辽宁省凌源市第二中学高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

1、数学试题卷（理科）.选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合一I ：仁钗富貳“盘口并，则（）A. B. FW C. |点川| D. Is阀【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合B,然后进行交集的运算即可.【详解】B=x| - 2 v x V 1, A= - 2, 1, 0, 1 , 2; An B=- 1, 0.故选：B.【点睛】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算.2. 出亠3”是函数 x-_24-2在区间也T内单调递减”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充

2、分也必要条件【答案】A【解析】【分析】利用二次函数的单调性可得 a的取值范围，再利用简易逻辑的判定方法即可得出.【详解】函数f （x） =x2- 2ax - 2= （x- a） 2- a2 - 2在区间（-,2内单调递减， 20,则节：庶 E R , x J -1 o，则艮?x-1 o，所以不正确；C中，若为假命题，则p,k应1兀至少有一个假命题，所以不正确；D中，命题“若Q-，则sina - ”的否命题是右口 -，则6|a26垃111工”是正确的，故选D.考点：命题的真假判定.4.函数h.：T工I的定义域为()A. |泌：?B.x|x-l 1 U0c.x|s【答案】C【解析】r(x+-xo，

3、求出解集即可【分析】 根据函数f (x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组【详解】函数怜：加:；:.kj-A：解得即 x - 1 , f ( X)的定义域为x|x 0 且 a* 1), y= sin x, y= cos x 的定义域均为 R. y = log ax( a0 且 a* 1)的定义域为(0 ,+).5.二项式y的展开式中/的系数为占耳/血=A.B.C.D. 2【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理的展开式可得 a，再利用微积分基本定理即可得出.【详解】二项式(ax)6的展开式中通项公式：Tr+1 =(ax)r，令 r=5，则 T6=Xa5x5.65=/:，解得 a=1.【点睛

4、】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数此外，如果被积函数 是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加6. 已知心是周期为4的偶函数，当x e 0,2时呕)*总ffCr，则心田4)#心0厲)|()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】利用函数的周期性，化简所求函数值的自变量为已知函数的定义域中，代入求解即可.【详解】f (x )是周期为4的偶函数，当x 0 , 2时f (x),则 f (2014) +f (2015) =f (2012+2) +f (2016 - 1) =f (2)

5、+f (- 1) =log 22+1+12=3.故选：D.【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的周期性以及函数值的求法，考查计算能力.7. 某三棱锥的三视图如图所示 ，则该三棱锥四个面的面积中最大的是【答案】C由三视图可知 PAL平面ABCA作ADL BC垂足为 D,连结PDA.匸寸B. 3D.C.BDAD=1,CD=PA=2, m心右vL =心自:=二-品.BC x AD = -.S 也三棱锥RABC的四个面中，侧面PBC的面积最大故选C.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯

6、视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽8. PM2.5是指空气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物） ，为了探究车流 量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量M （万辆）100102108114116浓度/ （微克）7880848890根据上表数据，用最小二乘法求出 眉与的线性回归方程是（）A.7.24 B. y = 0+ 6.24 C. y = Q71x46.|4 D. |y = O,62x + 6 24【答案】B【解析】【分析】 利用最小二乘法做出

7、线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果.100 x 78 + 102 80+ 108 a S4 i- 114 $ 閱十 116 x9O-5 x 108 . 84【详解】由题意，b=厲 r ,1=0.72 ,10(r + 1022 + 108* I lir + 116-5 X 108*a=84 - 0.72 X 108=6.24,=0.72x+6.24 , 故选：B.【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系;计算Lin的值；计算回归系数；写出回归直线方程为了-i空： 回归直线过样本点中心b殘专是一条重要

8、性质，利用线性回 归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势9. 某次联欢会要安排 3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A. 72 B. 120 C. 144 D. 168【答案】B【解析】分两类，一类是歌舞类用两个隔开共Aj（2Aj）种，第二类是歌舞类用三个隔开共 .礎丸圈种,所以 N=（2n：）+（C；八対=120.种。选 B.【此处有视频，请去附件查看】10. 已知椭圆匚上心（计叫兀）与双曲线C1：-l（ai0,b20；有相同的焦点F庇，点I： aj b；R： h； - 一一是曲线与:的一个公共点， f 分别是q和Q的离心率，若F

