第六章微分方程

1、第六章微分方程 6.1微分方程的基本概念 6.1.1微分方程的相关定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为常微分方程的阶 任何代入常微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若常微分方 程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则 称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到 的解，称为方程的特解. 6.1.2微分方程的分类 (1)未知函数(微分方程的解)是一元函数的微分方程称作常微分方程，是多元 函数的叫做偏微分方程. (2)线性微分方程是指关于未知函数

2、及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线 性微分方程。如：x(y- yy + x =0、y + 7siny=0为非线性微分方程. 6.2 一阶微分方程及方程的解 一阶微分方程的一般形式为F(X, y, y 0或y = Fx,y . 6.2.1可分离变量微分方程 微分方程中的变量x，y可通过变形分列于等式两边，形如八亲I可化为 g(ydy=f(xdx，对分离变量后的方程进行两边积分，则Jg(y dy = J f (x dx， 若设F(x )和G(x )分别是f(x )和g(x )的一个原函数，则有G(x)=F(x)+C，其中c 为任意常数. 注：下文中的C、G、C2Cn都为任意常数，不再叙述. 6

3、.2.2 一阶线性微分方程 形如y + P(xy =Q(x)的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)和Q(x)均为连续 函数，若Q(x)=O则称为一阶线性齐次微分方程；否则称为一阶线性非齐次微分 方程. (1) 一阶线性齐次微分方程y + P(xly=o 定理1如果函数yi与y是一阶线性齐次方程的两个特解,则Gyi +。2丫2也是 一阶线性齐次方程的解. 注：可推广至更高阶的线性齐次微分方程 定理2如果函数yi与y2是一阶线性齐次方程的两个线性无关的特解，则 Ciyi+C2y2是一阶线性齐次方程的通解. 注：可推广至更高阶的线性齐次微分方程 y + P(x y =0这是可分离变量方程，可解得y

4、=CeJP(沖. 一阶线性非齐次微分方程y 7 P(X ” = Q(x ) 定理3设/是一阶线性非齐次方程的一个特解，丫是所对应的一阶线性齐次方 程的通解,则丫中y *是一阶线性非齐次方程的通解. 注：可推广至更高阶的线性非齐次微分方程 定理4设一阶线性非齐次方程的右端f(X)= fi(x)+ f2(x)，而y1与y2分别是方 程 y + Py + qy = fi(x)与 y + py + qy = f2(x)的特解，那么 y： + y；就是一阶线性 非齐次方程的特解. 注：可推广至更高阶的线性非齐次微分方程 现在已经知道了一阶线性齐次线性微分方程的通解y =ceH沖，可以将常数C 换成关于x

5、的函数u(x )，即有假设的解为y = u(x eH伸 把 y = u(X e Hx dx 代入 y+p(x y 二 Q(x)，得 uq(xP(x dx 两边积分有u(x)= jQ(xfe冋xdx +Ci， 则解为y=CieH沖+eTP(沖订Q(xeH沖dx， 根据定理 3 得通解为 y=C2eHxdx+eFM .jQaeFMdx. 例6.1物体在重力的作用下受空气阻力下落，设阻力与物体下落的速度v=v(t )成 正比(比例系数为常数k)，物体的重量为m，重力加速度为g，请问下降速度 最大接近于多少？ 化为非 解：依据牛顿第二定律，得未知函数v(t)的微分方程为= mg - kv， dt 齐次

6、线性微分方程 字+=v = g，解得通解为v=Ce益竺. dt mk 由题意得t = 0时v =0，代入通解得C =-聖，故相应的特解v =聖 kk f 1-e I/ 很明显这是一增函数，当tT +oc时，VT，即下降速度最大接近于 竺. kk 623全微分方程(全微分详见8.2) 如果一阶微分方程P(X, y dx + Q(x, ydy = 0，其中左边恰好是某个函数u(x, y啲 全微分. 显然 u(xC、寻=Px,y h 斜Qx,y、二 由皀=P(x,y )，两边对 x积分得 u(x,y )= JP(x, y dx + B(y )， ex 再对 y 求导得 Qx, yJP(x,y dx

