竞赛数学张同君陈传理代数1多项式与方程分析解析

1、代数 多项式与方程 一元多项式 ? ? ? ? ? ? ? ? 012 1 110 0 110 1, ,0,1,2, ,., ,0, n n nni nni i i i inn n na a aax f xa xaxa xaa x xa x inf xi aiaaa af x Oaf xnn ? ? ? ? ? ? ? ? 定义 ：设 是非负整数是数是未定元 则表达式 称为关于 的多项式（一元多项式）称为的 次 项称为 次项的系数如果系数全为零 则称为零 多项式 记作如果则称为 次多项式称? ? ? ? ? , deg. . 1,1. n f x f xnaf x? 为的次数 记 作零多项式不

2、定义次数称为的首项系数首项系数 为 的多项式 简称首 多项式 注意 ?零次多项式与零多项式的区别。 一元多项式 ? ? ? ? ? ? ? ? :, , , . , . NZ Q R C Z x Q xR x C x ? 约定 在本节中 用大写字母分别表示 正整数集、整数集、有理数集、实数集、复数集 用分别表示整系数、有理系 数、实系数、复系数的一元多项式的集合 一元多项式 ? ? ? ? ? ? 00 2, , , 0,1,2, , nm ii ii ii ii f xa xg xb x nm abin f xg x ? ? ? ? ? 定义 ：若多项式与的次数相同 而且同次项的系数相等 即

3、且 则称与相等。 一元多项式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 00 0 12 0 3 , , ,0, . nm ij ij ij n k kk k mmn n m k ij kij k f xa x g xb x mn f xg xabx mnbbb f xg xa bx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 定义 ：两个多项式的和、差、积定义为： 设则 当时 取则 多项式的根 ? ? ? ? ? ? 1 110 1 110 9, 0, . nn nn nn nn f xa xaxa xa cf ca caca ca cf x ? ? ? ? ? ? 定义 ：

4、设多项式 若数 适合那么 称 是的根或者零点 例题 2 3233 1,axbxc a xb xc ? ? 例 ：二次三项式有实数根 三项式也有实数根吗？ ? ? ? 22 3 633 6333233 2 3333233 ,4.0, 44. 0,04, 40,. axbxcbacac baca c acba ca xb xc ba ca xb xc ? ? ? ? 因为有实数根 所以如果 那么 如果那么所以的 根的判别式故也有实数根 多项式的整除性 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2,0, , , 0degdeg. ,. f xg xg

5、 x q xr x f xg x q xr x r xr xg x q xg xf x r x ? ? ? 定理 ：（带余除法定理）设与是多项式 且 那么存在惟一的一对多项式与使 这里或者叫做以除所 得的商式叫做余式 多项式的整除性 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4,0, ,|, ,.0, ,| f xg x q xr xr x g xf xg xf xg xf x f xg xr xg x f xg x ? ? 定义 ：在式中 当时 称整除记为也称是的 因式 或是的倍式 若则称不整 除记为? ?.f x 多项式的整除性 ? ? ? ?

6、 4 0. f x xaf a? 定理 ：（因式定理）多项式有因式 的充要条件是 多项式的根 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 01 2 10, .1, ,0,1,2, , . nii f xg x nnx x xxf xg xin f xg x ? ? ? 定理：（多项式恒等定理）设是两个 次数不大于 的多项式如果有个不同的数 使则 多项式的根 ? ? ? ? ? ? ? ? 1: . 2, . f xg x f xg xx f x ? 推论 ：多项式与恒等的充分必要条件是 对 的无穷多个值成立 推论 ：若多项式有无穷多个不同的根 则是零 多项式 例题 ? ? ? ? ? 2, 12

7、. P x tP ttP tt? 例 ：试确定所有的实系数多项式 使得对所有实数 均 成立 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2,210,10,1.1, 010,0.,( 1),.1 12121, tPPP xt PPP xP xx x q xq xP tt tq t t ttq ttt tq t ? ? ? ? ? 取则即 是的一个根取则 即 也是的一个根由因式定理可写成 的形式 其中是实系数多项式将代入条件 中的等式得 故 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1,0,1,2. 3 ,3330, 443330,

