高考数学章节总复习：《集合与常用逻辑用语》(含解析

1、第1页共27页第一章集合与常用逻辑用语第一节集 _合1 集合的相关概念(1) 集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2) 元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ?.(3) 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法(4) 五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR2 集合间的基本关系表示关系文字语言子集集合 A 的元素都是集合 B 的元素基本集合 A 是集合 B 的子集，且关系真子集集合 B 中至少有一个元素不属于 A相等集合 A，B 的元素完全相同空集不含任何元素的集合空集是任何集合 A 的子集符号语言记法x A? x BA? B或B? A

2、A? B，且存在 x0 B， x0?AAB或BAA? B，B? AA B任意的 x， x?， ? A?3 集合的基本运算表示文字语言符号语言图形语言记法运算属于集合A且属于集合B 的交集x|x A，且 x BA B元素组成的集合属于集合A或属于集合B 的并集x|x A，或 x BA B元素组成的集合第2页共27页全集 U 中不属于集合A 的元?UA补集x|x U，且 x?A素组成的集合4 集合问题中的几个基本结论(1) 集合 A 是其本身的子集，即 A? A；(2) 子集关系的传递性，即 A? B， B? C? A? C；(3) A A A A A， A? A， A ? ?， ?U U ?，

3、?U? U.(4) A B A? A? B， AB B? A? B. 小题体验 1已知集合A 1,2 ，B x|0 x 5，x N，则满足 A? C? B 的集合 C 的个数为 ()A 1B 2C 3D 4答案： D2已知集合A 1,2,3， B 2,4,5 ，则集合A B 中元素的个数为_答案： 53 (2018 苏高考江 )已知集合A 0,1,2,8 ， B 1,1,6,8，那么 A B _.解析： A B 0,1,2,8 1,1,6,8 1,8 答案： 1,81认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件2解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的

4、从属关系；二是集合与集合的包含关系3易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身4运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心5在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误 小题纠偏 浙江名校联考)已知R， yy1， x0 ，则 M N ()1 (2019? Mx|ln|x|1 NxA (0， eB e， )C (， e (0， )D e， e解析：选 B由 ln|x| 1 得 |x| e， M e， e N (0， )， M N e， )故选 B.第3页共27页2若集合A x| 2x 5， B x|m 1 x 2m 1，且 B?

5、A，则由m 的可能取值组成的集合为_解析：当 m 1 2m 1，即 m2 时， B ?，满足 B? A；若 B ?，且满足 B? A，如图所示，m 1 2m 1，则 m 1 2，2m 1 5，m 2，即m 3，m 3，所以2 m 3.故m 2 或2 m 3，即所求集合为m|m3答案： m|m 33已知集合A 0, x 1， x2 5x，若 4 A，则实数x 的值为 _解析： 4 A， x 1 4 或 x2 5x 4. x 5 或 x 1 或 x 4.若 x 1，则 A 0, 2， 4，满足条件；若 x 4，则 A 0, 5， 4，满足条件；若 x 5，则 A 0， 4,50 ，满足条件所以 x

6、 1 或 x 4 或 5.答案：1或4或5考点一集合的基本概念基础送分型考点 自主练透 题组练透 1下列命题正确的有()很小的实数可以构成集合； (易错题 )集合 y|y x2 1 与集合 ( x， y)|y x2 1 是同一个集合；3611，2，4，2 ，0.5这些数组成的集合有5 个元素；集合 (x， y)|xy 0， x， y R是指第二和第四象限内的点集A0个B1 个C2个D3 个解析：选A由题意得，不满足集合的确定性，故错误；两个集合，一个是数集，一个是点集，故错误；中 12 0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；不仅仅表示的是第二、四象限的点，还可表示原点，故错误综上，没

7、有正确命题，故选A.已知 ， ，若 a，4， b a b,0， a2，则2 b2的值为()2a 0 b RaaA 2B 4第4页共27页C 6D 8解析： 选B由已知得a 0，则 b 0，所以 ab0，于是a2 4，即a 2 或a 2，因为 a 0，所以 a 2，故 a2 b222 02 4.3若集合 A x R|ax2 3x 2 0中只有一个元素，则a 等于 ()99A. 2B. 8C 0D0 或98解析：选D若集合 A 中只有一个元素，则方程ax2 3x 2 0只有一个实根或有两个相等实根当a 0 时， x 2，符合题意3当 a 0 时，由 ( 3)2 8a 0，得 a9，8所以 a 的值

