异面直线所成角的几种求法

1、异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小， 是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后 在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。一、向量法求异面直线所成的角例1 :如图，在正方体 ABCD-A 1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面 BCC1B1及CDD1C1 的中心。求 A1E和B1F所成的角的大小。1HSBiQDCP解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线

2、 到某个点上。他作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H , 连结GH，有GH/A 1E。过F作CD的平行线RS, 分另交 CC1、DD1 于点R、S,连结SH，连结GS。 由 B1H/C1D1/FS, B1H=FS，可得 B1F/SH。GH=亍（作直线GQ/BC交BB1于点Q，在 GHS中，设正方体边长为 a。连QH，可知 GQH为直角三角形），HSnVGa （连AiS，可知 HAiS为直角三角形），2J26BBi为z轴，设BC长度为2。（1，0，1），GS= 一6 a （作直线 GP交BC于点P, Cos/ GHS= 1。6所以直线AiE与直线BiF所成的角的余弦值为4解法二：（向

3、量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴， 则点Ai的坐标为（0, 2，2），点E的坐标为精选文库点Bl的坐标为（0, 0, 2）,点F的坐标为（2, 1 , 1）;所以向量EA的坐标为（-1 , 2, 1），向量B1F的坐标为（2, 1, -1）,所以这两个向量的夹角0满足EA1 B1Fcos 0 = IEA1IIB1FI J( 1)22(1) 2 2 1 1(1) _ 1(1)2 ( 1)2 6所以直线A1E与直线B1F所成的角的

4、余弦值为(1)2 阳16小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小。而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系， 标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角。当 然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比如刚才的正方体， 或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们就可以建立空间直角坐标系， 从而利用向量的坐标表示来求两个向量的夹角。如果没有这样的性质， 我们也可以利用空间向量基本定理，寻找空间

5、的一组基底 （即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合表示出来，因而也 可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。例2 :已知空间四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a , M、N分别为BC和 AD的中点，设 AM和CN所成的角为a,求 COS a的值。解：由已知得，空间向量 AB , AC , AD不共面,且两两之间的夹角均为 60。由向量的加法可以得到-1AM =-2IMI士IJ彳INIJ(AB + AC ), NC = 1 AD + AC 2所以向量AM与向量NC的夹角0（即角a或者a的补角）B

6、MCD满足cos0 =2M翌，其中 |AM | | NC|AM=1=21 ,=a2.1 - -NC =1 ( AB + AC ) ( 21 AB 21 1+ 421 1 AD + Ac )2AD + AB AC +1 1 2 -+1) =-a2;4211 AD ) AC + AC AC )21 1 13| AM |2= 一 ( AB + AC) ( AB + AC )= -(1+1+1)a2= 2244a2；4精选文库7iNc |2=( - AD + Ac)(2-AD + Ac)=-+124a2=?4a2。2所以 cos a =| COS 0 1= _。3例3 :已知空间四边形 ABCD中，A

7、B=CD=3 , E、F 分另是 BC、AD上的点,且 BE: EC=AF : FD=1 :2, EF= J7，求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上点G,可知 EG/AB , FG/CD ,使 AG : GC=1 : 2。连结 EG、FG, 3EG=2AB , 3FG=CD。= =2=1 =由向量的知识可知 EF = EG+GF = BA+-CD , 33设向量BA和CD的夹角为0。GBCD2 1 H2 1则由 | EF |2= (一 BA+-CD ) ( BA + -CD ) =4+1+4cos 0 =7,33331 得COS0 =丄，所以AB和CD所成的角为60 。2二、利用模型求异面

8、直线所成的角引理：已知平面a的一条斜线a与平面a所成的角为0 1,平面a内的一条直线 b与斜线a所成的角为0,与它的射影a所成的角为0 2。求证： cos 0 = cos 0 1 cos 0 2。证明：设PA是a的斜线，OA是PA在a上的射影，OB/b，如图所示。则/ PAO= 0 1,/ PAB= 0,/ OAB=O在平面a内作 OB丄AB，垂足为B,连结PB。PB 丄 AB。OA 。 AB 。 ABPAPAOACOS0 = cos 0 1 COS0 2。过点可知所以所以P0 2,O1叫做 2叫做线影角。很明显，线线角是这三个角中最大的一个角。a和b所成的角，即引理中的角0。从引理中可 以及

9、该平面的一条斜线b以及b在a内的射影。四边形ABCD是正方形，且 MA=AB=a，试求异面直线MB与平面ABCD所成的角为45 ,这一问题中，直线 a和b可以是相交直线，也可以是异面直线。我们不妨把0 线面角，0叫做线线角，0 我们可以利用这个模型来求两条异面直线 以看出，我们需要过 a的一个平面a,例4:如图，MA丄平面ABCD ,直线MB与AC所成的角。ABCD内的射影为解：由图可知，直线 MB在平面直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45,所以直线AC与直MB所成的角为0,满足1cos 0 =cos45 cos45 =,2所以直线AC与MB所成的角为60 。例5:如图，在立体图形 P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，/ BAD=90 , AD/BC , AB=BC=a , AD=2a ,且 PA丄底面 ABCD , PD 与底面成 30 角，AE 丄 PD 于 D。 求异面直线AE与CD所成的角的大小。解：过E作的平行线EF交AD于F, 由PA丄底面 ABCD可知，直线 AE在平面ABCD内的射影为AD ,其大小为45,直线AE与平面ABCD所成的角为/ DAE，其大小为60 , 射影AD与直线CD所成的角为/ CDA