微分方程数值解试题库2011

1、常分方程数值解法试题一及答案1.用欧拉法解初值问题；(xy( x.)，取步长h=0.2.计算过程保留4位小数。解：h=0.2, f (x)= y xy2.首先建立欧拉迭代公式2yk 1ykhf(Xk，yk)ykhykhXkYk0.2丫丄4Xkyk)(k 0,1,2)当 k=0, xi=0.2 时，已知 xo=0,yo=1, 有 y(0.2) yi=0.2 x 1(4 OX 1) = 0.800 0当 k= 1, X2=0.4 时，已知 xi=0.2, yi=0.8，有y(0.4)y2=0.2 x 0.8 x (4 0.2 x 0.8) = 0.614 4当 k=2, X3=0.6 时，已知 X

2、2=0.4, y2=0.614 4，有y(0.6) y3=0.2 x 0.614 4 x (4 0.4 x 0.4613) = 0.800 02. 对于初值问题y xy试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报校正公式; y() 四阶龙格库塔法分别计算y(0.2), y(0.4)的近似值.3. 证明求解初值问题的梯形公式是yk+1=yk+号f(Xk，yk)f(Xk1，yk1)h=xk+1xk(k=0,1,2,n 1),4.将下列方程化为一阶方程组y 4y 3y 0(1)y(0)1,y(0) 02X y32xy 2y x Inxy(1) 1,y(1) 0y 6y2yy(0)1,y(0)1,y (0)25.

3、取步长h = 0.2再用四阶龙格一一库塔方法解初值y x y 0 x 1 y(0) 1并用前题比较结果。6.下列各题先用龙格库塔法求表头，然后用阿当姆斯法继续求以后各值y 2x y(1) 3x 1.50.1.1y -yxy(1) 1x 1.50.17.试确定公式ya,b,c,def，使之成为一个四阶方法.ayn byn 1 cy. 2 h(dyn 1 ey.fy. 1)中 的系数8.业2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. dx解：对原式进行变量分离得欢迎下载52 2dyy2xdx ,两边同时积分得：ln|y|x c,即y c ex把x 0, y 1代入得21,故它的特解为 y ex

4、。29. ydx（X 1）dy 0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得:dx1clnx11厶dy,当y 0时，两边同时积分得；ln|x 1yy 0时显然也是原方程的解。当X 0, y 1时，代入式子得c 1,故特解是1y 1 ln|l x|常分方程数值解法试题二及答案1.用欧拉预报-校正公式求解初值问题y()yysinx ,取步长h=02计算y(0.2), y(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数.1解：步长 h=0.2,此时 f (x, y)= y-y2sin x.欧拉预报-校正公式为:预报值yk 1yk校正值 Yk 1ykhf (Xk, yk)h-j f(X

5、k, yk)f (Xk 1, yk 1)欢迎下载#有迭代公式:预报值yk 1yk2h( ykyk sinXk)校正值yk 1yk(0.8 0.2yk sin Xk)yk -( ykyk sin Xk)(2一 -2yk 1 yk 1 sin Xk 1)yk(0.9 0.1yk sin xQ0.1(yk 1-2yk 1Sin Xk 1)当 k=0,X0=1,yo=1 时，xi=1.2 ,y y ( . y sinx)(.sin )y( - ) ysin )当 k=1, X1=1.2, y1=0.71549 时,X2=1.4 ,y( . ) y=0.52608.y sinx)sin .).(.sin

6、 .)sin .)2试写出用欧拉预报-校正公式求解初值问题y（）y的计算公式,并取步长h=0.1，求y（0.2）的近似值.要求迭代误差不超过10-5.3. 证明求解初值问题的梯形公式是yk+1=yk+号f(Xk，yk) f(Xk1，yk1)h=Xk+iXk欢迎下载7(k=0,1,2,n- 1),4. 求出梯形格式的绝对稳定性区域.5. 取步长h = 0.2再用四阶龙格一一库塔方法解初值y X yy(0) 1并用前题比较结果。6. 用差分法求方程y y 0 y(0) 0y(i) 1的数值解（h = 0.27 dy dx3xy x y解：原式可化为:dy 1dx2X?y显然2【乞0,故分离变量得1

7、 -I n12故原方程的解为（两边积分得In8:(1 x)ydx (1解：由y 0或x两边积分In故原方程的解为21 y )(1y)xdy 01 In 122x)2cx0是方程的解，当In C(c 0),即(11dxx x2y )(12x)2cx1xy 0时，变量分离-dx xx In |y| y c,即 ln|xyIn xy x y c; y 0;x 0.x y c,常分方程数值解法试题三及答案欢迎下载91.写出用四阶龙格-库塔法求解初值问题y()y的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值.计算过程保留4位小数.解：此处f(X, y)=8 3y,四阶龙格库塔法公式为 yk 1 y