8、为 09或 .84 (易错题 )(2019 江西重点中学协作体联考)设集合 A 1,2,3 ， B 2,3,4， M x|x ab， a A， b B，则 M 中的元素个数为 _解析： 结合题意列表计算 M 中所有可能的值如下：b34a21234246836912观察可得： M 2,3,4,6,8,9,12 ，据此可知M 中的元素个数为7.答案：7 谨记通法 与集合中的元素有关问题的求解策略(1) 确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集(2) 看这些元素满足什么限制条件(3) 根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性考点二集合间的基本关系重点保

9、分型考点 师生共研 典例引领 1已知集合M 1,2,3,4 ，则集合P x|x M 且 2x?M 的子集有A8个B4 个()第5页共27页C3个D2 个解析：选B由题意，得 P 3,4 ，所以集合 P 的子集有22 4 个2已知集合 A x|x2 x 20， B x|ax 1，若 B?A，则 a ()A 1或 1B2 或 12C2或1或0D1或 1或 02解析：选D集合 A x|x2 x 2 0 2,1当 x 2 时， 2a 1，解得 a1；当 x 1 时， a 1；又因为 B 是空集时也符合题意，这时a 0，故选 D.2 由题悟法 集合间基本关系的两种判定方法和一个关键 即时应用1集合a，

10、b， c， d， e的真子集的个数为()A 32B 31C 30D 29解析： 选B因为集合有5 个元素，所以其子集的个数为25 32 个，其真子集的个数为 25 1 31 个2已知集合A x| 1 x 3， B x| m x m ，若B? A，则m 的取值范围为_解析： 当 m 0 时， B ?，显然 B? A.当 m 0 时， A x| 1 x 3当 B? A 时，在数轴上标出两集合，如图， m 1， m 3， 0 m 1. m m.综上所述m 的取值范围为( ，1答案： (， 1考点三集合的基本运算题点多变型考点 多角探明第6页共27页 锁定考向 集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域

11、、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力常见的命题角度有：(1) 集合的运算；(2) 利用集合运算求参数；(3) 新定义集合问题 题点全练 角度一：集合的运算1 (2018 北京高考 )已知集合A x|x| 2， B 2,0,1,2，则A 0,1B 1,0,1C 2,0,1,2D 1,0,1,2A B()解析： 选 A A x|x| 2 x| 2 x 2，B 2,0,1,2， A B 0,1故选 A.2 (2018 国卷全 )已知集合A x|x2 x 2 0，则 ?RA ()A x| 1 x 2B x| 1 x 2C

12、 x|x 1 x|x 2D x|x 1 x|x 2解析： 选 B x2 x 2 0， (x 2)(x 1) 0， x 2 或 x 1，即 A x|x 2 或 x 1则 ?RA x| 1 x 2故选 B.角度二：利用集合运算求参数3 (2019 江联盟校联考浙)已知集合P x| 1x 1， Q x|0 x a，若 PQ x| 1 x 2，则实数 a 的值为 ()A 1B 213C 2D2解析： 选 B 因为 P x| 1 x 1， Q x|0 xa，所以当 a 1 时， P Qx| 1 x 1，不符合题意；当 a 1 时， P Q x| 1 xa，结合 PQ x| 1 x 2，可得 a 2.角度

13、三：新定义集合问题4如果集合 A，B，同时满足 A B 1,2,3,4， A B 1， A 1 ，B 1，就称有序集对 (A，B)为“好集对”这里有序集对 (A，B)是指当 A B 时， (A，B)和 (B，A)是不同第7页共27页的集对，那么“好集对”一共有 ()个()A5个B6 个C7个D8 个解析： 选 B 因为 A B 1,2,3,4 ，AB 1，A1 ，B 1 ，所以当 A 1,2时，B 1,3,4 ；当 A 1,3时， B 1,2,4 ；当 A 1,4时， B 1,2,3 ；当 A 1,2,3 时， B1,4 ；当 A 1,2,4 时， B 1,3 ；当 A 1,3,4 时， B

14、1,2 所以满足条件的 “好集对 ”一共有 6 个，故选 B. 通法在握 解集合运算问题 4 个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决应用数形常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图创新性问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决 演练冲关 1 (2019 浙江十校联盟适考)已知集合A x|1 x 4 ， B x Z|x2 6x 0 ，则 (?RA) B ()A 1,4B 4,5C 1,4,5D