9、F丄卩耳，贝帕;十的最小值为（）9A. - B. 4 C.2【答案】A【解析】【分析】题意设焦距为2c,椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条 件结合双曲线和椭圆的定义推出a/+a22=2c2，由此能求出4e/+e22的最小值.【详解】由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2,令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1 - |PF2|=2a2，由椭圆定义|PF1|+|PF 2|=2a1，又 PR 丄 PFz,2 2 2|PF1| +|PF2| =4c ，2+2，得 |PF1|2+|PF2| 2=4a12+4a22，将代入，得a12+a22=2

10、c2, +2=2 、【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等一正：关系式中,各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等： 含变量的各项均相等，取得最值11. 设函数心)汽( + 】)斗訂则不等式ti咤的解集为()A. (0.2 B.C.3-对 D. 卩；)52斗吋【答案】B【解析】【分析】/f (- x)(x2+1) + =f (x), f (x)为R上的偶函数，且在区间0 , +8)上单 耳垃卜1调递减，再通过换兀法解题.【详解】T f (- X) =(X2+1 ) +=f (X), f ( x)为R上的偶函数，且在区间0, +8)上单调

11、递减，令t=log 2X,所以，用呼=-t,则不等式 f (log 2x) +f () 2 可化为：f (t) +f (- t ) 2,即 2f (t ) 2,所以，f (t ) 1,又f ( 1) =2+=1,二 3 4 1且f (x)在0 , +8)上单调递减，在 R上为偶函数,- K t 0,c=3 .1 JSaabc= AB?BCsi nB= BC?h2 2可知 Saab(= x 3x 2x|2 |i斤故答案为：.2【点睛】本题考查三角形的面积求法，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题.15. 若关于X的不等式40 Jog护(a 7,且;2：)的解集是x|0x 0,且)的解集是x|

12、0 v x v ,2 2则当 x= 时，4x =log 2ax，即 2=log 2a ,( 2a) 2=，二 2a=i，二 a=,22224故答案为：返芥【点睛】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题.16. 已知函数f(x) = f1K；L &|，若. 血舟，则实数I溯的取值范围为 I e , (x - I)【答案】-【解析】【分析】 作出函数f (x)的图象，设f (a) =f (b) =t，根据否定，转化为关于 t的函数，构造函数, 求出函数的导数，禾U用导数研究函数的单调性和取值范围即可./ av b,. a- 1,则 f (a) =ea=t, f

13、(b) =2b 1=t,则 a=lnt , b= (t+1 ),w则 a 2b=lnt t 1,设 g (t) =lnt t 1, Ov t w ,1 i - +函数的导数g( t)=-仁-,t t则当0vt w丿时g( t ) 0,c此时函数g (t)为增函数，111g (t) w g ()=ln=1= 2,ee即实数a 2b的取值范围为(-R,- 2,故答案为：(-3- ”-2.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，涉及函数与方程的关系，利用换元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键. 合性较强.三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算

14、步骤17. 已知函数 - -5 -2 + 16，函数 1憎；订04(4)，记集合 A x|g(x)冬 Q(I )求集合；(II )当更&创时，求函数 的值域.13y【答案】(1) A 幅$玉兀荃卫(2)、町0【解析】【分析】(I)由g (x)w 0得42x 5?22x+1+16w 0,然后利用换元法解一元二次不等式即可得答案；(H)化简函数f (x)，然后利用换元法求解即可得答案.【详解】解: (I )；可：厂才即+ 1召应0,|4怎护斗虧兰0,令护,即有10t:+16 I 4 * 2 102020 4的数学期望为故的分布列为【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.求

15、解该类问题,首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率,写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关:(1)阅读理解关；(2)概率计算关；(3)公式应用关.19.如图，已知长方形 連:丁中m 申，刖:,.h，为的中点将A -d?：i沿両折起，使得平面.m丄平面卜卞(I)求证：m丄I:加(II )若点R是线段上的一动点，当二面角的余弦值为时，求线段？i：|的长.【答案】(1)见解析(2)3|【解析】【分析】(I )推导出 AM丄BM,从而 BM丄平面 ADM由此能证明 ADL BM(II )以O为原点，OA为x轴，在平面 ABCD内过

16、O作OA的垂线为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DE的长.【详解】(I )证明：长方形A3CT中，_平面ADN4丄平面ABCMM为匚D的中点，AM-BM-2，故 Ul -LBM 平面ADM P 平面ABCKi 二 AM BM c 平面ABCM则12x- 0l2Xy (1 -k)z-02Z取 ”;；1,得- - I.得匚 L：1 - K1 *4H，而:二卫;m - ncos . m,n a W -1川r-2X得平面的一个法向量门-门，设二3 *工直：社 亠辽苕pii 3二込总3（亠叭，设平面AME勺一个法向量为=巾耳|（因为蕙A 血，故匕卫|.【点睛】空间向量解答立体几

