完整版)线性代数试题及答案

1、线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。A. m+nC. n- ma11a12a13a11=m，a21a22a23a211.设行列式=n，则行列式a11 a12 a13等于（2.设矩阵 A=00 ，则 A - 1 等于（3A. 013C. 03.设矩阵A=a21 a22 a23B. - (m+n)D. m- nB.D.21 ，A*是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于41，2）的元素是（A. 6C. 24.设 A 是方阵，如

2、有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C5.已知 34 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6D. 2)B. BD. |A| 0 时 B=CC 时 A=0AT)等于()B. 2C. 3D. 46. 设两个向量组 1，2， s和 1，2， s 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数 1，2，s使11+22+ss=0 和 1 1+ 2 2+ ss=0B. 有不全为 0 的数 1， 2， s 使 1（1+1）+2（2+2）+s（ s+ s）=0C. 有不全为 0 的数 1， 2， s 使1（ 1- 1）+2（2- 2）+s（s- s）=0D.

3、有不全为 0的数 1， 2， s和不全为 0的数 1， 2， s使11+22+ s s=0 和 11+22+ ss=07. 设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0 B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r阶子式不等于 0D.所有 r阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， 1，2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. 1+2 是 Ax=0 的一个解C. 1- 2是 Ax=0 的一个解9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A）nC.A=011B. 1+ 2是 Ax=b 的一个解22D. 2 1- 2 是 A

4、x=b 的一个解 )B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解10. 设 A 是一个 n（3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A. 如存在数和向量 使 A=，则是 A 的属于特征值的特征向量B. 如存在数和非零向量 ，使（E- A）=0，则是 A的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如 1， 2， 3是A的 3个互不相同的特征值， 1，2，3依次是 A的属于 1，2， 3的特征向量，则 1， 2， 3有可能线性相关11. 设 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于 0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ）A. k 3C. k=312.

5、设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1C. A- 1=A T13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同14. 下列矩阵中是正定矩阵的为（）23A.341 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 小题的空格内。错填或不填均无分。B. k3）B.|A|必为 1D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=CTAC .则（）34 B.261 1 1D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过

6、程，将正确的答案写在每811115.3569253611112316.设A=B=.则 A+2B=11112417.设A=(aij)3 3 ，|A|=2 ，Aij表示 |A|中 元 素aij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则222（a11A 21+a12A 22+a13A23） +（a21A21+a22A22+a23A 23） +（a31A21+a32A22+a33A23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a）线性相关，则 a= .19. 设A是 34矩阵，其秩为 3，若1，2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为

7、 .20. 设 A 是 mn 矩阵， A 的秩为 r（n） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个 数为 .21. 设向量、的长度依次为 2和3，则向量 +与-的内积（ +，- ）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 = 1 是它的一个特征向量，则 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f（x1,x2,x3,x4,x5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）202 3 12 3 1 .

8、求（ 1）AB T；（2） |4A|40 ， B=24021125.设 A= 313 1 1 226.试计算行列式29.设矩阵 A=4 2 61024 2 327.设矩阵 A=110，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.123213028.给定向量组 1=1，3 2=0， 3=， 41022=4.3419试判断 4是否为 1，2，3的线性组合；若是，则求出组合系数。1 2 1 0 2求：（1）秩（ A ）；2） A 的列向量组的一个最大线性无关组。030.设矩阵 A= 22223 4 的全部特征值为 1，1 和- 8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，使 T- 1AT=D.4331. 试用

9、配方法化下列二次型为标准形2 2 2 f（x1,x2,x3）= x1 2x2 3x3 4x1x2 4x1x3 4x2x3 ，并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10分）32. 设方阵 A 满足 A 3=0 ，试证明 E- A 可逆，且（ E- A）- 1=E+A+A2.33. 设0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解， 1，2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系 试证明（1）1=0+1，2=0+2 均是 Ax=b 的解； （2）0，1，2 线性无关。答案： 一、单项选择题（本大题共 14小题，每小题 2 分，共 28分） 1.D 2.B 3.

10、B 4.D 5.C6.D7.C11.A12.B二、填空题（本大题共15. 63 3 716.1 3 78.A9.A10.B13.D14.C10 空，每空 2 分，共 20分）17. 418. 1019. 1+c（ 2- 1）（或 2+c（ 2- 1），c 为任意常数20. n- r21. 522. 223. 1三、计算题（本大题共7 小题，每小题 6 分，共 42 分）1202225.解（1）AB T= 3 40341211086= 18 10 .3 102）|4A|=43|A|=64|A|，而1 2 0|A|= 3 4 0 2.12162所以|4A|=64（ - 2）=- 128311251

11、11513411131201100101533553026.解5 1 111 1 15 5 027.解 AB =A +2B 即（A-2E）B=A，而22131（A- 2E）- 1=11015 1 16205 5 030 10 40.55435 3 .1211所以 B=（A- 2E）- 1A= 11386=296.2129213005321301130128.解一02240112341901311210351035011201120088001100141400001002010100110000所以4=21+ 2+ 3，组合系数为（2，1，1）解二 考虑 4=x1 1+x22+x3 3，2x1

12、 x2 3x3 0即 x1 3x22x2 2x3143x1 4x2x39.方程组有唯一解（2，1， 1） T ，组合系数为（ 2， 1，1）29.解 对矩阵 A 施行初等行变换1210200062A032820963212102121020328303283=B000620003100021700000（1）秩（B）=3，所以秩（ A ）=秩（B）=3.（2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而 B 是阶梯形， B 的第 1、2、4 列是 B 的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第 1、2、 4 列是 A 的列向量组的一个最大线性无关组。（A 的第 1、2、5 列或 1、3、

13、4列，或 1、3、5 列也是） 30.解 A 的属于特征值 =1 的 2 个线性无关的特征向量为1=（2，- 1，0）T， 2=（2，0， 1）T.2 5/5 2 5/15 经正交标准化，得 1= 5/5 ，2= 4 5/15 .0 5/3 =-8 的一个特征向量为11/ 3 3= 2 ，经单位化得 3=2/ 3 .22/32 5/52 15/151/3所求正交矩阵为T= 5/54 5/152/305/32/31 0 0对角矩阵 D= 0 1 00 0 831.解f（x1，x2，x3）=2 2 2 （ x 1+2x 2- 2x3） - 2x2 +4x2x3- 7x3 =（x1+2x2- 2x3）2- 2（ x2-x3）2- 5x32.y1 x12x2 2x3x1 y1 2y2设 y2x2 x3 ，即 x2y2 y3，y3x3x3y3120因其系数矩阵C= 0 11 可逆，故此线性变换满秩。001经此变换即得四、证明题（本大题共f（x 1，x2，x3） 的标准形2 2 2 y1 - 2y2 - 5y3 .2 小题，每小题 5 分，共 10 分）32.证由于（ E- A）（ E+A+A2）=E- A 3=E，2/3所以 E- A 可逆，且 （E- A）-1= E+A+A2 .2 5/52 15 /15也可取 T= 05/35/54 5/151/32/3 .）33