15、2,3解析：选C2法一： 由 x 6x 0 可得 0 x 6，所以 B 1,2,3,4,5 ，又 ? A x|x 1R或 x 4，所以 (?RA)B 1,4,5 法二： 因为求的是 (?RA) B，故排除D ，又 1,5 ?RA,1， 5 B，故选 C.2 (2019 沙模拟长 )已知集合A 1,2,3 ， B x|x23x a 0， a A，若 A B ?，则 a 的值为()A 1C 3B 2D1 或2解析：选B当 a 1 时，x2 3x 1 0，无整数解， 则A B ?；当a 2 时，B 1,2，A B 1,2 ?；当 a 3 时， B ?， A B? .因此实数a 2.3 (2019州高

16、三四校联考杭)设集合A x|(x3)( x a) 0， a R， B x|(x 1)(x4) 0，则AB 的子集个数最多为()A 2B 4第8页共27页C 8D 16解析：选 D由题意可知， 要使A B 的子集个数最多，则需 A B 中的元素个数最多，此时 a 1， a 3，且 a 4，即集合 A 3， a， B 1,4， A B 1,3,4 ， a，故 A B 的子集最多有 24 16 个4如图所示的Venn 图中，A， B 是非空集合，定义集合AB 为阴影部分表示的集合若x， y R， A x|y2x x2， B y|y 3x，x 0，则AB 为 ()A x|0 x 2B x|1 x 2C

17、 x|0 x1 或x 2D x|0 x 1 或x2解析：选 D 因为 A x|0 x 2，B y|y 1，A B x|x 0，AB x|1 x 2，所以 A B ?AB(A B) x|0 x 1 或 x 2，故选 D.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1 (2019江考前热身联考浙)已知集合M x|y2x x2， N x| 1 x 1，则MN()A 0,1)B ( 1,2)C ( 1,2解析：选 C法一：易知D (， 0 (1， )M x|0 x 2，又 N x| 1 x 1，所以MN( 1,2故选C.法二： 取 x 2，则 2 M ，所以 2 M N，排除 A、 B；取 x 3，则 3?M, 3

18、?N，所以3?M N，排除 D，故选 C.浙江三地联考)已知集合x ， ，则P 2 (2019Px| | 2Qx| 1x3Q ()A 1,2)B ( 2,2)C ( 2,3D 1,3解析：选A由 |x| 2，可得 2 x 2，所以 P x| 2 x 2，所以 P Q 1,2)3 (2018嘉兴期末测试 )已知集合 P x|x 1， Q x|x 0，则 ()AP? QBQ? PC P? RQD ?RP? Q解析：选D由已知可得 ? P 1， )，所以 ? P? Q.故选 D.RR4 (2018浙江吴越联盟第二次联考)已知集合 M 0,1,2,3,4 ， N 2,4,6 ， P M N，则 P 的

19、子集有 _个解析： 集合 M 0,1,2,3,4 ，N 2,4,6 ，P M N 2,4，则 P 的子集有 ?，2 ，4，2,4 ，共 4 个 .第9页共27页答案： 45已知集合A x|x 3，B x|x m，且 AB A，则实数 m 的取值范围是_解析：因为集合A x|x 3，B x|x m，且 AB A，所以 B? A，如图所示， 所以 m 3.答案： 3， )二保高考，全练题型做到高考达标1(2019 杭州七校联考)已知集合A x|x2 1 ，B x|(x2 1)(x2 4) 0，则集合 A B中的元素个数为()A 1C 3B 2D 4解析： 选BA x|x 1 或x 1， B 2，

20、1,1,2 ， A B 2,2，故选B.2 (2019江六校联考浙)已知集合U x|y3x， A x|y log9x， B y|y2x 则A (?U B) ()A ?B RC x|x 0D 0解析： 选C由题意得，U R， A x|x 0，因为y 2x 0，所以B y|y 0，所以?U B x|x 0，故 A (?UB) x|x 0故选 C.3 (2019 永康模拟 )设集合 M x|x2 2x30， N x| 3 x 3，则 ()AM? NBN? MC MNRDMN?解析：选C由 x2 2x 3 0，解得 x 3 或 x 1，所以 M x|x 1 或 x 3 ，所以 MNR.4(2019 宁

21、波六校联考)已知集合2A x|x 3x0，B 1，a，且 A B 有 4 个子集，则实数 a 的取值范围是 ()A (0,3)B(0,1) (1,3)C (0,1)D (， 1) (3， )解析：选BA B 有 4 个子集， A B 中有 2 个不同的元素， a A， a2 3a 0，解得 0a 3 且 a1，即实数 a 的取值范围是 (0,1) (1,3)，故选 B.2 x镇海中学期中若集合 x ， N x|x 1，则 M N ()(2018)Mlg x5yA (0,1)B(0,2)C (， 2)D (0， )第10页共27页解析：选C 集合M x2 x x|0 x 2， N x|x 1 M