7、+B(y )， 先求出B(y再求出By )，即可得到通解. 6.2.4通过变量代换得到以上三种基本类型的微分方程 (1)八 f - I lx丿 令U = y，即y = UX，两边对x求导得y二U + xu，化为可分离变量微分方程 x f(u )=u +%业求出通解方程. dx (2) y= f (ax+by+c Xab H 0) 令u=ax+by+c，两边对x求导得u=a + by，化为可分离变量微分方程 dx=a+bf(u 求通解. (3)八 f 2必 + b,y+c,、 、a2x + b2y+C2 丿 aib2 =a2bi 若=b aib2 bl = 令u =aiX+biy，两边对x求导得

8、=ai +biy，化为可分离变量 微分方程du=ai+bif + C2丿 求通解. a1ba2b1 若邛为方程组a：yy；2的解令u = x-a V = y - P，则原方程可化 律山+biV +b2V 丿 ，化为类型的方程誥 芒V ai 5 U ,V a2 + b2 I u丿 伯努利方程 y+p(X A = q(xH 0,1) 令u -y1，两边对x求导得u = (1-aHy， 化为一阶线性微分方程 dux+H-bm-x)求通解. 6.3二阶常系数线性微分方程 形如y + py + qy =f(x)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p、q均为实 数，若f(X)=0则称为二阶常系数线性齐次

9、微分方程； 否则称为二阶常系数线性 非齐次微分方程. 6.3.1二阶常系数线性齐次微分方程y+p y + qy=0 由于指数函数y=erx(r为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子，所以就 用y =erx来试着看能否选取适当的常数r,使y =erx满足二阶常系数线性齐次方 把y =erx代入二阶常系数线性齐次方程有：(r2 + pr + q)erx =0，因为e h0,所 以只 r + pr +q =0. (1) p2 -4q0 由于 r2 + pr+q=0 的两个解：r4q，r2 = 一 p 一“ p 2 ri 所以yi=erix, yer2X是二阶常系数线性齐次方程的两个特解 ，且 -二

10、e2)x H常数，即yi与y2线性无关, y2 则根据定理2, 二阶常系数线性齐次方程的通解为y = Cierix + C2e护 p2-4q=0 r2 + pr +q =0只有一个解：ri二一：这时只能得到二阶常系数线性齐次方程的 一个特解还需求出另一个解/且使弋常数,设w=u(x),即假设 y2 =erixu(x),将y2 =erixu(x)代入二阶常系数线性齐次方程，得: e (ir+2ru + r2u) + p(U + ru) +qu = 0 , 整理得：e U + (2r + p)u + (r2 + pr + q)u 】=0 . 由于 e H0,所以 u“ + (2r + p)u +

11、(r2+pr+ q)u=0，又因为 r2 + pr+ q = 0， 2r+ p=0，从而有昇=0，不妨取u = x,可得到二阶常系数线性齐次方程的另 一个解 y2 -xJ. 根据定理2,二阶常系数线性齐次方程的通解为 y = (Ci + C2x)erx. 当 p2 -4q 0 r2 + pr +q =0有一对共轭复根 口 =a +iP,r2 = -iP 于是 yi =e(， y2 =e( 根据欧拉公式e =cosxisinx，贝U有 % = e+Px =尹.ei 妝=尹(cos Px + i sin Px)； y2 =e丄px =尹 e及=e(cosPx -i sin Px)， 为了去掉虚数，

12、根据定理1,又得到两个解: 1 _ 1 yi =2(yi +y2) =ecosPx; y2 =牙(丫1 -y?) =e農sin Px， e sin Px 逢=tanPxK常数，即-与y；线性无关, yi e cos nX 根据定理2,二阶常系数线性齐次方程的通解为y = e疫(Ci cosPx + C? sin Px). 6.3.2二阶常系数非齐次线性微分方程/ + Py + qy = f(x) f(X)=“Pm(X)(A为常数，Pm(X)是关于X的一个m次多项式) 二阶常系数线性非齐次方程右端f(X)是多项式Pm(X)与指数函数/乘积，它导 数仍为同一类型函数，因此二阶常系数线性非齐次方程的

