八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题

1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球文：付雨楼、段永建今天 给大 家带 来 8 个 求解 立体 几何 内切 球与外 接球 半径 的模 型，本文 最开 始源自 付雨 楼老 师分 享 的模 型，教 研 QQ 群 (群号： 545423319)成员 段永 建老 师进一步 作图 编辑 优化 分 享。类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）PPPPO2ccccACbCbaCbBCabAAaBBaBA图1图2图3图 4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2 ，即 2Ra2b2c2 ，求出 R例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积

2、为 16，则这个球的表面积是（C）A 16B 20C24D 3223 ，则其外接球的表面积是9（ ）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为解：（ 1） Va2h16 ， a2 ， 4R2a2a2h244 16 24 ， S24，选 C；（ 2） 4R23 3 3 9， S 4 R 29（ 3）在正三棱锥 SABC 中， M 、 N 分别是棱 SC、BC 的中点，且 AMMN , 若侧棱 SA23 , 则正三棱锥 SABC 外接球的表面积是。 36解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下：如图（ 3）-1 ，取 AB , BC 的中点 D , E ，连接 AE, CD ， AE ,CD 交于

3、 H ，连接 SH ，则 H 是底面正三角形 ABC 的中心，SH平面 ABC ，SHAB ，ACBC ， ADBD ，CDAB，AB平面 SCD ，ABSC ，同理： BCSA， ACSB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3） -2 ，AMMN ， SB/ MN ，SACAMSB，ACSB ，SB平面 SAC ，DHEB1(3) 题-1SBSASBSC，SBSABCSA，SA平面 SBC，SASC，S故三棱锥 SABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，M(2R) 2( 23)2( 23)2( 23)236 ，即4R236，AC正三棱锥 SABC 外接球的表面积是36NB(3) 题-2（4）在四

4、面体SABC 中，SA平面 ABC，BAC120 , SAAC2, AB1, 则该四面体的外接球的表面积为（ D） A.11B.71040C .D .336 、 4 、 3，那么它的外接球的表面积是（ 5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为（ 6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解析： （ 4）在ABC 中， BC 2AC 2AB22 ABBCcos1207 ，BC7 ，ABC 的外接球直径为2rBC72 7sinBAC3，32(2R) 2( 2r ) 2SA2( 2 7 )2440 ， S40，选 D333

5、（ 5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a, b, c（ a, b, cR ），则ab12bc8 ，abc24 ，a3 ， b 4， c 2， ( 2R) 2a2b2c229 ， S 4 R229 ，ac6（ 6） (2 )2a2b2c23， R23， R3R42PV4R34333，3382AC类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）B1题设：如图5， PA平面 ABC解题步骤：2POCAO1DB图 5第一步：将ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心 O ；第二步： O1 为ABC 的外心，所以 OO1 平面 ABC ，算出

6、小圆 O1 的半径 O1Dr （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得abc2r ）， OO1 1 PA ；sin Asin Bsin C2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2PA 2(2r )22RPA2(2r )2 ； R2r 2OO12Rr 2OO122题设： 如图 6，7，8， P 的射影是 ABC 的外心三棱锥 PABC 的三条侧棱相等三棱锥 PABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点PPPPOOOOCCCCO1AAO1O1ADO1BBABB图 6图 7-1图 7-2图 8PPPAAAO2BCO2CO2DBDBOOO图8-1图8-2图8-3解题

7、步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC 的外心 O1 ，则 P,O, O1 三点共线；第二步：先算出小圆O1 的半径 AO1r ，再算出棱锥的高 PO1h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2O1 A2O1O 2R2( hR) 2r 2，解出 R方法二： 小圆直径参与构造大圆。例 2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )CA 3B2C 16D以上都不对3解：选 C， (3R) 21R2 , 32 3RR2 1R2, 423R 0 ,3R2, S 4 R21633类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）PPPPOOOACAO1CAO1CAO1CBBBB图 9-1图