22、 N x|x 2y lgx ( ， 2)故选 C.6设集合 A x|x2 x 2 0，B x|x 1，且 x Z，则 A B _.解析： 依题意得 Ax|(x 1)(x 2) 0 x| 1 x 2，因此 A B x| 1 x1， x Z 1,0答案： 1,07(2018 兴二模嘉 )已知集合 A x| 1 x 2，B x|x2 4x 0，则 A B _，A (?RB) _.解析：因为 B x|x2 4x 0 x|0 x 4，所以 A B x| 1 x 4；因为 ?RB x|x 0 或 x 4 ，所以 A (?RB) x| 1 x 0答案： x| 1 x 4 x| 1 x 08设集合A (x，

23、y)|y|x 2|， x 0， B (x， y)|y x b， A B? .(1) b 的取值范围是_；(2)若 (x， y) A B，且 x 2y 的最大值为9，则 b 的值是 _解析： 由图可知，当y x 往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以 b 2；要使 z x 2y 取得最大值，则过点(0，b)，有 0 2b 9? b9.2答案 ： (1)2， ) (2) 929已知集合 A x|4 2x 16， B a， b ，若 A? B，则实数a b 的取值范围是_解析： 集合 A x|4 2x 16 x|22 2x 24 x|2 x 4 2,4 ，因为 A? B，所以 a 2， b 4，所以

24、 a b 2 4 2，即实数 a b 的取值范围是 ( ， 2 答案： (， 21 x10已知集合A x|(x 2m)(x m 4) 0，其中 m R，集合 B x x 2 0 .(1) 若 B? A，求实数 m 的取值范围；(2) 若 A B ?，求实数 m 的取值范围解： (1)集合 B x1x 0 x| 2 x 1x2当 A ?时， m 43，不符合题意4当 A ?时， m 3.第11页共27页当 2m m 4，即 m 4时， A x| 2m x m 4，3又因为 B? A，4，4，m 3m3所以 2m 2，即所以 m 5.m1，m 4 1，m 5，当 2m m 4，即 m 4时， A

25、x|m 4 x 2m，3又因为 B? A，4m4，3m 3 1所以 2m 1，即1，所以mm2.m 4 2，2m 2，综上所述，实数m 的取值范围为， 1 5， )2(2) 由 (1)知， B x| 2 x 1当 A ?时， m 43，符合题意4当 A ?时， m 3.当 2m m 4，即 m 43时， A x| 2m x m 4，又因为 A B ?，所以 2m 1 或者 m 4 2，即 m 12或者 m 2，所以 43m 2.当 2m m 4，即 m 4时， A x|m 4 x 2m，3又因为 A B ?，所以 m 4 1 或者 2m 2，4即 m 5 或者 m 1，所以 1 m 3.综上所

26、述，实数m 的取值范围为1,2 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1对于复数a， b， c， d，若集合S a， b，c， d具有性质“对任意x， y S，必有a 1，2 1，时，等于() ”，则当 bb c dxy Sc2 bA 1B 1第12页共27页C 0D i解析： 选 B S a， b，c， d，由集合中元素的互异性可知当a 1 时， b 1，c2 1， c i，由 “ 对任意 x，y S，必有 xy S” 知 i S， c i，d i 或 c i，d i， b c d ( 1) 0 1.2对于集合M ， N，定义M N x|x M ，且 x?N ， M N (M N) (N M )，设

27、A x x 9， x R ，B x|x 0， xR，则 AB ()4A. 9，0B. 9，044C. ，9 0， )D. ， 9 (0， )44解析： 选C依题意得ABx|x， R， x x9， x R，故AB0xB A4， 9 0， )故选 C.43已知函数f (x)x 31的定义域为集合A，且 B x Z|2 x 10， C x7 xR|x a 或 x a1 (1) 求： A 和 (?RA)B；(2) 若 A C R，求实数 a 的取值范围解： (1)要使函数 f(x) x 31，7 x应满足 x 3 0，且 7 x 0，解得 3 x 7，则 A x|3 x 7，得到 ?RA x|x 3

28、或 x 7，而 B x Z|2 x 10 3,4,5,6,7,8,9 ，所以 (?RA) B 7,8,9 (2) C x R|x a 或 x a 1，要使 A C R，则有 a 3，且 a 1 7，解得 3 a 6.故实数 a 的取值范围为3,6) 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1 命题第13页共27页概念特点使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句(1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、 假命题2 四种命题及其相互关系(1) 四种命题间的相互关系：(2) 四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2

