立体几何专题2015(答案1)

1、立体几何专题 2015 （答案一）三、热身练习：1.如图，长方体 ABCD -AiEGDj 中，AB=16, BC=10, AA, =8，点 E ,F分别在AiBi，CiDi上，AE = DiF =4 .过点E , F的平面a与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（n）求直线 AF与平面a所成角的正弦值.1/ H BP1 F f,【答案】（I）详见解析；（n） 也15【解析】（I ）交线围成的正方如图:（II）作垂足为= V = A-i=S,因沃EHGP为正方恥所以二EF二SCU 于是田二JeH；-DP =6,所以期=10.以D为坐标原点，圧i

2、的方向为工轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-g raxio.o.ob 17（10.10.0）, cicu公ncos 廿婕.所成直F（0一丄FE=（gW，HE=0&设订=（工ir）是平面EHGF的法向壘，_ 飞卩 返=0.丫=6所以可取 = (0.4.3).又 jr = (-10.4.E5,故-6t + E2 = 0.纸茫与平航所如正弦值为害【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角.2.如图，在直三棱柱 ABC - ABjG中，已知AC丄BC , BC = CG，设AB,的中点为 D , BiCBGE.求证：（1）DE/平面AAGC ；(2) BG 丄 ABi.【答

3、案】（1）详见解析（2 ）详见解析【解析】 试题分析（1）由三棱锥性质知侧面 BB1C1C为平行四边形，因此点E为B1C的中点，从而由 三角形中位线性质得 AC.再由线面平行判定定理得DE 平面凡mqc（2）因为直三棱柱中EC二CUp所以侧面段GC为正方形，因此3CS 又AC-C, ACCC （可由直三檢庄推导）.a此由縁垂E剧定定理得M亠平E耍GC.从SM丄兀，再由嶷面垂直判定宦理得丈一平,试题解析，（11由题意知，E丸E&的中点,又D次）AR的中点因DtDE AC.又H为DE工平S -A_；CiC, ACr平而丄丄心。,所以DE平BACiC,（2）因为是H三IS枉,所以 CC1_ 平 E-

4、ABC.H为 ACc 平 _MBC, BfUAAC_Cq.又因为 AC 丄 BC, CCjU 平面 ECC1B1 , B平面 ECC1B1 , BC CCC , 所以AC丄平面ECCiBi .又因为BG u平面BCC1，所以BC1丄AC .因为EC =CC1,所以矩形BCC1E1是正方形，因此BC1丄EQ .因为A C, B1CU平面E 1；VC, ACI EQC，所以EQ丄平面E C .又因为A平面AC ,所以BC1丄AB 4 .【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理四、经典题型：例题：（本题满分12分）如图，四边形ABCD中（图1） , E是BC的中点，DB=2 , DC=1,BC

5、=阴，AB=AD=施 将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD -C为60。（如图2）（1）求证：AE丄平面BDC ;（2）求直线AE与平面ADC所成角的正弦值.证明：如图4，取BD中点M连接am me.因为 AB=AD#2，所以 AML BD因为 DB=2 DC=1, BC=75，满足：dB+dC=bC,所以 BCD是以BC为斜边的直角三角形，BD丄DC因为E是BC的中点，所以 ME% BCD的中位线，二ME/-CD ,.MEL BD2ME=2（2 分）/. / ame是二面角 A-BD-C 的平面角，二Z ame =60:AM丄BD , ME丄BD且AM ME是平面AME内两条相交于点M

6、的直线，二BD丄平面AEM , 7 AEU平面AEM二 BD 丄AE.（4 分）TAB =ADM , DB =2 ,/. abd为等腰直角三角形,/. am =1bd =1,2C在 ame中，由余弦定理得:2 2 2AE =AM +ME -2AMME73 cosNAME，二 AE22 2 2/. AE +ME =1=AM ，二 AE 丄ME ,（6 分）TBD n ME =M，BD u 平面 BDC，ME 匚平面 BDC 二 AE 丄平面BDC .（n）如图5,以M为原点，MB所在直线为x轴，ME所在直线为y轴，平行于EA的直线为z轴，建立空间直角坐标系,7 分）f则由（I）及已知条件可知 B

7、（1 , 0, 0） , E 0,2,0丿，AI0,2Qd（_1 ,0,0）,C（1, 1 , 0）.则ad丄，丄I 2乎 j CD=（0,1 , 0）,（8 分）十-y-Iy =0 ,U,2设平面ACD的法向量为n = （x, y, z），则rjAD =0，In CD =0令 x=73 ,则 z=-2，二 n=(V3, 0 , -2) , ( 10 分)记AE与平面ACD所成的角为日，忒0， ，73则 sin 6=gEAI 佔2 +0+(,)2 7(12 分)练习：1. 2015高考天津，理17】(本小题满分13分)如图，在四棱柱 ABCD - ABQjDj中，侧棱AA丄底面ABCD , A

8、B丄AC, AB =1 ,AC = AA1 =2,AD =CD = J5 ,且点M和N分别为BQ和DQ的中点.(I)求证：MN /平面 ABCD ；(II)求二面角D1 - AC - B1的正弦值;(III)设E为棱A5上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为-，求线段3I&一- r理-if,=*【答案】(I)见解析；(II)玄10; (III)J7-2.10【解析】如图，以 A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0), B(0,1,0), C(2,0,0), D(1,2,0)，又因为 M,N 分别为BiC和D1D的中点，得M M,-,1n(12,1).I 2丿(I)证明：

