数值分析实验报告

1、 数值分析课程设计报告书系部名称：应 用 数 理 系学生姓名： 专业名称：信息与计算科学班 级：信息0702时间：2009年6月8日至2009年6月19日实验一一、 实验内容1.用三次样条插值的三弯矩法,编制第一与第二种边界条件的程序.已知数据如下：0.20.40.60.81.00.97986520.91777100.80803480.63860930.38433735求的三次样条插值函数满足：(1)自然边界条件(2)第一种边界条件要求输出用追赶法解出的弯矩向量(,)及(i=0,1,2,3,4,5,6,7,8)的值.并画出的图形.二、 实验原理简述我们先利用一阶导数在节点（i=1,2,n-1）

2、上的连性以及边界条件，列出确定二阶导数（i=0,1,2,n-1）的线性方程组（三弯矩方程），并由此解出然后用表达是即可（三弯矩方程）， .其中有（）个未知数，而方程只有（n-1）个，当满足第一种边界条件时，可的另两个方程，如果令，将上述方程综合后的一下矩阵形式：=可以证明此方程组满足追赶法的条件，我们用追赶法可得m的值，将其带入公式即得对第二种边界条件，直接的端点方程并且令，则又得三弯矩方程同理即可求得解。三、 实验结果1)2)四、 实验分析 某些实际工程中不仅要求曲线连续，而且要求曲线的曲率也连续，通过上述结果我们可以看出三次样条完全满足此要求。且在解方程中我们采用了追赶法，其也有效地解决了

3、高斯消去法中的舍入误差积累的问题。实验二一、 实验内容编制以离散点的正交多项式为基的最小二乘拟合程序,并用于对下列数据做三次多项式最小二乘拟合.-1.0-0.50.00.51.01.52.0-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取权1,求出拟合曲线,输出,及平方误差,并画出的图形.二、 实验原理简述由多项式拟合公式：求的a我们即的拟合系数，带入多项式即可，在一般多项式拟合中a的第k列即为的(k-1)次方，而在正交多项式拟合中，尤其性质我们有a的非对角线元素为0，所以我们有迭代公式即的其结果。但在此题中我采用的勒让德正交多项式做基，由于勒让德的正交性是在-1

4、 1,而我们的离散点并不全在其内，所以我们不能再用上述公式进行简化计算了，相反由于对于勒让德正交多项式而言的a也就不在具有向一般多项式那样的性质了，所以我们必须循环赋值这一就复杂问题了，但其计算结果还是较满意的。三、 实验结果1) 一般多项式结果计算的平方和误差为2.176190481775883e-005。2) 勒让德正交多项式做基四、 实验分析 通过结果我们可以看出一般多项式拟合与勒让德正交多项式做基的结果误差都较小，效果较好，并且进一步增加多项式得系数得知一般多项式，的拟合结果将出现较大误差，这是因为要解方程，而随着系数的增大，希尔伯特矩阵是病态的，所以解将出现大的误差拟合自然偏差较大。

5、而勒让德正交多项式有于其在-1 1上的正交性，在此段上的解并没有出现较大的误差相反结果还是很理想的，对于在其它段上的我们只要做一个变换，则结果也是较好的。实验三一、 实验内容给出积分, , (1)运用龙贝格求积公式计算上述积分i的值,要求到时结束,输出t表及i的近似值.(2)用5点高斯求积公式及复化3点高斯求积公式计算上述积分,并输出i的近似值.3)分析比较各种计算结果.二、 实验原理简述龙贝格求积公式高斯求积复化求积三、 实验结果1)结果为i=0.422724. 五点高斯法： 0.422720775202602复化3点高斯：0.422735763060519。 五点高斯法：1.5421264

6、58733056 复化3点高斯：0.925275412602127龙贝格求积公式：1.542125687670212五点高斯法：0.202732641800508复化3点高斯：-0.025024125653057龙贝格求积公式：0.203470023940993四、 实验分析 有实验结果显然可以看出龙贝格的精度最高，五点高斯法次之，最后是复化3点高斯法，由于龙贝格有误差限的控制，所以精度有r控制。对于高斯法，我们知道由于其自身的构造性保证了其具有（2n+1）的精度。而复化3点高斯法我用的是2段的三点高斯，效果自然差些。而对于复化的我们也可以给定误差限，而不停地分段来增加精度，也可已达到要求的精

7、度，只不过迭代的次数多些罢了。实验四一、 实验内容比较求一阶导数的数值方法,给出函数.利用某距离点函数值,必要时给定端点导数值,分别用中心差分,数值积分求导和理查森外推计算的一阶导数,分析,比较各种方法的效果,说明精度与步长h的关系.二、 实验原理简述数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值，我们有以下几种方法：中心公式：数值积分法：理查森外推法：三、 实验结果 四、 实验分析由以上实验结果我们可以看出同一中心差分法，h不同，结果不同（h=0.5的效果好于h=0.1），当h越小，f(a+h)-f(a-h)越接近，舍入误差越大。而不同的积分公式精度不同，其中数值积分法最好，因为其右端

8、为辛普森求积公式，其精度较高。我们知道外推一次精度提高两阶，所以外推法高于中心法。 实验五一、 实验内容给定方程组 用lu分解和列主元高斯消去法求解上述两个方程组,输出ax=b中矩阵a及向量,分解的与,及解向量.(1) 用lu分结合列主元高斯消去法求解上述两个方程组.输出ax=b中矩阵a及向量b，a=lu分解的l,u,deta及解向量x. (2) 将方程组中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990.用列主元高斯消去法求解，输出列主元行交换次序、解向量x及deta，并与(1)中结果比较.将方程组中的2.099999改为2.1，5.900001改为5.9.用列主元高斯消去法求解，输出解向