13、特解可能为 尸=Q(x)eX,其中Q(X)是某个多项式函数. 把尸=Q(x)e代入二阶常系数线性非齐次方程并消去e样,得 Q(x) + (2a + p)Q (X)+ (汇 + q)Q(x) = Pm(x). 若入不是特征方程r2 + pr + q = 0的根 即法+ p入+ qHO，要使上式等式两边相等，Q(x)必然为另一个m次多项式 Qm(x)，则二阶常系数线性非齐次方程的特解形式为尸=Qm(x)e 令Qm(X)=bo +biX+b2X2 +bmXm，再把特解代入原方程，并比较两端关于 X同次幕的系数,就得到关于未知数b0,bi,，bm的m+1个方程.联立解方程组可 以确定出b(i =0,1

14、,，m). 若入是特征方程+ pr + q = 0的单根 即入+ q=o, 2a + p ho,要使上式成立，则Q(x)必然是m次多项式函数， 于是令Q(x)=xQm(x)，则二阶常系数线性非齐次方程的特解形式为 y =xQm(x)e& 同用同样的方法来确定Qm(x)的系数. 若几是特征方程r2 + pr + q = 0的重根, 即A + ph +q =0, 2a+ p =0，要使上式成立,则Q(x)必须是一个m次多项式, 可令Q(x) =x2Qm(x)，则二阶常系数线性非齐次方程的特解形式为 y =x2Qm(x)ex. 同用同样的方法来确定Qm(x)的系数. 最后根据定理3求出原方程的通解.

15、 例6.2求方程y -2y + y = (x -1的通解. 解:先求对应齐次方程Y “ -2Y Q Y = 0的通解. 特征方程为r2 -2r +1 =0,解得ri =1, 则齐次方程的通解为丫 = (Ci +C2X)eX. 由于1是特征方程的二重根，(x-1)是关于x的一次多项式, 所以设非齐次方程特解形式为y = X2 (ax +b)eX， 11 把它代入所给方程，并约去ex得6ax +2b=x-1，比较系数，得 62 于是非齐次方程的特解为 / = x2(-1)ex， 6 2 所给方程的通解为y = Y + y* = (G +C2X -丄X2 +丄x3)ex. 2 6 Qn(X)是关于x

16、的一 f(x)=ePm(x)s in Px + Qn(x)cosPx (a 为常数，Pm(x)、 ix 鸟 e - e 2i 个m次、n次多项式) 应用欧拉公式 e =cosxi sin X，有 cosx = ； sin x = 2 把三角函数表示为复变量指数函数的形式，有 卩X + _BXpx_Bx f(X)=e Pm(x)si n Px +Qn(x )cos Px= eX |Pm(X)ee +Qn(x)e e L 22i J + Qn(x)1e 附 X +Pm(X)_Qn(X)lex 2iL 2 2i 由于乎+学是十如次多项式，根据类型可知, y + py +qy =x+ 笃,)”(沸 的

17、特解为 y, =沸 x， 其中当几 Pi为特征方程r2 + pr +q =0的根时，k =1 ；当几 Pi不为特征方程 2 r +p r+q=O 的根时，k=0 ； 2 2i 又由于空空-2凹也是I =maxm,n次多项式，根据(1)类型可知, y“ + Py+qy = $2- Qi*x的特解为 丫2审(x) = xk(xeS X 其中当A Pi为特征方程r2+ pr+q=0的根时，k = 1 ；当几 Pi不为特征方程 2 r + pr + q = 0 的根时，k = 0 , 那么根据定理4,当f(x) =MPm(x)sinPx + Qn(x)cosPx时的特解形式为 yxkR(xepM 八

18、xkSl(X =xkex Ri(X IcosPx +i sin Px)+ S (x IcosPx- i sin Px 9 =xkexR|(x)+ Sl(X jcosPx + i R(X )-S|(Xsin Px =xke赵 Tl(X JcosPx +UI(X )sin Px】 其中T|(x )、U|(x都是ln次多项式，当几丙为特征方程r2 + pr + q = 0 的根时，k =1 ；当几 Pi不为特征方程r2 + pr + q = 0的根时，k = 0 . 同用同样的方法来确定Ti(x)、Ui(x)的系数. 最后根据定理3求出原方程的通解. 例 6.3 求 y + y =cosxcos2x

