48知识梳理基本不等式

1、基本不等式 【考纲要求】 a b 1. 了解基本不等式jab 的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号 2 取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； a b 2. 会用基本不等式 Jab 解决最大（小）值冋题 2 3. 会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：两个重要不等式及几何意义 1重要不等式： 如果a,b R，那么a2 b2 2ab （当且仅当 b时取等号“ =” 2.基本不等式: 如果a,b是正数，那么TOb （当且仅当 2 要点诠释：a2 b2 2ab和 - Tab 两者的异同: 2 b时取等号“ =” (1)

2、 成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求 a,b都是正数; 取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b时取等号”。 22a2 b2 a b a b 2 a b2ab可以变形为：ab 丁，宁 后可以变形为：ab（宁）. 3.如图， 连接AD、BD. AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC a, BC b，过点C作DC AB交圆于点D, 易证 Rt ACD Rt DCB，那么 CD2 CA CB，即 CD Tab . 这个圆的半径为，它大于或等于 CD，即 电一Tab，其中当且仅当点 C与圆心重合，即a b 2 2 时，等号成立. a b- 要点诠释：1.在数学中

3、，我们称为a,b的算术平均数，称 Jab为a,b的几何平均数.因此基本 2 不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2. 如果把看作是正数a,b的等差中项， JOb看作是正数a,b的等比中项，那么基本不等式可以 2 叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 要点二、用基本不等式 Tab a_b求最大(小)值 2 一正二定三取等。 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件： 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 要点三、 几个常见的不等式 1)

4、a2 b2 2ab a, b R，当且仅当 a=b时取“=”号。 2) Jab a, b R ，当且仅当 a=b时取“=”号。 3) 4) b2 2 Uab 2ab a b a,b R 5) a,b 6) a3 b3 c3 3abc a, b, c R 7) 3Vabc a, b,c R ;特别地: 要点四、绝对值不等式的性质 l.|a| |b| |a b| |a| |b| ； 2. |a b | |a c| |c b | ； 要点五、柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式: (1)向量形式： u 设，是两个向量，则I ur | | ur一 |,当且仅当是零向量或存在实数 k，使 k时，等号成

5、立。 (2) 代数形式: 若 a、b、 C、 d都是实数, (a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2，当且仅当 ac=bd时，等号成立; 若 a、b、 C、 d都是正实数，贝y Ja2 b2 Jc2 d2 ac bd ,当且仅当 ac=bd时，等号成立; 若 a、b、 d都是实数，则 Ta b2 VC 孑| ac bd |，当且仅当ac=bd时，等号成立; 柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示； c、 要点诠释： (3)三角形式: 1 J(xi X2)2 (yi y2)2。 (a： a； bn)(aibia2b2 anbn)2 ， 当且仅当bi 0,(i1,2,n)或存在实

6、数k，使得ai kbi(i 1,2,n)时，等号成立。 设 x1, x2, y1, y2 R，则 Jx1y1Jx2y2 2.三维形式的柯西不等式(代数形式) 右 a1,a2, a3,bl,b2,b3 都是实数，则(a1a?83)(6b?b3)(abazb?asbs)，当且仅当 bi0,(i1,2,3)或存在实数k,使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立。 3. 一般形式的柯西不等式(代数形式) 右 a1, a2, a3, ,an ,b1,b2,b3,bn,都是实数，则 【典型例题】 类型一：基本不等式 Tab求最值问题 2 【高清课堂：基本不等式 394847基础练习二】 0，则 ab a

7、(a 1 1一的最小值是 1 b) C. 3 A . 1 【解析】 1 ab a(a b) a(a b) 1 a(a b) ab ab 1 ab 1 a(a b) (ab ab) 当且仅当 【答案】D 举一反三: 【变式11 【解析1T a(a ab 已知 x2y2 2 y 当且仅当 xy b) 1 ab 0, 当x 3, y 1 a(a 0, (x y)2 2 1时， b)即a 72, b 号时取等号. 且xy 2xy 2 3，求 0,又 xy 2 (x 3时取等号 1 2 2取最小值 x y 【变式21求下列函数的最大(或最小)值 1 x 一- (x 0)； x 1 5 -,(x 0)；

8、x (1) 【解析1 当且仅当 y) 2x2 x(5 2 2x) , (0 x x ,(x 72 x 1 2xJ100 x2 , (0 (1) 1 1，即 x 1 x 0 时, ymin 1 2 x 0 , y 2x 2的最小值及相应的 x,y值. x y 4. 3, 七2(x 2) 2) x 10) 0时取等号 2x2 A 2x 2J(x 1 1)=) 1 1 5 2x 2 55 x 2x 2x x 2 当且仅当2x Ix即x 时畑 0 x 2x 0 2 - y x(5 2x) 3 1 103250 4 2727 当且仅当 4x 2x即x I时， y max 250 27 x 1 J2x 1

