 2x+6cos 的最 大值为( B ) A.4 B.5 C.6 D.7 2 -? 解析因为 f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2 sin x- 3 2 2+ 11 2 ,而 sin x-1,1,所以 当 sin x=1 时,f(x)取最大值 5,故选 B. 考情概览 试题类编试题类编 考点 42 考点 43 4.(2017全国 2,理 14,5 分,难度)函数 f(x)=sin2x+ 3cos x- 3 4 ? 0, 2 的最

7、大值是 1 . 解析由题意可知 f(x)=1-cos2x+ 3cos x- 3 4=-cos 2x+ 3cos x+ 1 4=- cos? - 3 2 2 +1. 因为 x 0, 2 ,所以 cos x0,1 . 所以当 cos x= 3 2 时,函数 f(x)取得最大值 1. 既有sin x(cos x)的一次式,又有sin x(cos x)的二次式,则需 通过sin2x+cos2x=1统一为sin x或cos x的形式,利用换元法求最值 ,但 需注意由于设 sin x(cos x)=t,故有-1sin x(cos x)1的限制. 考情概览 试题类编试题类编 考点 42 考点 43 5.(2

8、017全国2,文13,5分,难度)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值 为 . 5 解析因为 f(x)=2cos x+sin x= 5sin(x+)(其中 tan =2),所以 f(x)的最 大值为 5. 6.(2014全国2,理14,5分,难度)函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+) 的最大值为 1 . 解析f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+) =sin(x+)+-2sin cos(x+) =sin(x+)cos +cos(x+)sin -2sin cos(x+) =sin(x+)cos -cos(x+)sin =sin(x+)-=sin x. f

9、(x)max=1. 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 7.(2014全国2,文14,5分,难度)函数f(x)=sin(x+)-2sin cos x的 最大值为 1 . 解析f(x)=sin(x+)-2sin cos x =sin xcos +cos xsin -2sin cos x =sin xcos -cos xsin =sin(x-), f(x)max=1. 8.(2013全国1,理15文16,5分,难度)设当x=时,函数f(x)=sin x- 2cos x取得最大值,则cos = - . 解析f(x)=sin x-2cos x= 5sin(x-), 其中 sin = 2 5 5

10、 ,cos = 5 5 . 当 x-=2k+ 2(kZ)时,f(x)取最大值. 即 -=2k+ 2(kZ),=2k+ 2+(kZ). cos =cos 2 + ? =-sin =- 2 5 5 . 2 5 5 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 9.(2019全国 1,文 15,5 分,难度)函数 f(x)=sin 2?+ 3 2 -3cos x 的 最小值为 -4 . 解析 f(x)=sin 2?+ 3 2 -3cos x =-cos 2x-3cos x =-2cos2x-3cos x+1 =-2 cos?+ 3 4 2 + 17 8 . -1cos x1, 当 cos x=1 时,

11、f(x)min=-4. 故函数 f(x)的最小值是-4. 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 10.(2018北京,文 16,13 分,难度)已知函数 f(x)=sin2x+ 3sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 f(x)在区间 - 3 ,? 上的最大值为 3 2,求 m 的最小值. 解(1)因为 f(x)= 1-cos2? 2 + 3 2 sin 2x= 3 2 sin 2x- 1 2cos 2x+ 1 2=sin 2? - 6 + 1 2,所以 f(x)的最小正周期为 T= 2 2 =. (2)由(1)知 f(x)=sin 2? - 6 + 1 2.

12、 因为 x - 3 ,? ,所以 2x- 6 - 5 6 ,2?- 6 . 要使 f(x)在 - 3 ,? 上的最大值为 3 2, 即 y=sin 2? - 6 在 - 3 ,? 上的最大值为 1. 所以 2m- 6 2,即 m 3. 所以 m的最小值为 3. 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 11.(2015天津,理 15,12 分,难度)已知函数 f(x)=sin2x-sin2 ? - 6 ,x R. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间 - 3 , 4 上的最大值和最小值. 解(1)由已知,有 f(x)= 1-cos2? 2 ? 1-cos 2? - 3

13、2 = 1 2 1 2 cos2?+ 3 2 sin2? ? 1 2cos 2x = 3 4 sin 2x- 1 4cos 2x= 1 2sin 2? - 6 . 所以,f(x)的最小正周期 T= 2 2 =. (2)因为 f(x)在区间 - 3 ,- 6 上是减函数,在区间 - 6 , 4 上是增函 数,f - 3 =- 1 4,f - 6 =- 1 2 ,f 4 = 3 4 .所以,f(x)在区间 - 3 , 4 上的最大值 为 3 4 ,最小值为-1 2. 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 12.(2015北京,理 15,12 分,难度)已知函数 f(x)= 2sin ? 2c