8、0,3,4,5, ,102, 3,1,. ,1. q tq tt s xq xqsqq sqqqqs nn s xs xq x qcx xcR cR P xcx x ? ? ? ? ? 令则 可推得 即多项式有无穷多个根 由定理推论 知是零多项式 所以 是常值多项式 故所求多项式必为的形式 其中 另一方面 若满足条件中的等式因此所求的多 ? ? 1 ,.P xcx xcR? 项 式为 一元多项式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10,0, degmax deg,deg, 0; degdegdeg. f xg x f xg xf xg x f xg x f x

9、g xf xg x ? ? ? ? 定理 ：如果多项式那么 其中 例题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 222 3, . 0. f xg xh x fxxgxxhx f xg xh x ? ? 例 ：设为实系数多项式 且适合 求证： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 22 222 , , 0,. , , .0,0. g xh x xgx xhxfx fxxgxxhx g xh xf x ? ? ? 假设与中至少有一个非零多项式 由于所给多项式都是实系数多项式 从而 且是奇次的而或偶次多项式 或为零多项式 这表明两 边的多项式的次数不等

10、与多项式相等的条件矛 盾故从而可得 例题 ? ? ? ? ? ? ? 222 4, :, , . P x x y PxyP xP y? 例 ：设是具有非负系数的二次三项式 证明 对于任意实数不等式 恒成立 柯西不等式 2 22 111 nnn iiii iii aba b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 012012 2 2 2 012 2 22 001122 222222 22 012012 22 2222 012012 22 222 ,. , , . P taa ta taa a P

11、xyaa xyaxy aaa xa ya xa y aa xa xaa ya y aa xaxaa yay P xP y PxyP xP y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设二次三项式其中系数为非负数 则由柯西不等式 有 则原不.等式成立 多项式的根 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 110 0 150 , 1)|,|; 2),. nn nnn n f xa xaxa xaa n f x m m an a n f xxq xq xZ x m ? ? ? ? ? ? ? 定理：设是整系 数多项式 若有理数 （既约分数）是的一个根 那么 多项式的根 ? ?

12、11, . 2 . f x 推论 ：如果整系数多项式的首项系数为 那么的有理根只能是整数 推论 ：整系数多项式的整数根一定是常数 项的约数 例题 5, , ,:. abcacb a b c bcacba abc ? ? 例 ：整数使得与 均为整数 证明 ? ? ? ? 32 1. ,1., ,151, 1, abc f xxxx bca abcacb xxx bcacba a b c f x b c a a b c b c a ? ? ? ? ? ? ? ? 构造多项式 由题目条件知是整系数多项式 且首项系数为 因为 是它的三个有理根 由定理推论 知均为整数 又因为它 们的乘积为所以有 1.

13、. abc bca abc ? ? 多项式的分解 ? ? ? 1 110 9 , ,| nn nn f xa xaxa xaZ x pp ? ? ? 定理 ：（艾森斯坦判别法）设多项式 如果能找到一个素数使 ? 2 ,|0,1,2,1 , | ni ap ain p ? 但 ? ? 0 ,.af x那么在有理数域上不可约 例题 ? ? 5432 636396 . f xxxxxx?例 ：证明 在整数范围内不可约 ? ? ? ? ? ? 2 3,31,3 ,36, , . pf x f x f x ? ? 存在素数不整除首项系数整除的 其余各项的系数 但不整除常数项由艾森 斯坦判别法在有理数范围

14、内不可约 从而 在整数范围内不可约 韦达定理 ? ? ? 1 110 12 1 12 2 12131231 0 , , , nn nn n n n n n nnn n n n f xa xaxa xa x xx a xxx a a x xx xx xx xxx a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如果一元次多项式 的根是那么 ? ? 0 121 1. n nn n a x xxx a ? ? ? 例题 ? 22 7, 02110 ? bc xbxcxbxc? 例 ：是否存在这样的实数 和使得方程 与分别 有两个整数根 ? 2 121212 12 2 34 . ,0 ,. ,. ,211

15、0, , bc bcxbxc x xbxx cx x x xb c x xxbxc ? ? ? 满足题目条件的实数 和 不存在 假设实数 和 满足题设条件 并设方程的 两个整数根为则由韦达定理 有 由于为整数 因而不可能都是奇数 又设是方程的两个整数根 则由韦达定理 有 3434 34 11 ,. 22 ,. ,. bc xxx x x xb c b c ? ? ? 因为为整数 所以均为奇数上述两种情况矛盾 故满足题目条件的实数不存在 例题 ? ? 2 8110 , i xi xi iR ? ? ? ? ? 例 ：二次方程 为虚数单位有两个虚根的充分必要条 件是 的取值范围为 ? ? 0 22

