三线摆法测量物体的转动惯量2015

1、实验三线摆法测量物体的转动惯量 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特征的一个物理量。转动惯量的大小除与物体质量 有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。如果刚体形状简单，且质量分布均匀, 可以直接计算出它绕特定轴的转动惯量。但是工程实践中，我们常常碰到大量的形状复杂，且质量分布不 均匀刚体，理论计算将极其复杂，通常采用实验方法来测定。 转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定的形式运动。通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之 间的关系，进行转换测量。测量刚体转动惯量的方法有多种，三线摆法具有设备简单、直观、测试方便的 优点。 一. 实验目的 1. 2. 3. 学会用

2、三线摆测量物体的转动惯量。 学会用积累放大法测量扭摆运动的周期。 验证转动惯量的平行轴定理。 二. 实验仪器 DH4601转动惯量测试仪，计时器，圆环，圆柱体，游标卡尺，米尺，水平仪 三. 实验原理 图1是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平， 悬 挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定， 下圆盘转动角很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可以近似的看 作简谐运动。根据能量守恒定律和刚体的转动定律均可以导出物体 绕中心轴00 的转动惯量（推导过程见附录）： .mo gRj 2 1 0 _2To 4 兀2H 0 (1-1) 式中各物理量的含义如下: m0为下盘的质量 r、

3、R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离 H0为平衡时上下盘间的垂直距离 :R 横梁 转动杆 上圆盘 悬线 /咼I H 下圆盘 A描光杆 To为下盘作简谐运动的周期, g为重力加速度。 图1三线摆实验示意图 将质量为m的待测圆环放在下盘上， 并使待测圆环的转轴与 00 轴重合。测出此时摆运动的周期 T1和 上下圆盘间的垂直距离 H。那么，可以求得待测圆环和下圆盘对中心转轴 00 的总转动惯量为: (m0 + m)gRr 十 2 1 1 2 T 1 4兀2H (1-2) 如果不计因重量变化而引起的悬线伸长，则有H俺H 0。那么，待测圆环绕中心轴 00的转动惯量为: I =1 1-1 0 (1-3)

4、因此，通过长度、质量和时间的测量，便可以求出刚体绕某轴的转动惯量。 用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为 m的物体绕通过其质心轴 AB的转动惯量为Ic,当转 轴平行移动距离x时（如图2），则此物体对新轴 00的转动惯量为I =Ic + mx2。这一结论称为转动惯量 c 的平行轴定理。 实验时将质量均为 m，形状和质量分布完全相同的两个小圆柱对称地放置在下圆盘上（下圆盘有对 称的两个小孔）。按上面的方法，测出两个小圆柱和下盘绕中心轴 00的转动周期 兀，求得两个小圆柱和 F圆盘对中心转轴 00 的总转动惯量为: (m0 +2m )gRr 2 =2Tx 4兀2H (1-4) Ix 则进一步可以

5、求出单个小圆柱对中心转轴00 的转动惯量: 1 =T Q 2 - I 0 ） 2 (1-5) 如果测量出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离 x以及小圆柱的半径 Rx，则由平行轴定理可求得 Ix =mX 电 mR 2 (1-6) 比较I x与IX的大小，可以验证平行轴定理。 计时器的操作 1. 2. 3. 打开电源，程序预置的周期为T=30。要注意的是当计时开始时，显示的是挡光杆经过光电门的次数， 当计数达到2T+1次时，计时停止并且显示具体时间（单位是秒） 。例如，我们预置周期为 50，按下执 行键开始计时，但是显示的是挡光杆经过光电门的次数。 当这个计数达到 2 X 50+1=101次时计时停

6、止， 显示具体时间。 设置周期的方法。若要设置 50次，先按“置数”开锁，再按上调（或下调）改变周期T,再按“置数” 锁定，此时，即可按执行键开始计时，信号灯不停闪烁，即为计时状态。当挡光杆经过光电门的次数 达到设定值时，数显将显示具体时间（单位秒）。只要按“返回”即可回到上次刚执行的周期数“50”， 再按“执行”键即可第二次计时。 当断电在开机时，程序从头预置30次周期，须重复上述步走骤。 四实验内容 1.用三线摆测定圆环对通过其质心且垂直于环面轴的转动惯量。 （1）调节底座水平：将水平仪置于底座任意两旋钮之间，调整底座上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间。 再把水平仪放到另外两旋钮之间，调整

