高考数学必备—高考数学100个热点问题—第98炼 含新信息问题的求解

1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 第 98 炼 含新信息问题的求解 一、基础知识： 所谓“新信息背景问题” ，是指题目中会介绍一个“课本外的知识” ，并说明它的规则， 然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问 题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本 文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧 1、读取“新信息”的步骤 （1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围 （2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系 （3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足

2、交换律 （4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。 2、理解“新信息”的技巧与方法 （1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信 息的理解 （2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信 息理解的较为透彻。 （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律 （4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处， 以及在什么情况下可以使用原概念。 二、典型例题 例 1：设是两个集合，定义集合，如果，,P Q|PQx xPxQ且 2 |log1Pxx ，则等于（

3、）|21Qx xPQ A. B. C. D. |01xx|01xx|12xx|23xx 思路：依可知该集合为在中且不属于中的元素组成，或|PQx xPxQ且PQ 者可以理解为集合去掉的元素后剩下的集合。先解出中的不等式。 PPQ,P Q:P ，所以，从而可得： 2 log102xx :2113Qxx 1,2PQ 0,1PQ 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 答案：B 例 2：在内有定义。对于给定的正数，定义函数 yf x, K , , k f xf xK fx K f xK 取函数。若对任意的，恒有，则（ 2 x f xxe,x k fxf x ） A的最大值为

4、 2 B. 的最小值为 2 C的最大值为 1 D. 的KKKK 最小值为 1 思路：由所给分式函数可知，若，则取，如果，就取， k fx f xK f x f xKK 由这个规则可知，若恒成立，意味着，均有恒成 k fxf x,x f xK 立，从而将问题转化为恒成立问题，即，下面求的最大值： maxKf x f x ，可知在单调递增，在单调递减，所以 1 x fxe f x,00, ，从而，即的最小值为 1 max 01f xf1K K 答案：D 例 3：设集合，在上定义运算为：，其中为被 0123 ,SA A A AS ijk AAAkij 4 除的余数，则满足关系式的的个数为（ ）,0,

5、1,2,3i j 20 xxAAx xS A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 思路：本题的关键在于读懂规则， “”运算的结果其实与角标和除以 4 的余数相关，如果 理解文字叙述较为抽象不如举几个例子，例如：，按照要求，除以 4 的余数 13 AA13 为 0，所以。掌握规律后再看所求关系式：要求得，则需要先解出， 130 AAAxxx 将其视为一个整体，可知，即除以 4 的余数为 0，可推断， m A 20m AAA2m 2m 即，不妨设，即除以 4 的余数为 2，则的值为，所以 2 xxA n xAnnn1,3 或者，共有两个解 1 xA 3 xA 答案：C 例 4：定义两个平面向量的一

6、种运算，其中为的夹角，对于这, a b sinaba b , a b 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 种运算，给出以下结论： ； abba abab ； 若，则 abcacbc 1122 ,ax ybxy 1221 abx yx y 你认为恒成立的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 思路：本题的新运算，即的模长乘以夹角。所以对于结论，sinaba b , a b ；对于，而sinsinbab aa bab sinaba b ，显然当时等式不成立；对于， sinsinaba ba b 0 （其中表示的夹角） ，而sin,abcabc

7、ab c sin,ab c ,ab c ，显然等式不会恒成立（也可举特殊情况 sin,sin,acbca ca cb cb c 如，左边为 0，而右边大于等于 0） ；对于，可代入坐标进行运算，为了计算简便考ab 虑将左边平方，从而 ，可与 找到联系： 22 sin1cos a b 22222222 222222 1122 sin1cosababababa bxyxy ，即。综上所述，正确 22 12121221 x xy yx yx y 1221 abx yx y 答案：B 例 5：如果函数对任意两个不等实数，均有 f x 12 ,x xa b ，在称函数为区间上的“G”函数， 112212

8、21 x f xx f xx f xx f x f x, a b 给出下列命题： 函数是上的“G”函数 2sinf xxxR 函数是上的“G”函数 2 4 ,0 1,0 xx x f x xx R 函数是上的“G”函数 2 ,1 21,1 x x f x xx 3,6 若函数是上的“G”函数，则 2 x f xeaxR0a 其中正确命题的个数是（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - A. B. C. D. 1234 思路：本题看似所给不等式复杂，但稍作变形可得： ，所以即 112221 0 xf xf xxf xf x 1212 0 xxf xf x 与同号，

9、反映出是上的增函数，从而从单调性的角 12 xx 12 f xf x f x, a b 度判断四个命题：恒成立，所以是上的增函数 2cos0fxx f xR ：可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增，通过作图可知 正确，不正确 ：若是“G 函数” ，则是上的增函数，所以即恒 f x f xR 0 x fxea x ae 成立，因为，所以可得：，正确0, x e 0a 综上所述：正确，共有三个命题 答案：C 例 6：对于各数互不相等的正数数组，其中，如果在时，有 12 , , n i ii2,nnN pq ，则称“与”是该数组的一个“顺序” ，一个数组中所有“顺序”的个数称为

10、此数 pq ii p i q i 组的“顺序数” ，例如：数组中有顺序“” ， “” ，其“顺序数”等于 2，若2,4,3,12,42,3 各数互不相等的正数数组的“顺序数”是 4，则的“顺序 12345 ,a a a a a 54321 ,a a a a a 数”是（ ） A. B. C. D. 7654 思路：本题中对于“顺序”的定义为，即序数小的项也小。要得到“顺序数” pq pqii 则需要对数组中的数两两进行比较，再进行统计。在所求数组中可发现刚 54321 ,a a a a a 好是进行倒序的排列，所以原先数组的“顺序”在新数组中不成立，而原 12345 ,a a a a a 先数