8、k h ( 12 22 34)61 1其中i=f (Xk,yk)；2=f(Xn+2 h ,yk+h 1) ；3=f(Xk+-h ,yn+-h 2) ；4=f (Xk+h, yk+h 3)本例计算公式为:其中 1=8 3 yk； 2=5.6 2.1 yk； 3=6.32 2.37yk；4=4.208+ 1.578 yk0.2yk 1 yk 一(8 3yk 2(5.6 2.1yk) 2(6.32 2.37yk) (4.208 1.578yk) 61.20160.5494yk(k 0,1,2,., n 1)当 Xo=O,yo=2,y( . )yy( . )y2-对于初值问题y()xy试用(1)欧拉法

9、；(2)欧拉预报校正公式; 四阶龙格库塔法分别计算y(0.2), y(0.4)的近似值.y ax b3 .用Euler法解初值问题 y（0）0 ,证明：其截断误差为 y（Xn）yn 2anh，这里 Xn nh , yn 是 Euler法的近似解.4. 求出梯形格式的绝对稳定性区域.5. 取步长h = 0.2再用四阶龙格一一库塔方法解初值y X y 0 X 1 y(0) 1并用前题比较结果。6. 用差分法求方程y y 0 y(0) 0y(1)1欢迎下载11yn 1 ayn byn 1 cyn 2 h(dyn 1 ey.fyn 1)中 的系数的数值解（h = 0.27. 试确定公式 a，b,c,d

10、ef，使之成为一个四阶方法.8.dy 2x y 1dx x 2y 11解：方程组2x y 1 0,x 2y 1 0;的解为x1,y3令x X 1,y Y 1,则有巴 233 dX X 2Y令Y U，则方程可化为：X X变量分离dU 2 2U 2U2dX 1 2U9.dy X y 5dx x y 2解：令xy 51，则dx占,变量分离(t 7)dt 7dx原方程化为：1生dx1 2两边积分-1 7t1代回变量2(x y 5)7(x y 5)7x c7x c常分方程数值解法试题四及答案1. 设初值问题y y ,y(),证明用梯形公式求解该问题的近似解yn证明：解初值问题的梯形公式为yk 1 yk

11、号Hxkyk) f (Xkyk 1)( k=0,1,2，,n 1)f(x,y)yk 1yk2 yk yJ欢迎下载#整理成显式2 hyk1亍yk( k=0,1,2，,n 1)用 k=n, n 1, n 2,1,0反复代入上式，得到yn 12h yn132 hyn 22 h1y。yoyn2.试写出用欧拉预报-校正公式求解初值问题y y y()的计算公式,并取步长h=0.1，求y(0.2)的近似值.要求迭代误差不超过105.3. 将下列方程化为一阶方程组y 4y 3y 0(1) y(0) 1,y(0) 023X y 2xy 2y x Inx(2) y(1) 1,y(1) 02y 6y y(3) y(

12、0) 1,y(0)1,y (0) 24. 取步长h = 0.2用四阶龙格一一库塔方法解y x y 0 x 1 y(0) 15.求出梯形格式的绝对稳定性区域.6.用经典的四阶Rung-Kutta公式解初值问题y x yy(0) 1取 h 0.2.7. 用二阶TaWor展开法求初值问题2y Xy(1)0.25 ,小数点后至少保留5位).的解在X 1.5时的近似值(取步长h8 2 (x 1)2 (4y 1)2 8xy 1欢迎下载13常分方程数值解法试题五及答案解：方程化为一X2 2x 1 16y2 8y dx1 8xy 1 (X4y1)2 2令1 x 4y u，则关于X求导得1 4 dxu,分离变量

13、4?1原方程的解。-du dx，9，所以丄虫dx2两边积分得arctg (34 dx2 8、-x -y)33u26xc,是9.dx2x22C 522xy X y解:dydx(y3)2 2x2y2 (2xy3 X2dy3dx3(y3)2 2x22xy3 X2u,则原方程化为dudx3u26x222xu X算6X2u 1X齐次方程ux当z2dx60，得 zx，所以dx3或z当z260时，变量分离3z262z2是2z厂3x)7(y3 2x)3X53即(的解为(y33x)7 (y32x)z2 z 62z 13x或y32x是方程的解。dzx一，dx方程的解。1(1)1dzz ddzx一dx3y(1)两边