17、何问题的一般步骤是:（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐（3 ）设出相应平面的法向量，利标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量;用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离20.已知椭圆二二；二，的左右焦点分别为，直线 经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，且|；|（i）求直线L的方程；（II）已知过右焦点忖的动直线対与椭圆 交于.不同两点，是否存在 轴上一定点仁使X：汙= w：cj?（|界为坐标原点）若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由【答案】（1） v =耳-I 或V = -X 4 1 ； （2） I - 2

18、J；【解析】【分析】(I)解法一：直线方程与椭圆方程联立化为一元二次方程，利用弦长公式即可得出. 解法二:利用焦半径公式可得.(II ) II )设I 2的方程为:-：-与椭圆联立:,一一 亠.假设存在点T (t ,y, y,0)符合要求，设 P( xi, yi), Q(X2, y2). / OTPd OTQ- X|1 x20t(x2 -1) + y2(Kt -1) - 0， t再利用根与系数的关系即可得出.【详解】解:(I )设|的方程为了 心：疳.与椭圆联立得卜农： 一 一 f 二-.直线经过椭圆内一点，故|n|恒成立，设，则2k2 卜 1|4k4x3=r2时卜1(2f b iy 2k2+

19、1(2k2 彳 1/2k2 + 1, 弧 + 4. 2|abi Ji + 心勺-x4i -,m解得二= 2厂12(II )设的方程为一.一 ，匚与椭圆联立:亠亠2岳-2 = 0,由于过椭圆内一点，A 0假设存在点T(LO符合要求，设 只勺比贝仪曲，韦达定理:EOTP - Z.OTQ,Xj * t * t点在直线、：；:-i-：上有LL-牛4L农4k-旺解得L15|工日- Xj)H -坤- _52 1 21? + 1，解得解2 :由焦半径公式有:n ;贮-s 即怂置洽-0沽“席T，-2 j- - 2 Jim 2m 4(农1)一m 1 2m I 2(点、直线、曲线或参【点睛】解决解析几何中探索性问

20、题的方法 存在性问题通常采用“肯定顺推法”其步骤为：假设满足条件的元素数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.21-设函数 -（X 1）严 mJ，Rx） 吕底）+ （2-拓，（其中m 皀 R|）.（1）上! :时,求函数 的极值；（2） 证：存在工匚：.使得im：匚在|；：-亠力；内恒成立，且方程怜肾町在：上“和；内有唯一解.【答案】 曲应.g（】n2）1门勺斗21说2；酌诫十g - 1；（2）见解析【解析】【分析】（I）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求

21、出函数的极值即可；（H）求出f （x）的导数，通过讨论 m的范围，求出f （x）的单调区间，求出满足条件的m的范围，从而证出结论即可.【详解】解：（I ）当口 】时,g（x）-（ -1）（；* x2，g = / + （x -2x =- 2x =- 2）令两U?,得斗心可胡,当变化时，亦谊屮;的变化如下表:(叫0)0feirnjl|ln2(ln2* +f(x)|101-11/极大值、极小值由表可知，或輙g山耳b?2 + rim；烝刃穩刁-g-J；（II ）设:n-O ）RO） 1 0,若Rx） 0要有解，需3有单减区间，则f（x） 0,记严（旳为函数心）的导数I则巩刈 Rm严胡,当m，0时代其）

22、单增，令代幻-。，由:n-P,得牝曲一,需考察与区 m m间的关系：2当m 2时，1叶上0, ；，在（。、亠如上广卜代-勺代卫单增，rn故兀。单增,m:工:，血叮无解；当：ti -，时，l-i1 2，Xj In 0in tn，因为|产制单增，在上汽签:哄|,在;心-创上mh In o22292=m(c m m -2In) = m( - In) = 2 - 21n = 2(1 - fci) m m m m mmm(i)若I -ln-0，即时，代仙工，欣)单增，尅2他)1，。无解;mK(ii )若| 曲一乜，即 m在-上,，；-：单减；尬匸却代冷厂q, F在区间:v上有唯一解，记为勺；在轴+ 上，询阳(川单增 ,冷)、q,书,故兀刈 b在区间傀人可上有唯一解，记为囲，则在d 上，在仅1对上代 K 在gu 上曲)0,当弋衍时，认取得最小值 吃)，此时05 C若要f(心0恒成立且欣)7有唯一解，当且仅当 心-0,即工晶,联立两式.综上，当时，： E :;:J【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、函数恒成立问题，是一道综合题.22.已知直线的方