19、 的通解. 解：先求出相应的齐次方程Y+Y=O的通解，再求出原方程的特解. 由于特征方程丫2 +1=0的根为i , 所以相应的齐次方程通解为丫 =CiC0Sx+C2Sinx. 1 由于 cosx COS2X = - (COSX + cos3x ) 2 ， 1 1 根据定理4,可以先分别求出宀rcosx与宀y=2cos3x的特解y；与yr， yr + y2审就是原方程的特解, 由于i是特征方程y2 +1 =0的根, 所以y + y=-cosx的特解形式为* = Axcosx + Bxsi nx ,代入原方程，得出 1X A =0, B =-即特解为 yj =-sinx ； 44 1 1 同理 y

20、 + y = cos3x 的特解为 y2 =- cos3x. 2 16 则原方程的特解为yM = y/ + y/ =-sin x 丄cos3x, 416 X1 又根据定理3,原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx + 4sinX-16cos3x. 6.4二阶变系数线性微分方程 形如y“ + p （xy + q（x）y=f（x）的方程称为二阶变系数线性微分方程.其中P（x ）、 q（X ）和f（X ）均为连续函数，若f（X）= 0则称为二阶变系数线性齐次微分方程；否 则称为二阶变系数线性非齐次微分方程 6.4.1二阶变系数线性齐次微分方程 y+ p（xy + q（x）y = 0 二阶变系数

21、线性齐次微分方程没有固定解法，下面只对几种特殊情况下的方程列 出求通解的方法. （1）二阶欧拉齐次方程（多阶类似） 形如x2y + pxy + qy=0 （ p和q均为常数）称为二阶欧拉齐次方程，令et， 即将变量由X换成t，则有鱼=业生=e丄鱼=丄史, dx dt dx dt X dt d2y d fdy、dt 2- = I dx2 dt Idx 丿 dx -t d =e 一 dt f-t d2y dt dy _ 1 y dy I dt 丿 dt2 dt X2 dt2 dt 丿 将这些关系代入原方程，化成了二阶常系数线性齐次方程 dtyr pi)；y+qy=O 求通解. (2)已知二阶变系数

22、线性齐次方程的一个特解 若二阶变系数线性齐次方程的一个非零解为yi，那么就设二阶变系数线性齐次方 程另一个与yi线性无关的解为y2=yiu(x). 把y2=yiu(x )代入二阶变系数线性齐次方程，得: yiupx )+2u(xM +u(xM +p(x(yiu(x)+u(xM + q(xMu(x)=O， |2yi + P(x )yi(x )+pi +p(xM + q(x)yi 化简得：yiu(x)+ PF 由于yi是二阶变系数线性齐次方程的解，再化简又得: yiu (x)+|2yi +p (xyi(x)=O 这是一个可降阶的微分方程，令v(x)=uTx ),又有: yiv(x)+ |2yi +

23、 p(xm(x)=0， 分离变量得：dv(x)= -|2yi +p(xM*) dx， yi 两端积分得v(x 的个解：yeTp汁 所以相应的u(x )= j(ye， 则 y2 = yi J(ye 。节 最后根据定理2求得通解. r2 + p(x r + q(x )= 0时，r取得常数解 假设，代入二阶变系数齐次方程，得 r2 + pCxY + qeHO， 由于 e咲 HO，贝U有 r2 + p(xr + q(x)=O， 如果r取得常数解，则y=erx为二阶变系数齐次方程的解. 最后根据(2)中已知二阶变系数线性齐次方程的一个特解求得通解 例 6.4 求 xy2(x+1M+4y =0 的通解 2 解：设 xr2 -2(x +1 r +4 = 0，解得：r = 2或 r =, x 显然r取得了一个常数解2,所以原式有一特解为yi=e2x 根据(2)中已知二阶变系数齐次方程的一个特解求通解的方法，得 y =%2% +G x2 +x +- . p(x )和q(x )满足一定关系 p(x)=T(x)+W(x) (q(x)Fx)FxW(x )，其中函数口x卜口x湘Wx都为连续函数. 将上述关系代入二阶变系数线性齐次方程有: y + T(X )+W(x)y + T