8、 9-2图 9-3图9-41题设：如图 9-1 ，平面PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC 的外心，即PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r ；第二步：在PAC 中，可根据正弦定理abc2R ，求出 Rsin Asin Bsin C2如图 9-2 ，平面 PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 为小圆的直径）OC 2O1C 2O1O 2R2r 2O1O 2AC 2 R2O1O23如图 9-3 ，平面 PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 为小圆的直径），且 P 的射影是ABC 的外心三棱锥 PABC 的三条侧棱

9、相等三棱 PABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC 的外心 O1 ，则 P,O, O1 三点共线；第二步：先算出小圆O1 的半径 AO1r ，再算出棱锥的高 PO1h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2O1 A2O1O 2R2( hR) 2r 2 ，解出 R4如图 9-3 ，平面 PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 为小圆的直径），且PAAC ，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2PA 2(2r )22RPA2( 2r ) 2 ； R2r 2OO12Rr 2OO124例 3 （1）正四棱锥的顶点

10、都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为 23 ，则该球的表面积为。（ 2）正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2 ，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：（ 1）由正弦定理或找球心都可得2R7 ， S4 R249 ，（ 2）方法一：找球心的位置， 易知 r1 ，h1，hr ，故球心在正方形的中心ABCD 处，R 1，V43方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC 的外接圆，此处特殊，Rt SAC 的斜边是球半径，2R2 ， R1 ， V43（ 3）在三棱锥 PABC 中， PAPBPC3 , 侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（）

11、AB.C. 4D.433解：选 D，圆锥 A, B, C 在以 r312的圆上， R（ 4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上 ,ABC是边长为1SC为球O的直的正三角形 ,径 , 且 SC2 ，则此棱锥的体积为（） AA2B3C2D26632解： OO1R2r 21 (3 ) 26 ， h2 6 ， V1 Sh1 3 2 6233333436类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）C1C1C1A 1A1O 2A 1O2O2B 1B 1B 1OOOCCCAO1AO1AO1BBB图 10-1图 10-2图 10-3题设：如图 10-1 ，图 10-2 ，图 10-3, 直三棱柱

12、内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置， O1 是ABC 的外心，则OO1 平面ABC ；第二步：算出小圆O1的半径 AO1r ， OO11 AA11 h （ AA1h 也是圆柱的高）；225第三步：勾股定理：OA2O1 A2O1O 2R2( h)2r 2Rr 2( h)2，解出 R22例 4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 ，底面周长为3 ，则这个球的体积为8解：设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的关径为r ，则 a1，2底面积为 S 63(

13、1)23 3， V柱Sh33h9 ，h3 ， R2(3) 2(1 )21，4288822R 1，球的体积为 V43（ 2）直三棱柱 ABCA1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12 ,BAC120 ，则此球的表面积等于。解： BC2 3234 ， r 2 ， R5 ， S 20， 2rsin 120（ 3）已知EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EEAEB3, AD2,AEB60 ，则多面体EABCD 的外接ADO1OM球的表面积为。 16O2解析：折叠型，法一：EAB 的外接圆半径为 r13 ， OO11， BCR132 ；法二： O1M3， r2O2 D13

14、， R23134 ， R2 ， S162244（ 4）在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， AB4, AC6, A, AA14 则直三棱柱 ABCA1B1C1 的外接球。 1603的表面积为3解析： BC 216362 4 6128， BC27 ， 2r2747， r2 7，23332R2r 2( AA1 ) 228440， S1602333类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠( 如图 11)AOH 2DH 1A6ECB图 11第一步：先画出如图所示的图形，将BCD 画在小圆上，找出BCD 和A BD 的外心 H 1 和 H 2 ；第二步：过 H 1 和 H 2

15、 分别作平面 BCD 和平面 A BD 的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接 OE,OC ；第三步：解OEH 1 ，算出 OH 1 ，在 Rt OCH 1 中，勾股定理：OH 12CH 12OC 2例 5 三棱锥 P ABC 中，平面 PAC平面 ABC ， PAC 和 ABC 均为边长为2 的正三角形，则三棱锥 PABC 外接球的半径为.解析： 2r12r224， r12， O2H1Psin 603r2，33R2O2 H 2r121 4 5 ， R15 ；O23 333OA11法二： O2 H， O1 H，AH，O1331HCBR2AO2AH 2O1H 2O1O 25 ， R1533类型六

