八年级数学等腰三角形和等边三角形的轴对称性江苏科技版

1、初二数学初二数学等腰三角形和等边三角形的轴对称性等腰三角形和等边三角形的轴对称性江苏科技版江苏科技版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 等腰三角形和等边三角形的轴对称性 目标 探索等腰三角形及其特殊形式等边三角形的轴对称性及其相关性质。 二. 重、难点： 1. 等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件； 2. 等边三角形的概念及其性质。 三. 知识要点： 1. 等腰三角形 （1）等腰三角形是轴对称图形。 顶角平分线所在直线是它的对称轴。 （2）等腰三角形的性质（等腰三角形的判别法） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们都是等腰三角形的对称轴。 （简称“三线合

2、一” ） 等腰三角形的两底角相等。 （简称“等边对等角” ） 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 （简称“等角对等边” ） （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 等边三角形 （a）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。等边三角形是一种特殊的等腰三 角形。 （b）等边三角形特殊的性质： 等边三角形是轴对称图形，并且有 3 条对称轴。 等边三角形各角相等，并且每一个角都等于。 60 （有一个角是的等腰三角形是等边三角形） 60 【典型例题典型例题】 例 1. 已知等腰三角形的周长为 10cm，那么当三边为正整数时，它的边长为（ ） （A）2，2，6（B）3，

3、3，4 （C）4，4，2（D）3，3，4 或 4，4，2 分析：分析：可采用排除法。三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 2，2，6 不满足；而 3，3，4 或 4，4，2 都满足题意。 答：答：选 D。 例 2. O 为锐角ABC 的C 平分线上一点，O 关于 AC、BC 的对称点分别为 P、Q，则 POQ 一定是（ ） （A）等边三角形（B）等腰三角形 （C）直角三角形（D）等腰直角三角形 分析：分析：设 OP、OQ 分别交 AC、BC 于 E、F，由线段的对称轴是它的垂直平分线知： OEAC，且 OEOP；同理 OFBC，且 OF OQ； 2 1 2 1 由角平分线的性质知：O

4、EOF，则 OPOQ。POQ 一定是等腰三角形 答：答：选 B 例 3. （1）如果等腰直角三角形两直角边的和比斜边长 4cm，那么斜边长等于 _。 （2）等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于，则这个等腰三角形的 260 顶角等于_，底角等于_。 （3）等边三角形的周长是 30cm，一边上的高是 8cm，则三角形的面积为_ _。 解：解：（1）设斜边长为cm，则直角边长为，根据题意，。xx 2 2 4 2 2 2xx 解得cm)21 (4x （2）设顶角的一个外角为，则。 m 260180 m 而顶角的一个外角等于一个底角的 2 倍，所以等腰三角形的底角等于，顶角等于 40 。 100

5、 （3）等边三角形三边相等，则其边长为，cm10 3 30 2 40810 2 1 cmS 例 4. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的 2 倍少，求这个三角形的三个内角30 的度数。 （考虑两种情况） 解：解：设等腰三角形的底角为，则顶角为，则 x )302( x 180)302(xxx 解得： x 5 . 52)302( x 75 设等腰三角形的顶角为，则底角为，则x)302( x 180)302()302(xxx 解得： x 48)302( x 66 综上可得：三个内角的度数分别为，或，。 5 . 52 5 . 52 75 48 66 66 例 5. 如图所示，点 D 在 AC 上，

6、点 E 在 AB 上，且 ABAC，BCBD，ADDEEB，求A 的度数。 C D A E B 解：解：设EBD，x DEEB，EDBEBD，x AEDEDB+EBD2（三角形外角不相邻的两个内角和）x ADDE，AEDA2，CDBABD +A3（同上）xx BCBD，CCDB3，又ABAC，ABCC 3；xx 在ABC 中A+C+ABC，即 2+3+3 180 xxx 180 解得：x 5 . 22 A245x 例 6. 如图，在 RtABC 中，ABAC，BD 平分B，DEBC，若 BC10cm，求 DCE 的周长。 A D C B E 解：解：BD 平分B， DAAB， DEBC ABB

7、E（易证 RtBADRtBED） 又ABAC BE， DE DA DCE 的周长EC+DE+DC EC+DA+DC EC+AC EC+BEBC10cm。 例 7. 已知：如图，在ABC 中，ABAC，BDAC，求证：DBCA 2 1 A F D B E C 分析分析 1：用折半法。找出或作出较大角的一半的角，证明它与较小的角相等。 证法证法 1：作顶角平分线 AE。 AEBC（等腰三角形“三线合一” ） ， EAC+C （三角形内角和定理） 9090180 BDAC（已知） ， DBC+C 9090180 DBC+CEAC+C（等量代换） DBCEAC EACA（角平分线定义） ， 2 1 D

8、BCA（等量代换） 2 1 分析分析 2：用加倍法。找出或作出等于较小角的两倍的角，证明它与较大的角相等。 证法证法 2：作DBFDBC，BF 交 AC 于 F。 由作法得FBC2DBC，即DBCFBD。 在BFD 与BCD 中， BDCBDF DBFDBC BDBD 90 （垂直定义） （辅助线作法） （公共边） BFDBCD（ASA） BFDC， FBC （三角形内角和定理）CCBFD2180180 又CABC， ABC2C 180 180 FBCA（等量代换） DBCFBC（已证） ， 2 1 DBCA 2 1 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：30 分钟） 1. 下列说法正确的是（ ）

9、 （A）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 （B）顶角相等的两个等腰三角形全等 （C）等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 （D）等腰三角形的两个底角相等 2. 中，有一点既在的对称轴上，又在对称轴上，则该点一ABC 90CBCAC 定是（ ） （A）点（B）中点（C）中点（D）中点CBCACAB 3. 已知中，且，则的取值范围是（ ）ABCACAB B （A）（B） 45 900 （C）（D） 90 18090 4. 下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ） （A）等腰直角三角形（B）有一角为的等腰三角形60 （C）正方形（D）圆 5. 在等腰三角形 ABC 中，ABAC，BE、CD 分别是

10、底角的平分线，DEBC，图中等 腰三角形的个数有（ ） A D E B C A. 3 个B. 4 个C. 5 个D. 6 个 6. （1）等腰三角形中有一个角为，则它的一条腰上的高与底边的夹角为 52 _。 （2）等腰三角形的一个内角为，则其它两个内角为_。110 （3）一个等腰三角形有两边分别为 4 cm 和 8cm，则周长是_cm。 （4）若等腰三角形的顶角为，则腰上的高与底边的夹角为_。 120 7. 如图，ABC 中，ABAC，D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上，用轴对称的性质证明： BECE。 A E B D C 8. 等腰ABC 的腰长 AB10cm，AB 的垂直平分线交另

11、一腰 AC 于 D，BCD 的周长 为 26cm，则底边 BC 的长是多少？ A D B C B C 9. 如图，有三条交叉的公路，现要在三条公路交叉所形成的区域内建一货运站，使得货 运站到三条公路交叉点的路程一样长，请问如何确定货运站的位置？简单叙述你的方法。 10. 用 13 种方法，将一个等边三角形分割成 4 个等腰三角形。 试题答案试题答案 1. D2. D3. B4. D 5.D 6. （1）或；（2）；（3）20；（4） 38 26 35,35 60 7. 证明： ABC 中，ABAC，BDCD（已知） ， ADBC（等腰三角形“三线合一” ） ， AD 垂直平分线段 BC， 点 C 和点 B 关于直线 AD 对称， 又