9、依题意，可得T n =(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量, 4由此可得，MN n =0，又因为直线 MN学平面ABCD，所以MN /平面 ABCD(II) AD1 =(1,2,2), AC =(2,0,0)，设 m =(x, y,z)为平面 ACD1 的法向量，则了1亘=0，即卩-2y+2z=0，不妨设 z=1，可讥=(0,1,1),n1 -AC = 012x = 0LT .、TIn 2AB1=O f设n2 = (x, y, z)为平面ACB1的一个法向量，则 冲)，又aB,= (0,1,2)，得门2 AC = 0V2z=0，不妨设 z=1，可得门2=(0,2,1)2x =01%-亜于是

10、纹何可=理1n 丿 10所以二面角gr的正弦值珞匚1依意，可设巫丽*其中/口0：小则(0.A,2),从而XT=(-U71),又二心砌为平B ASCD的一个法质囂由已知得I三:g理得；？十-3 = 0,4-1)：+0一 + 丁-1： 3所以绽张箱ffl长为石-2.直线与平面所成的角，空间向【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、量的应用.2.【2015高考陕西，理18】(本小题满分12分)如图1 ,在直角梯形AE CD中，AD/E C ,3T/EAD =二，AB -BC =1, AD =2 , E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将心ABE2沿BE折起到心阳BE的位置，如图2 .

11、(I )证明：CD丄平面加OC ；(II )若平面A1EE丄平面ECDE，求平面AjBC与平面血QD夹角的余弦值.I答案】(I)证明见解析；(II)逅3DD（II）由已知，平面 ABE丄平面ECDE，又由（I ）知，EE丄0 , EE丄OC所以NAOC为二面角A-BE-C的平面角，所以 NAOC=-.2如图，以o为原点，建立空间直角坐标系,因为 A1B=A1E=BC=ED=1 , BC/ED12ZqP22所以 B(-0,0), E(-0,0),A1(0,0,yC(0,-,0),（眾（-璧竺,0）,卞（0,乞纟-Cd =語=（-屁,0）.设平面ABC的法向量n, = （x,yi，z,），平面AC

12、D的法向量 屯=区也卫），平面ABC与平面AiCD夹角为6,IBCl = oI X1 中1 = 0贝甘 1，得1，取 n1 = (1,1,1),nAC =0L y1 -乙=0I 门2 CD =0【X2 = 0H+2，得 2，取 n2 =(0,1,1)，r2 AC =0-Z2 =0从而 cos日斗cosSjri2|= 厂2 L = “6，173 冥 72376即平面ABC与平面A1CD夹角的余弦值为 3考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用3.【2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台 ABC A,B1C1D1上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A

13、A =6，且A丄底面ABCD，点P , Q分别在棱DD1，BC上.（1 ）若P是DD1的中点，证明： AB1丄PQ ；(2)若PQ /平面ABBjA，二面角P -QD -A的余弦值为3，求四面体ADPQ的体积.【答案】(1)详见解析；(2) 24.【解析】 试题分析：(1)建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标可知问题等价于证明BpQ=o3(2)根据条件，二面角P-QD-A的余弦值为-，利用空间向量可将四面体ADPQ视为7心ADQ为底面的三棱锥 P-ADQ，其高h = 4，从而求解试题解析： 由题设知，AA,，AB，AD两两垂直，以 A为坐标原点，AB，AD，AA,所在直建分别为丫轴* r轴，Z

14、轴,立如图1所示的空阖直角坐标爲则相关各点的坐标为40.0.0). 5 (10,6),D(0/u0), D：(036) ,3匕沉on 其中0冊6, ()是02的屮点，WAO.3)，.451=(3.0.6),干是 巴=吨,即屈i題设知，页=評弓：0，S=(0,-3,6)l平內的西皿其娃向重取丁 = 6 F #叫=(6 -期 3) 1，S平血AOD的一个法p重是斗=(OLOJf COS = ni n2 = 3； =，而二面角5 訂也丨 7(6 m)2 +62 +32J(6m)2+45333P QD A的余弦值为一，因此 =-，解得m = 4，或者m = 8 (舍去)，7V(6-m)2 +457e此

15、时 Q(6,4,0)，DP =A 1)4=(0,-3,6)，由此得点 P(0,6-3a,6a),PQ =(6,3A-2,6a) ,/ PQ平面ABBA，且平面ABBiA的一个法向量是n (0,1,0),二PQ rb =0，即3a2= 0,亦即A ，从而P(0,4,4)，于是，将四面体 ADPQ视3为以 MDQ为底面的三棱锥P - ADQ ,则其高h=4 ,故四面体ADPQ的体积11 1V= Sadq h = X X6X6X4 =24.33 24.【2015高考四川，理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所 示，在正方体中，设 BC的中点为M , GH的中点为N(1 )请将字母F,G, H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)(2)证明：直线MN/平面BDH(3 )求二面角 A-EG-M的余弦值.1G1i斗114Z【答案】(1)点F、SG H的位置如图所示.C2血(2)详见解析.(3)竺2【解析】(1)点F、G H的位置如图所示.-YFJi詁汇），设o为沁鱼屮盒SJ