7、底座上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时底座水平。 （2）调整下盘水平：将水平仪置于下盘任意两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间。 g = 表1 :有关长度测量的记录表 两圆盘之间 的垂直距离 H(cm) 上盘悬孔 间距 a(cm) 下盘悬孔 间距 b(cm) 小圆柱体 直径 2 Rx (cm) 小圆柱体 半径 Rx (cm) 放置小圆柱体 两孔间的距离 2x (cm) 小圆柱体质 心轴到中心 转轴OO 的 距离x (cm) 表2:累积法测周期的数据记录表 摆动 30次 所需时 间 (s) 下盘 下盘加圆环 下盘加两圆柱 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5

8、 5 5 求和 求和 求和 平均 平均 平均 周期 (s) T0 = T1 = Tx = 1. 根据公式(1-7)计算出r和R o 再把水平仪放到另外两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时下盘水平。 用游标卡尺测出上下圆盘三悬点之间的距离a和 b,然后算出悬点到中心的距离 由等边三角形关系算出 r和R,即 r和Ro (1-7) (4)用米尺测出两圆盘之间的垂直距离H o (5)测量空盘绕中心轴 00 转动的运动周期 To :轻轻转动上盘(上盘有小转动杆)，带动下盘转动，这样 可以避免三线摆在做扭动时发生晃动。注意扭摆的转角控制在 期(测量摆动30次所需的时间)。 5。以内

9、。用积累放大法测出扭摆运动的周 (6)测量待测圆环与下盘共同转动的周期T1 :将待测圆环置于下圆盘上，注意使两者中心重合，按上面的 方法测出它们一起扭摆运动的周期T1 o 2.用三线摆验证平行轴定理。 (1)用游标卡尺测出放置两小圆柱体小孔间距 2x o (2)测出两个小圆柱体(对称放置)与下盘共同转动的周期 Tx o 五.实验数据及其数据处理要求 下盘质量m 0 = 待测圆环质量m = 圆柱体质量m= 2. 根据公式(1-5)计算出待测圆环绕中心轴00的转动惯量I o 3.根据公式（1-5）计算出单个小圆柱对中心转轴00的转动惯量的测量值 lx。 4.由公式（1-6）计算出I X，与I x比

10、较，验证平行轴定理。 六思考题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 用三线摆测量刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？ 在测量过程中如果下盘出现晃动对周期的测量有影响吗？如有影响，应该如何避免? 三线摆放上待测物后，其摆动周期足否一定比空盘的转动周期大？为什么？ 测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？ 如何利用三摆线测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？ 三线摆在摆动种受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期足否会变化 ?对测量结果影响大吗？为什么? 附录 公式（1-1 ）的推导： 如图所示，设 R和r分别表示系绳点到 B盘中心和A盘中心 的距离，丨表示悬线的长度，

11、H表示上下盘之间的垂直距离， 由几何关系得到： 2 2 h=aq-ac=(ac1)一的 aG +ac 因为 2 2 2 2 2 (ac1)=仙)-(be) =1 -(R-r) (ac)2 =(ab2)2 -(cb2)2 =l2 -(cb2)2 利用余弦定理得（cb2）2 = R2 +r2 -2Rrcos 其中，0表示/ C0ib2。 所以有，(ac)2 =|2 -(R2 +2 -2Rrcos半) 根据以上各式, 可以得到h的表达式：h = 2Rr（1 cos） 因为悬线长度 又因为sin 2 ac, +ac 2 W 2Rr 2sin 2 acj +ac l很长，B盘的偏转角0很小，故上式中的

12、aq乏ac乏H，那么h 俺，所以 2 2H 2 2Rrsi n 2 H 上式两边同时对t求倒数, dh _ Rrd 有： dt Hdt 不计摩擦力，系统机械能守恒，即mogh1 1阴2 2 缶ddh dt dt 1 d 半1dh 所以 m0gh+ 10()2 +-m0()2 =const 2 dt2dt 因为圆盘的转动能量远比其上下运动的平动能大，所以将平动能略去后上式写为: 1 dW 2 m0gh+l0()=const 2 dt 上式两边对t求导，得=-( dt2 mogRrvp Hlo 那么有，B圆盘简谐振动的角频率 JmogRr 1吋 2江 因为简谐振动的周期To = 由以上两个式子就可

13、以求出: mogRr 丁2 2 T 0 4兀Ho 出师表 两汉：诸葛亮 先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠 志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气, 不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。 宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛 F平明之理；不宜偏私，使内外异法也。 侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事, 事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。 能”是以众议举宠为督：愚以为营中之 将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰 事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。 亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此 事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则 汉室之隆，可计日而待也-r，。 臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于 草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间, 尔来二十有一年矣。 先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受