点差法应用6页

1、解析几何解题思路分析求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题.重点题型要熟练掌握，如：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数.（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点，与两个焦构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥（3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题-定点

2、定值问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决; 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值（5）求曲线的方程问题曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决；曲线的形状未知-求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问

3、题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.1 求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.解设弦的两个端点分别为，的中点为.则，（1），（2）得：，.又，.弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）.例2直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 .解设，中点，则.，过定点，.又，（1），（2）得：，.于是，即.弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知抛

4、物线内）.2 求曲线方程例3已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程.解由已知抛物线方程得.设的中点为，则三点共线，且，分所成比为，于是，解得，.设，则.又，（1），（2）得：，.所在直线方程为，即.例4已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程.解设，则，且，（1），（2）得：，（3）又，（4）而，（5）由（3），（4），（5）可得，所求椭圆方程为.3 求直线的斜率例5已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率.（1）证略.（2）解，设线段的中点为.又在椭圆

5、上，（1），（2）得：，.直线的斜率，直线的方程为.令，得，即，直线的斜率.4 确定参数的范围例6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.解 当时，显然满足.当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，（1），（2）得：，又，.中点在直线上，于是.中点在抛物线区域内，即，解得.综上可知，所求实数的取值范围是.5 证明定值问题例7已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.证明设且，则，（1），（2）得：，.又，（定值）.6 处理存在性问题例8已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.解假设这样的