导数专题一：单调性问题

1、导数专题一：导数法巧解单调性问题 考纲要求： 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函 数不超过三次). 基础知识回顾： 用导数研究函数的单调性 (1) 用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增(减)，只需证明在函数的定义域内f(X)_ (乞)0 (2) 用导数求函数的单调区间 求函数的定义域 D t求导f(x) t解不等式f(x) : 0得解集P t求DpP，得函数的单调递增 (减)区间。 一般地，函数f (x)在某个区间可导，f (x) 0=f (x)在这个区间是增函数 一般地，函数f (x)在某个区间可导，f(x) V 0=f(x)在这个

2、区间是减函数 (3) 单调性的应用(已知函数单调性) 一般地，函数f (x)在某个区间可导，f (x)在这个区间是增(减)函数=f(x) (勻0 【注】求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式f(x) (V )0 (不要带 等号)，最后求二者的交集，把它写成区间。 已知函数的增(减)区间，应得到 f(x) ( C：) 0,此处可不带等号。 单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区 间；如果一种区间有多个，中间不能用“ J”连接。 应用举例： 、求函数的单调区间 例1【2013广东文节选】函数 f (x)二xkx2 x k三R . (1

3、)当k=1时,求函数f (x)的单调区间； 【解析】f x3x2 -2kx 1 2 (1)当 k =1 时 f x = 3x -2x 1,= 4-12 二 一8 ： 0 f x 0, f x在R上单调递增. 例3 (2013年全国卷课标i文 20)已知函数f (x) =ex(ax b)-x2-4x,曲线y = f(x)在点 (0, f (0)处切线方程为y = 4x 4 .讨论f (x)的单调性. 【解析】f (x)二 e2(ax a b) -2x -4 ,由已知得 f (0) = 4, f 勺(0) = 4,故b = 4,a b = 8 从而 a=b=4, f(x)二4ex(x 1) -x2

4、 -4x, 1 f(x)=4ex(x 2)-2x -4=4(x 2)(ex). 2 令 f (x) =0得，x=-1 n2或x=-2. 从而当 x (_：,_2)U(-1 n2,：)时,f (x) 0;当x (-2,-1 n2)时，f f x) 在这个区间是噌函数 嚴地，闕 f(Jt)在某个区间可导.= /(a)在这个区间是裱函数 变式训练: 、_3 【变式1】已知a R,函数f (x) =4x _2ax a，求f(x)的单调区间 【解析】由題意得f (功=12/ -2a, 当 A = 4-4a0Wam, /v)=+=o 有两个相异实 jq = -y-4=-1-=-I+a/13 且 坷 0=

5、xe(-co=T - Jl-口)或兀E (T +彳：+1时，/(对在盘上单调理憎;当日1时JU)在匚Q上单调越増，在 丸(7+R片单调建増，在c 1 - JI二二-1+单调建减. In x + k 3、已知函数 f(x) x ( k为常数，e = 2.71828是自然对数的底数 ),曲线y二f(x)在点 e (1,f (1)处的切线与x轴平行. (I )求k的值； (n)求f (x)的单调区间； 【解折】由矗)=空占可得广(工)二而厂(1) = 0,即口 = 0解得七=1; eJC二丄一 l-lnJCCO. xx 于是)在区间内为増函数莊)内为减瓯. 4、已知函数f(x) = x + X(x工

6、,常数a R).若函数f(x)在x 2, + 上是单调递增的，求 a的取 值范围. 【解析】心=2一言=耳匚 要使咧在2+对上是单调谨増的, 则r(i)y在丘2. +对时晅成立, 岀 在蠶丘2,十呦时恒成立. 二彳丘一旦， - aS2s?在C 2丫十8)上恒咸立- ；1玄2动还 VxE|2, +两，尸乞!3是单调谨噌的弋晋治尸 血-比血 2s3 当 a=16 时，r(i) i2 KiSp, +两有且只有 f=0), 山的取值范围是al. 5、已知a R，函数f(x) = (-x2+ ax)ex(x R, e为自然对数的底数). (1)当a = 2时，求函数f(x)的单调递增区间； 若函数f(x)在(一1,1)上单调递增，求a的取值范围； 函数f(x)能否为R上的单调函数，若能，