16、 0000 2 00 , , 10, 10, x xxxxi xx ? ? ? ? ? 因正面求解有一定困难 因此从问题的相反方向考虑 设方程有实根将它代入原方程并整理 得 于是 ? ? ? 2 00 0 0 0 2 00 0, 110, 1,1,1 , 1, 1, 10,2. 2, xx x x x xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故或分别代入得 或 无实根 可知当且仅当时 原方程, 2.? 有实根 于是原方程有两 个虚根的充分必要条件是 例题 ? ? ? ? ? ? 2 9, , , , ,., , , , ,20 p q a b

17、cpqp a q p b c qbxaxc AB CD ? ? 例 ：给定正数其中若是等比数列 是等差数列 则一元二次方程 无实根有两个相等实根 有两个同号相异实根有两个异号实根 2 222 33 2 2 ,2,2, 22 ,. 33 , 22 3333 . , 44 pqabpccqb pqpq bc pq pqppqpqq bc p qpqpqa pqbca abc ? ? ? ? ? ? ? ? 由题意得由后两式得 由三元均值不等式 得 因为所以 只能是所给一元二次方程的 判别式? ?0.,.A?因此 所给方程无实根故应选 例题 ? ? 3 3 10, 1199711, 1199711.

18、 x y xx yy xy ? ? ? ? ? ? ? ? 例：设为实数 且满足 则 ? ? ? ? ? ? 3 3 3 1199711, 11997 11. ,1997 , 11. , 11, xx yy f ttt f xfy f t xy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 原方程组变形为 根据方程组的结构特征 构造函数 则由方程组得 因为在上为增函数 所以 即2.xy? 例题 2 2 2 2 2 2 11 4 , 14 4 , 14 4 14 ,. x y x y z y z x z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例：求方程组 的所有实数解 并证明

19、你的解答是正确的 ? 232 22 22 1 ,44, 4410, 1 ,0. 2 ,0,0,0, 11 11, 1414 11 11, 1414 . . xyxyzxxxxxx x xyxyz xyzx zx zxyz yz xyzx xy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解法 ： 设则 解得或 设因为所以 所以 于是所以 于是自相矛盾 由也可推出自相矛盾的结论 因此 ? ? ? ,: 1 1 1 , ,0,0,0, ,. 2 2 2 x y zx y z ? ? ? ? 方程组仅有两组解 和 222 222 222 222 20,0,0,0,0,0. 0,0,0, 444 . 14

20、1414 144 ,144 ,144 444 . 444 1 , 2 xyzxyz xyz xyz xyz xyz xxyyzz xyz xyzxyz xyz xyz ? ? ? ? ? ? ? 解法 ：由题设有显然是方程组的一组解 当时 三个方程相加得 由均值不等式得 故 当且仅当时 上 ? ? ? . 111 ,. 222 1 1 1 ,:, ,0,0,0, ,. 2 2 2 xyz x y zx y z ? ? ? ? ? 式中等号成立 经检验知是方程组的解 因此 方程组仅有两组解和 例题 333 0, 12. 18 xyz xyz ? ? ? ? ? 例：求方程组的整数解 ? 3 33

21、3 333 , ,0,. , , 0,0,0. 30. , 1830,6. 61 2 3. 0, x y ztptqp q x y z xpxqypyqzpzq xyzp xyzq qq xyz xyz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设是方程的三个根 其中待定 分别将代入方程得 三个方程相加得 将原方程代入得故 由韦达定理得 因为所以这三个数中, ,3,12., , : 1,1,2,2,3,3, 2, 3, 1, 3, 1, 2, 3;2;3;1;2;1. x y z xxxxxx yyyyyy zzzzzz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 必为两正一负 且负数 的绝对值较大 应为其余两数为 和 因为是对称的 所以方程组的整数解为 多项式同余 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7, , mod., , mf xg xZ xm f xg xf xg xm f xg xmf xg xm f x ? ? ? ? 定义 ：设 是给定整数如果 整除 的所有系数 则称与对模 同余 记