9、 1 72x 34(2x 1)丄 2、八721 1 J2x 1 1 当且仅当2x 1 J2x 1 即x 1时, ymin 2 . 0 x 10 , 100 x20 - y 2A00 x 2jx2(100 X2) 100 x2 100 当且仅当x2100 x2 即 x 52 时, ymax 100 【变式3】已知x 19 0,y0,且- x y x y的最小值. 丄 4x(5 2x)(5 2x)1(4x 5 2x 5 2x3 44 【解析】方法一：Q x 1 0,y0,且- x x y ( x 9 -)(x y 10 2 3 16 （当且仅当A x 9x 即x 4,y12时等号成立） y - x

10、 y的最小值是 16. 19 1，得x 方法二：由丄9 x y / x 0, y 0，/ - Xy y y 9 y 1 y 当且仅当 y 9- 9,即y y 9 - X y的最小值是 16. 方法三 : 由1 9 1得y X y - X y 10 (X 1) (y 9x 9) 1 X y 9 2y 9 葺 10 2J(y 9) 12时取等号，此时x xy，二(X 1)(y 10 2j(x I)(y 4. 9) 9) 10 6 16. 9 79 10 16 时取等号, y 12 当且仅当 y 16. - X y的最小值是 类型二：利用基本不等式证明不等式 例2.已知0 a 1, 1，0 c 1,

11、 求证: (1 a)b ， (1 b)c ， (1 c）a中至少有一个小于 1 等于丄. 4 证明：假设 1,1 4,1c 则有 又 J1 a b 1 a b 2 举一反三： 【变式1】 已知 c都是正数，求证: (a b)(b c)(c a) 8abc 2 Jab 0 （当且仅当 a b时，取等号） /b 0 （当且仅当 b c时，取等号） 2fc3 0 （当且仅当 c a时，取等号） c都是正数 b、 b c a 【解析】 (a b)(b c)(c a) 2掐了 2fbc 2jca 8abc (当且仅当 a b c时，取等号） 即(a b)(b c)(c a) 8abc. 【变式2】已知

12、y都是正数，求证: 【解析】 y都是正数，- y 2 2 2 （当且仅当 vy x y x -即x y时，等号成立） x y 2. y 基本不等式在实际问题中的应用 【例4】（2015春 贵阳校级期末）某单位建造一间靠墙的小房，地面面积为12m2，房屋正面每平方米造价 为1200元，房屋侧面每平方米造价为800元，屋顶的造价为 5800元，如果墙高为 3m,且不计房屋背面 和地面的费用，设房屋正面地面的边长为xm，房屋的总造价为 y元. （1）求y用x表示的函数关系式. 怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？ 【解析】（1）如图所示，设底面的长为 xm,宽为ym，则y m 设房屋总造价为

13、f x由题意可得: 3x 1200 3 12 800 2 5800 x 3600 16 5800 x 0 3600 16 x=4时取等号. 当且仅当 答：当底面的长宽分别为 举一反三： 【变式】（2015南昌其中 万元，年维修费用第一年 【解析】设使用 x年时, x 1 x 50 4.5x y 580028800 580034600 4m，3m时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元. ）新建一个娱乐场的费用时50万元，每年的固定费用（水、电费、员工工资等）4.5 1万元，以后逐年递增 1万元，问该娱乐场使用多少年时，它的平均费用最少？ x 1 x 平均费用最少，平均费用为y万元，所以总维

14、修费用为 万元，则: 50 50 X 当且仅当5 x时，即x=10时等号成立.所以娱乐场使用10年时，它的平均费用最少 类型四：利用绝对值不等式求最值 例5.不等式|x 4| |x 2| a对x R恒成立，则实数 a的取值范围是 【解析】设t |x 4| |x 2|，则t a对x R恒成立tmin |x 4| |x 2|(x 4) (x 2)| 6, |x 1| |x 2|的最小值为 6 , 实数a的取值范围是 举一反三： 【变式1】求|x 4| |x 21的最值 【解析】由|a|b| |a b|得：|x 4| |x 2|(x 4) (x 2)| 6, 6 |x 1| |x 2|6 |x 1|

15、 |x 2|的最小值为 6，最大值为 6. 【变式2】不等式|12x|2x 1| a对x R恒成立，则常数 a的取值范围是 【解析】设 f(x) |1 2x| |2x 1|，则 f(x) a 对 x R 恒成立f(x)max a, 1)| 2, /|1 2x|2x 1|(1 2x)(2x |12x|2x 1|的最大值为2 , 实数a的取值范围是a 2. 类型五：利用柯西不等式求最值 例6.设2x 3y 5z 29，求函数y 72x 1 J3y 4 J5z 6的最大值. 【解析】 (2x 1) (3y 4)(5z 6) 29 11 40 根据柯西不等式 3 40(1 1 1) (2x 1) (3y 4) (5z 6) (1 J