14、os ? 2 ? 2sin2? 2. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间-,0上的最小值. 解(1)因为 f(x)= 2 2 sin x- 2 2 (1-cos x) =sin ?+ 4 ? 2 2 , 所以 f(x)的最小正周期为 2. (2)因为-x0,所以-3 4 x+ 4 4. 当 x+ 4=- 2,即 x=- 3 4 时,f(x)取得最小值. 所以 f(x)在区间-,0上的最小值为 f - 3 4 =-1- 2 2 . 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 13.(2015安徽,文16,12分,难度)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos

15、 2x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值 . 0, 2 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 解(1)因为 f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x= 2sin 2?+ 4 +1, 所以函数 f(x)的最小正周期为 T= 2 2 =. (2)由(1)的计算结果知,f(x)= 2sin 2?+ 4 +1. 当 x 0, 2 时,2x+ 4 4 , 5 4 , 由正弦函数 y=sin x在 4 , 5 4 上的图象知, 当 2x+ 4 = 2,即 x= 8时,f(x)取最大值 2+1;

16、当 2x+ 4 = 5 4 ,即 x= 2时,f(x)取最小值 0. 综上,f(x)在 0, 2 上的最大值为 2+1,最小值为 0. 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 14.(2014天津,理 15,13 分,难度)已知函数 f(x)=cos xsin ?+ 3 ? 3cos2x+ 3 4 ,xR. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在闭区间 - 4 , 4 上的最大值和最小值. 解(1)由已知,有 f(x)=cos x 1 2 sin?+ 3 2 cos? ? 3cos2x+ 3 4 = 1 2sin xcos x- 3 2 cos2x+ 3 4 = 1 4si

17、n 2x- 3 4 (1+cos 2x)+ 3 4 = 1 4sin 2x- 3 4 cos 2x= 1 2sin 2? - 3 .所以,f(x)的最小正周期 T= 2 2 =. (2)因为 f(x)在区间 - 4 ,- 12 上是减函数,在区间 - 12 , 4 上是增函数, f - 4 =- 1 4,f - 12 =- 1 2 ,f 4 = 1 4, 所以,函数 f(x)在闭区间 - 4 , 4 上的最大值为 1 4,最小值为- 1 2. 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 15.(2014江西,理 16,10 分,难度)已知函数 f(x)=sin(x+)+acos(x+2),其中

18、 aR, - 2 , 2 . (1)当 a= 2,= 4时,求 f(x)在区间0, 上的最大值与最小值; (2)若 f 2 =0,f()=1,求 a, 的值. 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 解(1)f(x)=sin ?+ 4 + 2cos ?+ 2 = 2 2 (sin x+cos x)- 2sin x= 2 2 cos x- 2 2 sin x =sin 4 -? , 因为 x0,从而 4-x - 3 4 , 4 . 故 f(x)在0,上的最大值为 2 2 ,最小值为-1. (2)由 ? 2 = 0, ? () = 1, 得 cos? (1-2? sin? ) = 0, 2?

19、sin2? -sin? -?= 1, 又 - 2 , 2 ,知 cos 0,解得 ?= -1, ?= - 6 . 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 考点43三角函数图象和性质的综合应用 1.(2019全国 3,理 12,5 分,难度)设函数 f(x)=sin ?+ 5 (0), 已知 f(x)在0,2 0,2有且仅有 5 个零点,下述四个结论: f(x)在(0,2)有且仅有 3 个极大值点 f(x)在(0,2)有且仅有 2 个极小值点 f(x)在 0, 10 单调递增 的取值范围是 12 5 , 29 10 其中所有正确结论的编号是 ( D ) A. B. C. D. 考情概览 试题

20、类编 考点 42 考点 43 解析f(x)=sin ?+ 5 (0)在区间0,2 上有且仅有 5 个零点, 52+ 56, 解得12 5 29 10,故正确. 画出 f(x)的图像(图略),由图易知正确,不正确. 当 0 x 10时, 5x+ 5 ? 10 + 5, 又12 5 29 10, ? 10 + 5 29 100 + 20 100 = 49 100 2, 正确. 综上可知正确.故选 D. 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 2.(2018全国2,理10,5分,难度)若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函 数,则a的最大值是( A ) A. 4 B. 2 C.3 4

21、 D. 解析 f(x)=cos x-sin x=- 2 sin x 2 2 -cos x 2 2 =- 2sin x- 4 , 当 x - 4 , 3 4 ,即 x- 4 - 2 , 2 时, y=sin x- 4 单调递增,y=- 2sin x- 4 单调递减. 函数 f(x)在-a,a是减函数,-a,a? - 4 , 3 4 , 0a 4,a 的最 大值为 4. 考情概览 试题类编试题类编 考点 42 考点 43 3.(2018全国1,理16,5分,难度)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则 f(x)的最小值是 - . 3 3 2 解析由题意可得T=2是f(x)=2sin x+