14、积分的(z 3)7(z 2)3X5c,c又因为y315X cdx，X3x或 y32 X包含在通解中当c 0时。故原方程欢迎下载191选择填空题:y的计算公式1. 取步长h=0.1,用欧拉法求解初值问题y 7y()i，yo 1答案：yk 1yk 1.101, k 0,1,2,., n(10.1k)解答：欧拉法的公式y(Xk )XkXykkhykhf(Xk,yk)(k，,n )此处f(X, y)y，迭代公式为yk yk .(ykyk) yk(.(.k)(.k) )，k，y2. 对于初值问题y xy试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报校正公式; y() 四阶龙格库塔法分别计算y(0.2), y(0.4)

15、的近似值.3. 证明求解初值问题的梯形公式是yk+1=yk+f (Xk,yk) f (Xk 1, yk 1)h=Xk+iXk(k=0,1,2，,n 1),y ax b4 .用Euler法解初值问题 y(0) 0 ,证明：其截断误差为 y(Xn) yn 2anh，这里 Xn nh , yn 是 Euler法的近似解.5.用改进的Euler公式hyn 一f(Xn,yn) f(Xn1,yn hf (Xn, Jn )2 01,证明其近似解为xeyn 1y y求解初值问题 y（0）时，它收敛于原初值问题的准确解 y2 h nyn再,并证明当h 06.取步长h = 0.2用四阶龙格一一库塔方法解y x y

16、 0 x 1 y(0) 17.用Adams四步显式公式求解初值问题 y 3x 2yy（0） 1h O.1.小数点后至少保留六位.取步长8- dx2x3 3xy x3x2y 2y3 y解：原方程化为dydxx(2x2 3y21) dy22y(3x2 2y21)dx2x2 3y2 13x2 2y2令y2U,；Xv则竺* J J J J J J J 八-Jdv2v 3u 13v2u 1(1)方程组2v 3u3v 2u0的解为（1,1, Y u1,，从而方程（3 2zdydzz，所以tdtz一dz3tdt,z3 2t dz2 2t23 2t2 2t20时，即t 1，是方程(2)的解。得y2 x22或y

17、2x2是原方程的解2 2t2。时，分离变量得24久 如两边积分的y2(y22)另外2,x2，包含在其通解中，故 原方程的解为(y22)5c9.xy2 2()y(1 x y )dx xdy2沁乙斗y dx 2林例xy匕怜他斛丄也1Zy dx.证明方程dydxf(xy)经变换xy u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程X也 dx u dx y(f(u) 1) xdudy AAx dydudx E dx dx -(f(u)1)1(uf(u)xf(u),0(1):0X O0y。艸斛粉斡xyOS00轉钟诸1u)0xyu,仙悄1(2uxdx x2cx4，0yx y2Cx,y2y2 2x y 22Cx ,

18、x 0.解(2)令xy u，则原方程化为dudx-(u|x 22分离变量得 Jdu4u1-dx，两边积分得Inx2u2u1xu)1 4ux 2C,这也就是方程的解。欢迎下载231改进欧拉法的平均形式公式是2试写出用欧拉预报-校正公式求解初值问题y()y 的计算公式,ypykhf(Xk, yk)Yp Yk hf (Xk , Yk)(A)Ycykhf(Xk,y p)(B)Yc Yk hf (Xk ,yp)yk(YpYc)Yk-(y p Yc)Ypykhf(Xk, Yk)Yp Yk hf(Xk,yk)(C)Ycykhf(Xk ,yp)(D)Yc Yk hf (Xk , Ypykh(Yp Yc)Yk-

19、(y p Yc)并取步长h=0.1，求y(0.2)的近似值.要求迭代误差不超过105.3. 试证线性二步法yn 2 (b 1)ynl byn -(b 3)fn2 (3b 1)fn4当b 1时方法为二阶，当b1时方法为三阶.4. 取步长h = 0.2用四阶龙格一一库塔方法解y x y 0 x 1 y(0) 15. 用差分法求方程y y 0y(0) 0 y(i) 1的数值解(h = 0.2 )6. 用Adams四步显式公式求解初值问题y 3x 2yy(0) 1取步长h 0.1.小数点后至少保留六位.7.用经典的四阶Rung-Kutta公式解初值问题y x yy(0) 1取 h 0.2.x8. 已知

20、f(x) f(x)dt 1,x 0,试求函数f (x)的一般表达式.0x1解：设f(x)=y,则原方程化为f(x)dt 1两边求导得 0y吐dxJ J J J J J J J J J j 八dx1y3dy;两边积分得;所以y1J2x cV2x1 =代入cf (x)dt00比J2x c; (J2x c Vc)J2x c得c 0,所以y9.求具有性质解：令t=s=0x(t+s)=x 的函数 x(t),已知 x (0)存在。1 x(t)x(s)x(0)=甘=谊0亦若x(0) 0得x2=-1矛常分方程数值解法试题七及答案盾。x(0)=0.X (t)= lim xt Xt)2lim x( t)(1 x