16、、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体） 中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径 （ ABCD ， AD BC ，ACBD ）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步： 设出长方体的长宽高分别为a,b, c ， ADBCx ， AB CDy ， ACBD z ，列方程组，a 2b 2x2x2y 2z2b2c2y2(2R)2a2b2c2，A2c2a2z2xDyyczz补充： VA BCDabc1 abc 4 1 abc63xCbBa图12第三步：根据墙角模型，2Ra22c2x 2y 2z2b2，R2x2y 2z2， Rx2y2z2，求出 R ，88例如，正四面体的

17、外接球半径可用此法。(1) 题例 6（ 1）棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一7个截面如图，则图中三角形( 正四面体的截面) 的面积是.（ 2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A 3 3B3C 3D 343412PO2CPO解：（ 1）截面为PCO 1，面积是2 ；（ 2）高 hR1，底面外接圆的半径为R1，直径为 2R2 ，ABO1B设底面边长为a ，则 2Ra2 ， a3 ， S3233(1)题解答图sin 60a，44三棱锥的体积为V1 Sh334（ 3）在三棱锥ABCD 中， AB

18、CD2, ADBC3, ACBD4, 则三棱锥 A BCD 外接球的表面积为。 292解析：如图 12，设补形为长方体， 三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a, b, c ，则 a2b29 ，b2c24 ， c2a 216 2( a2b2c2 ) 9 4 16 29 ， 2( a2b2c2 ) 9 4 16 29 ，a2b2c229 ， 4R229 ， S29222（ 4）如图所示三棱锥ABCD ，其中 ABCD5, AC BD6, ADBC7, 则该三棱锥外接球的表面积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c ，2(a2b2c2 )2536

19、49110 ， a2b2c255 ， 4R255 ， S55【 55；对称几何体；放到长方体中】（ 5）正四面体的各条棱长都为2 ，则该正面体外接球的体积为解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R3 ，R3， V4333238，2类型七、两直角三角形拼接在一起( 斜边相同 , 也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥) 模型PBCOA图 13题设：APBACB90 ，求三棱锥PABC 外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接81OP,OC ，则 OAOBOCOPAB ，O 为三棱锥 PABC 外接球球心，然后在OCP 中求出2半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起

20、成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例 7（ 1）在矩形 ABCD 中， AB4， BC3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B ACD ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为（）A 125B 125C 125D 12512963解：（ 1） 2RAC5 ， R5， V43412512523R38，选 C6（ 2）在矩形 ABCD 中， AB2 ， BC3，沿 BD 将矩形 ABCD 折叠，连接 AC ，所得三棱锥 ABCD的外接球的表面积为解析：（ 2） BD 的中点是球心 O ， 2RBD13 ， S4 R213 ；类型八、锥体的内切球问题P1题设：如图 14，三

21、棱锥 PABC 上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E, H 分别是两个三角形的外心；E第二步：求 DH1 BD ， POPH r ， PD 是侧面ABP 的高；OA3DHPOE 相似于 PDH ，建立等式： OEPO ，解出 r第三步：由BDHPD图142题设：如图15，四棱锥 PABC 上正四棱锥，求其外接球的半径P第一步：先现出内切球的截面图，P, O, H 三点共线；第二步：求 FH1 BC ， POPH r ， PF 是侧面PCD 的高；2OGPOO第三步：由POG 相似于PFH ，建立等式：，解出AHFPFEBH3题设：三棱锥PABC 是任意三棱锥，求其的内切球半径图 15方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式： VPABCVO ABCVOPABVO PACVO PBCVP ABC1S ABC r1SPAB r1SPACr1SPBCr1(S ABCS PABSPACS PBC ) r33333第三步：解出 r3VPABCSOSOSOSO PBCABCPABPAC习题：SABCSA2SBSC41若三棱锥的三条侧棱两两垂直， 且