9、量x及deta，并与(1)中结果比较.二、 实验原理简述高斯消去法的基本思想是，通过将一个方程乘或除某个定数以及两个方程相加减，逐步减少方程中变元的数目，最终使每个方程仅含一个变元，从而得出所求方程的解。因为主元的绝对值大，算法的稳定性好，所以高斯消去法应该是在消元过程的每一步都要使主元的绝对值尽量大，即为列主元消去法。而lu分解则是将a=lu带入方程中即解出x三、 实验结果 解如图所示： 解lu分解中l为：u为：a的秩为：-762.0001x=-4129998 -5899999 -0.07546 0.19685高斯消去法2)四、 实验分析在lu分解中，我们把a分解为单位下三角矩阵l和一个上三

10、角矩阵u的乘积，从而使解方程的问题得到简化。我们知道在进行高斯消时，主元的绝对值大，算法的稳定性好，即使是列主元消去法，在其系数行列式的值稍微变化时其行列式与其解都将产生巨大的变化，在直接lu分解中情况相同这种线性方程组的系数及常数项扰动较小，而解的差却很大的，即为数值稳定性问题，进一步求的a的条件数即cond(a)= 3.069685264395020e+004,由此可已看出产生上面的现象也是必然的。实验六1、 实验内容研究解线性方程方程组迭代法收敛速度,给定为五对角矩阵(1)选取不同的初始向量及右端项向量,给定迭代误差要求,用雅可比迭代和 法求解,观察得到的序列是否收敛？若收敛,记录迭代次

11、数,分析计算结果并得出你的结论.(2)用迭代法求上述方程组的解,松弛系数取12的不同值,在时停止迭代.记录迭代次数,分析计算结果并得出你的结论.2、 实验原理简述雅克比迭代法： 高斯-塞德尔迭代法： sor方法： 3、 实验结果1) 雅可比迭代全是0, 右端项向量全是1,迭代误差要求为r,其中r=0.0001迭代结果为迭代法中,全是0, 右端项向量全是1,迭代误差要求为r,其中r=0.0001, 松弛系数w=1.25;迭代结果为松弛系数w=1.25;迭代结果为:4、 实验分析 在本实验中，在第一个结果中我们可以看到满足精度要求需要迭代251，所以我们只要精度不断的缩小，就可得其是收敛的要求。而

12、且通过不断的更换初值和右端向量的值，仍旧可以发现其是收敛的，并且迭代的次数仍然是251次，所以方程组的收敛性完全由a就可以体现，通过后面的学习我们知道的问题完全由的极限性质决定。在迭代法迭代结果中，选取不同的超松弛系数，迭代的次数不同，但其迭代次数较雅克比迭代都明显的减小，我们知道，目前大多数矩阵的最佳超松弛因子是不能确定理论公式的，只有不断的在试算中才能确定最佳因子。实验七一、 实验内容求非线性方程及方程组的根,精确到,给定方程分别为：(i).(ii) .(1) 用你自己设计出的一种线性收敛迭代法求方程(i)的根,然后再用斯蒂芬森加速迭代计算.(2) 用牛顿法求方程(i)的根,输出迭代初值,

13、各次迭代值及迭代次数,并与(1)的结果比较.(3) 用牛顿法求(ii)的解,输出迭代次数及解向量的近似值.二、 实验原理简述在(1)迭代的基本思想是，将隐式方程的求根问题转化为计算一组显式，换句话说(1)的实际过程是一个逐步显式化的过程。斯蒂芬森迭代公式： 而牛顿法则是一种将非线性方程线性化的方法。牛顿法： 牛顿法解线性方程组三、 实验结果1) 迭代式为： 2) 用牛顿法求方程(i)的结果为：3) 用牛顿法求(ii)结果为： 四、 实验分析 从实验结果我们我可以看出对于我们所选的，其需要12次迭代，而用斯蒂芬森加速后只需要3次，牛顿法介于其间需要4次。我们知道斯蒂芬森加速后较前高一阶，由此我们

14、知道牛顿法收敛阶不是一个整数。而且我们选取，使其不动点迭代不收敛，但加速后却可能收敛。而对于用牛顿法解方程组则是其直接推广理论依据完全一样。实验八一、 实验内容 (i) (ii)(1) 根据qr算法原理编制求(i)及(ii)中矩阵全部特征值的程序并输出计算结果(要求误差.(2) 直接用现有数学软件求(i),(ii)的全部特征值,并与(1)的结果比较.二、 实验原理简述令，对 作qr分解，得 ，再让其逆序相乘，令，又对作qr分解，得反复迭代得到一个矩阵序列，所以与相似，他们有相同的特征值我们可以通过求的特征值来计算a的特征值对a作qr分解三、 实验结果1) 用qr算法解矩阵a结果如下：解矩阵h结果为：2) 用库函数eig解矩阵a与h结果如下 四、 实验分析 从实验结果我们可以看出，利用矩阵的正交相似变换的约化矩阵的简单形式，以求得a 的特征值这种方法，收敛速度与有效位数较好。实验九一、 实验内容求初值问题的数值解,给定初值问题为(i) (ii) (1)用改进欧拉法(取h=0.05)及四阶r-k.方法(取h=0.1)求(i)的数值解,并输出的数值解(2)用经典四阶r-k方法解(ii),步长h 分别取为h=0.1,0.025,0.01计算,并输出各点的数值解,并分析结果.(初值问题(ii)的准确解)二、 实验原理简述所谓微分方程的数值解法，