21、(t) t1 x(t)x( t)x(0)(1x2(t)詈 x（0）（1x2（t）咼 x(0)dt两边积分得arctgx(t)=x (0)t+c 所以 x(t)=tgx (0)t+c当t=0时x(0)=0 故c=0所以x(t)=tgx (0)t欢迎下载331. 求解初值问题yf（X，y）欧拉法的局部截断误差是（）； 改进欧y（x ） y拉法的局部截断误差是（）；四阶龙格-库塔法的局部截断误差是(A) O h2) (B) 0( h3) (C) O( h4) (D) q h5)2. 用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题y（）y x在x=0.2,0.4,0.6 处的近似值.3.将下列方程化为一阶方程组

22、y 4y 3y 0(1)y(0) 1,y(0) 02X y32xy 2y x Inxy(1) 1,y(1) 02y 6y yy(0)1,y(0)1,y (0)24. 取步长h = 0.1用改进欧拉法解初值问题y X y 0 X 1 y(0) 1试将计算结果与准确解相比较。5. 试建立求解初值问题的如下数值解法y f(x,y)y(Xo) y。hYn 1Yn 1 ( fn 14 fn3fn 1)其中 fif (Xi, yi)，( i n 1,n,n 1).6.用Adams四步显式公式求解初值问题y 3x 2yy(0) 1取步长h 0.1.小数点后至少保留六位.7: (y解: dydxx)dy (y

23、 x) dx 0 y X 人 ydy,令丄 u , y ux ,x xu一1,变量分离，得：u 1yduxdxdxduxdx1 1 du -dx1x两边积分得:1arctgul n(1Inc。8 : X毁 dx解：令yxVxydyu, y ux,dxdu ,则原方程化为:x 一dxdudxdu sgn x ? 1 dxx两边积分得:arcsi n代回原来变量,u sgn x ? ln |x arcsin xsgn X ? In x2另外，y2x也是方程的解。1.改进欧拉预报-校正公式是预报值 yk校正值ykyk _yk -改进欧拉法平均形式公式为yp二yc=yk+1=试说明它们是同一个公式.2

24、. 用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题y y X在 y()x=0.2,0.4,0.6 处的近似值.3. 试证线性二步法yn2(b 1)yn1 byn2当b 1时方法为二阶，当b1时方法为三阶.4.取步长h = 0.1用改进欧拉法解初值问题y X y 0 X 1 y(0) 1试将计算结果与准确解相比较。5. 下列各题先用龙格一一库塔法求表头，然后用阿当姆斯法继续求以后各值y(1)2x3x 1.50.1.1 y xyy(1)x 1.50.16.求方程yy(11)x2)yy(1)的数值解（取h = 0.27.试建立求解初值问题y f (x,y)y(x0) y。的如下数值解法yn扑14fnfn1)其

25、中 fif (Xi, yj，( i n1,n,n1).8 : tgydx ctgxdy解：变量分离，得： 两边积分得：In sinctgydyIntgxdxcosc.9迪 dx2y 3 xey解：变量分离，得亠dy ye13 x3e c1.设四阶龙格-库塔法公式为yk 1ykh ( 12 22 34)6其中i=f(Xk,yk)；2=f (Xn+-h,yk+-h 1)；3=f(Xk+沙，yn+-h2)；4=f(Xk+h, yk+h 3)取步长h=0.3，用四阶龙格-库塔法求解初值问题y y的计算y()y ax b2 .用Euler法解初值问题y(0) 0，证明：其截断误差为y(Xn) yn2an

26、h，这里 Xn nh，yn 是 Euler法的近似解.3. 取步长h = 0.1用改进欧拉法解初值问题y X y 0x1y(0) 1试将计算结果与准确解相比较。4. 用改进的Euler公式yn 1 Yn - f (Xn, Yn) f (Xn 1, Ynhf (Xn, yn)ynn2 h存,并证明当h 0y y 0求解初值问题y(0)1 ,证明其近似解为X时，它收敛于原初值问题的准确解Y e5. 求方程欢迎下载35yy(11)X2)yy(1)的数值解(取h = 0.26. 试建立求解初值问题y f (x,y)y(xo) yo的如下数值解法ynyn 1-(fn1 4fnfn1)1).其中 fif (Xi, yj，( i n 1,n,n7. 用二阶TaWor展开法求初值问题 y X2y(1)0.25 ,小数点后至少保留5位).的解在X 1.5时的近似值(取步长h8 : x(ln x In y)dyydx 0欢