22、sin 2x的一个周期,所以求f(x)的 最小值可考虑求 f(x)在0,2 0,2)上的值域. 由f(x)=2sin x+sin 2x,得f(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2. 令 f(x)=0,可得 cos x= 1 2或 cos x=-1,x0,2 0,2)时,解得 x= 3或 x= 5 3 或 x=. 因为 f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在 x= 3,x= 5 3 ,x= 或 x=0 时取到, 且 f 3 = 3 3 2 ,f 5 3 =- 3 3 2 ,f()=0,f(0)=0,所以函数 f(x)的最小值为 -3 3 2 . 考情概览

23、考情概览 试题类编试题类编 考点 42 考点 43 4.(2018江苏,7,5 分,难度)已知函数 y=sin(2x+) - 2 2 的图 象关于直线 x= 3对称,则 的值为 - 6 . 解析由题意可得 sin 2 3 + ? = 1,解得2 3 += 2+k(kZ),即 =- 6+k(kZ). 因为- 2 0,|?| 0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为 ,求的最小值. 5 12 ,0 考情概览考情概览 试题类编试题类编 考点 42 考点 43 解(1)根据表中已知数据 ,解得A=5,=2,=- . 数据补全如下表 : 6 x+ 0 ? 2 3? 2

24、 2 x ? 12 ? 3 7? 12 5? 6 13? 12 Asin(x+) 0 5 0 -5 0 且函数表达式为 f(x)=5sin 2? - 6 . (2)由(1)知 f(x)=5sin 2? - 6 ,得 g(x)=5sin 2?+ 2? - 6 . 因为 y=sin x 的对称中心为(k,0),kZ. 令 2x+2- 6=k,kZ,解得 x= ? 2 + 12-,kZ. 由于函数 y=g(x)的图象关于点 5 12 ,0 成中心对称,令? 2 + 12-= 5 12,k Z,解得 = ? 2 ? 3,kZ. 由 0 可知,当 k=1 时, 取得最小值 6. 考情概览 试题类编 考点

25、 42 考点 43 8.(2014山东,理16,12分,难度)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数 f(x)=ab,且 y=f(x)的图象过点 12 , 3 和点 2 3 ,-2 . (1)求m,n的值; (2)将y=f(x)的图象向左平移 (0)个单位后得到函数 y=g(x)的 图象,若y=g(x)图象上各最高点到点 (0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间 . 解(1)由题意知 f(x)=ab=msin 2x+ncos 2x. 因为 y=f(x)的图象过点 12 , 3 和 2 3 ,-2 , 所以 3 = ?sin 6 + ? cos 6

26、 , -2 = ?sin 4 3 + ? cos 4 3 , 即 3 = 1 2 ? + 3 2 ? , -2 = - 3 2 ?- 1 2 ? , 解得 m= 3,n=1. 考情概览考情概览 试题类编试题类编 考点 42 考点 43 (2)由(1)知 f(x)= 3sin 2x+cos 2x=2sin 2?+ 6 . 由题意知 g(x)=f(x+)=2sin 2?+ 2?+ 6 . 设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2), 由题意知? 0 2 +1=1,所以 x0=0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). 将其代入 y=g(x)得 sin 2?+ 6 =1,

27、 因为 0 0,- 2 2 的图象关于直线 x= 3对称,且图象上相邻两个最高点的 距离为 . (1)求 和 的值; (2)若 f ? 2 = 3 4 6 ? 2 3 ,求 cos ?+ 3 2 的值. 解(1)因 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 , 所以 f(x)的最小正周期 T=,从而 = 2 ?=2. 又因 f(x)的图象关于直线 x= 3对称, 所以 2 3+=k+ 2,k=0, 1, 2,. 由- 2 2得 k=0,所以 = 2 ? 2 3 =- 6. 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 (2)由(1)得 f ? 2 = 3sin 2 ? 2 - 6 = 3 4 , 所以 sin ? - 6 = 1 4. 由 6 2 3 得 0- 6 2, 所以 cos ? - 6 = 1-sin 2 ? - 6 = 1- 1 4 2 = 15 4 . 因此 cos ?+ 3 2 =sin =sin ? - 6 + 6 =sin ? - 6 cos 6+cos ? - 6 sin 6 = 1 4 3 2 + 15 4 1 2 = 3+ 15 8 . 考情概览 试题类编 考点 42 考点 43 10.(2014四川,理16文 17,12 分,难度)已知函