11、组不成“顺序”的（即）反而成为所求数组的“顺序” 。在五元数组中 pq pqaa 任意两个数比较大小，共有组，在中“顺序”有 4 个，则非“顺 2 5 10C 12345 ,a a a a a 序”有 6 个，所以到了中，顺序数即为 6 54321 ,a a a a a 答案：B 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 小炼有话说：本题也可以通过特殊的例子得到答案：例如由的“顺序数” 12345 ,a a a a a 是 4，假设，其余各项，则在 12131415 ,aa aa aa aa 2345 aaaa 中即可数出顺序数为 6 54321 ,a a a a a

12、例 7：对任意实数定义运算如下：，则函数, a b () () a ab a b b ab 的值域为（ ） 21 2 ( )log32logf xxx A. B. C. D. 0,0 2 2 log,0 3 2 2 log, 3 思路：本题可将描述成取中较小的数，即，所以对于 () () a ab a b b ab , a bmin, a b ，即为中较小的数。解不等式 21 2 ( )log32logf xxx 0 f x 2010 2 log32 ,logxx ，则，所 21 2 320 log32log01 1 32 x xxxx x x 21 2 2 log32log1 3 xxx 以

13、，从而可解得值域为 2 1 2 log32 ,1 ( ) 2 log,1 3 xx f x xx ,0 答案：B 小炼有话说：本题也可以利用数形结合的方式， 的图像为将 21 2 ( )log32logf xxx 的图像画在同一坐标系下，取位于下方的部分，从而作出 21 2 log32 ,logyxyx 的图像，其中的交点通过计算可得，所以结合图像 f x 21 2 log32 ,logyxyx1x 即可得到的值域为，即 f x ,1f ,0 例 8：已知平面上的线段 及点，任取 上一点，线段长度的最小值称为到 的距lPlQPQPl 离，记作,d P l （1）求点到线段的距离 1,1P:30

14、 35l xyx,d P l 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - （2）设 是长为 2 的线段，求点的集合所表示的图形面积l|,1DP d P l 思路：首先要明确新定义的“距离” ，即线段上的点到该点的最小值。此时可做几个具体的 图形来理解定义。可发现过作线段 的垂线，若垂足在线段上，则垂线段最短，与传统的Pl 定义相同；若垂足在线段的延长线上，则需找线段上距离点最近的，即线段的某个端点。P 在第（1）问中，作出图像可得在线段 上的垂足位于线段延长线上，所以只需比较到PlP 两个端点的距离即可；在第（2）问中，先作出的图形，表示的图形是长为 2，宽,1d P l

15、 为 2 的正方形和两个半径是 1 的半圆的组合图形，则为该图形的内部，再求出面积即可D 解：（1）设线段 的端点，代入直线方程可得：l 12 3,5,AyBy 12 0,2yy3,0 ,5,2AB 2222 31015,512117APBP ,5d P lPA （2）若，则点的轨迹为长 ，宽的正方形和两个半径 的半,1d P l P2a 2b 1r 圆的组合图形 2 1 24 2 Sra b 例 9：设表示不超过的最大整数（如） ，对于给定的，定义 xx 3 22,1 2 nN ，则当时，函数的值域为 11 ,1, 11 x n n nnx Cx x xxx 5 ,3 4 x 8 x f x

16、C （ ） A. B. C. D. 32 4, 5 3228 4,28 53 3228 4,28 53 28 ,28 3 思路：由定义的式子可知分子分母含多少项，与的取值有 11 11 x n n nnx C x xxx x 关，即分子分母分别为个项的乘积，所以根据的定义将分为和 x x 5 ,3 4 x 5 ,2 4 两段进行考虑。当时，所以，所以在的值域2,3 5 ,2 4 x 1x 8 8 x C x f x 5 ,2 4 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 为；当时，所以，从 32 4, 5 2,3x 2x 82 2 8 75656 1 11 24 x C

17、 x xxx x 而在 单调递减， ，综上所述可得： f x2,3 28 ,28 3 f x 3228 4,28 53 f x 答案：B 例 10：在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序” ，类似的，我R 们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，|,Da ax yxR yR 记为“” 。定义如下：对于任意两个向量，当且仅当“ 111222 ,ax yaxy 12 aa ”或“且” ，按上述定义的关系“” ，给出下列四个命题： 12 xx 12 xx 12 yy 若，则 12 1,0 ,0,1 ,00,0ee 12 0ee 若，则 12 aa 23 aa 13 aa

18、若，则对于任意的， 12 aa aD 12 aaaa 对于任意的向量，其中，若，则0a 00,0 12 aa 12 a aa a 其中命题正确的序号为_ 思路：从题意中可发现比较向量的“序”主要比较的是坐标，其中优先比较横坐标，若横坐 标相等则再比较纵坐标，结合这个规律便可分析各个命题：（为方便说明，任一向量的横a 坐标记为，纵坐标记为 x a y a ：显然，所以，所以，综上可 12 x ex e 12 ee 22 0 ,0 x exy ey 2 0e 得： 12 0ee ：由可知：或“且” ，同理：由 12 aa 12 x ax a 12 x ax a 12 y ay a 可得：或“且” ，所以由不等式和等 23 aa 23 x ax a 23 x ax a 23 y ay a 式的传递性可得“或“且”成立，所以 13 x ax a 13 x ax a 13 y ay a 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 13 aa ：设，由由可知：或“且,am n 12 aa 12 x ax a 12 x ax a ” ，所以或“且 12 y ay a 12 x amx am 12 x amx am ”成立，所以 12 y any an 12 aaaa ：设，由可知：或“且” ，考虑,am n 0a 0m 0