29、,4. 3 充要条件若 p? q，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件p 成立的对象的集合为A，q 成立的对象的集合为 Bp 是 q 的充分不必要条件p? q且? /A是B的真子集q p集 合 与p是q的必要不充分条件? /q且q? pB是A的真子集p充 要 条p 是 q 的充要条件p? qA B件是的既不充分也不必要条件? /且? /，互不包含pqqpABpq 小题体验 1下列命题是真命题的是A若 log2a 0，则函数()f(x) logax(a 0， a 1)在其定义域上是减函数B命题“若xy 0，则 x 0”的否命题C“ m 3”是“直线 ( m 3)x my 2 0

30、与 mx 6y 5 0 垂直”的充要条件D命题“若cos xcos y，则 x y”的逆否命题答案： B2 (2019 温州高考适应性测试)已知 ， R，则“ ”是“ cos cos ”的 ()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 解析：选D ? / cos cos ，如 3，6，3 6，而 cos3 cos6 ；cos cos ? / ，如 ， ， cos cos ，而63636 3.故选 D.第14页共27页3设 a， b 是向量，则命题“若a b，则 |a| | b|”的逆否命题为：_.答案： 若 |a| |b|，则 a b1易混淆否命题与命题的否定：否命题是

31、既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论易忽视A是B的充分不必要条件(A? B且B? /A)与A的充分不必要条件是B(B? A2且 A? /B)两者的不同 小题纠偏 1 (2019 州模拟杭 )“ x 0”是“ ln(x 1) 0”的 ()A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案： B2“在 ABC 中，若 C 90，则 A， B 都是锐角”的否命题为：_.解析： 原命题的条件：在 ABC 中， C 90，结论： A， B 都是锐角否命题是否定条件和结论即 “ 在 ABC 中，若 C 90，则 A， B 不都是锐角 ”答案： 在 ABC 中，若 C 9

32、0，则 A， B 不都是锐角考点一四种命题及其相互关系基础送分型考点 自主练透 题组练透 1命题“若 a2 b2，则 a b”的否命题是 ()A若 a2 b2，则 a bB若 a2 b2，则 a bC若 a b，则 a2 b2D若 a b，则 a2 b2解析： 选 B 根据命题的四种形式可知，命题“ 若 p，则 q” 的否命题是 “ 若綈 p，则綈 q” 该题中， p 为 a2 b2，q 为 a b，故綈 p 为 a2 b2，綈 q 为 a b.所以原命题的否命题为：若 a2 b2，则 a b.22命题“若x 3x 40，则 x 4”的逆否命题及其真假性为()B“若 x 4，则 x2 3x 4

33、 0”为真命题C“若 x 4，则 x2 3x 40”为假命题第15页共27页D“若 x 4，则 x2 3x 40”为假命题解析： 选 C根据逆否命题的定义可以排除A， D，因为 x2 3x4 0，所以 x 4 或 1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题3给出以下四个命题：“若 x y 0，则 x， y 互为相反数”的逆命题； (易错题 )“全等三角形的面积相等”的否命题；“若 q 1，则 x2 x q 0 有实根”的逆否命题；若 ab 是正整数，则 a， b 都是正整数其中真命题是 _ (写出所有真命题的序号 )解析： 命题 “ 若 x y 0，则 x， y 互为相反数 ”的逆命题为 “ 若

34、 x， y 互为相反数，则 x y 0” ，显然为真命题；不全等的三角形的面积也可能相等，故为假命题；原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故为真命题；若 ab 是正整数，但 a， b 不一定都是正整数，例如 a 1， b 3，故为假命题答案： 谨记通法 1 写一个命题的其他三种命题时的2 个注意点(1) 对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；(2) 若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提2 命题真假的2 种判断方法(1) 联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断(2) 利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断考点二充分必要条件的判定重点保分型考点 师生共研

35、典例引领1 (2019州高三四校联考杭)“ a 1”是“ x2 1ax4 0(xR)”的 ()A必要不充分条件C充要条件B充分不必要条件D既不充分也不必要条件解析： 选 A 若 x2 ax 14 0(x R)，则 a2 1 0，即 1 a 1，所以 “ a 1” 是 “ x2 ax 1 0(x R)”的必要不充分条件故选 A.42(2019 杭州高三质检 )设数列 an的通项公式为an kn 2(n N* )，则“ k 2”是“数列 an为单调递增数列”的 ()A充分不必要条件B必要不充分条件第16页共27页C充要条件D既不充分也不必要条件解析： 选 A法一： 因为 an kn 2(n N* )，所以当k 2 时， an 1 an k 2，则数列an为单调递增数列若数列an为单调递增数列，则an 1 an k 0 即可，所以 “k 2”是“ 数列 an为单调