2021高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：7函数性质的综合问题

1、函数性质的综合问题建议用时： 45 分钟一、选择题1设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，当 0x 1 时，f(x)x2 x，则 f 52()1B1A 4211C4D2551C 因为 f(x)是定义在 R 上周期为 2的奇函数，所以 f2 f 2 f 2 .又当1111510x1 时， f(x)x2x，所以 f 2 222 4，则 f 2 4.2下列函数中，既是奇函数又在 (0， )上单调递增的是 ()x xA ye eBln(|x|1)ysin x1Cy |x|Dy x xD 选项 A 、B 显然是偶函数，排除；选项 C 是奇函数，但在 (0， )上不是单调递增函数，不符合题意；

2、选项1D 中， yxx是奇函数，且yx 和1y x在 (0，1)上均为增函数，故yxx在(0， )上为增函数，所以选项D 正确 3已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有 f x5f(x)0，当5x0 时， f(x)2x24a，则 f(16)的值为 ()11A 2B233C2D2A 由 f x5 f(x) 0，得 f(x) f x5f(x5)，22f(x)是以 5 为周期的周期函数，f(16)f(1 3 5)f(1)f(x)是 R 上的奇函数，f(0)1a0，a 1.5当4 x 0 时， f(x)2x 1，f(1) 211 12，11f(1)2，f(16)2.定义在R上的奇函数f(x)满足f x

3、3 f(x)，当 x0，1时，f(x)log1x)，422(123则 f(x)在区间 1，2 内是 ()A 减函数且 f(x)0B减函数且 f(x)0C增函数且 f(x)0D增函数且 f(x)00，1 时，由1 ，又函数D 当 x2f(x)log2(1x)可知，f(x)单调递增且 f(x)0f(x)13为奇函数，所以 f(x)在区间 2， 0 上也单调递增，且 f(x) 0.由 f x2f(x)知，函数33上，函数 f(x)单调递增且 f(x)0.的周期为 ，所以在区间 1，225(2019 合肥调研 )定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2) f(x)，且在 0,1上是减函数，则有

4、()311A f2 f4f 4113Bf 4 f 4f 2311Cf 2 f 4f 4Df 1f3f1424C 因为 f(x 2) f(x)，所以 f(x 4) f(x2) f(x)，所以函数的周期为4，作311出 f(x)的草图，如图，由图可知f 2f4f 4 .二、填空题6已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4)f(x2)若当 x3,0时， f(x) 6 x，则 f(919)_.6 f(x4) f(x2)，f(x 6)f(x)，f(x)的周期为 6，919153 6 1，f(919)f(1)又 f(x)为偶函数， f(919) f(1) f(1)6.7定义在实数集R 上的函数

5、 f(x)满足 f(x)f(x2) 0，且 f(4x)f(x)现有以下三个命题：8 是函数 f(x)的一个周期； f(x)的图像关于直线x2 对称； f(x)是偶函数其中正确命题的序号是 _f(x)f(x 2)0， f(x 2) f(x)， f(x 4) f(x 2)f(x)，f(x)的周期为 4，故正确；又 f(4x) f(x)，所以 f(2 x)f(2 x)，即 f(x)的图像关于直线x2对称，故正确；由 f(x)f(4x)得 f( x)f(4 x)f(x)，故正确 18已知定义在 R 上的奇函数 yf(x)在(0， )内单调递增，且 f2 0，则 f(x)0的解集为 _x1x0或x1 由

6、奇函数 yf(x)在(0， )内单调递增，且 f1 ，2220111可知函数 yf(x)在( ，0)内单调递增，且 f 2 0.由 f(x)0，可得 x 2或 2x 0.三、解答题9设 f(x)是定义域为 R 的周期函数，最小正周期为2，且 f(1x) f(1x)，当1x0 时， f(x) x.(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)试求出函数 f(x)在区间 1,2上的表达式解 (1)f(1 x)f(1 x)，f(x) f(2x)又 f(x2)f(x)，f(x)f(x)又 f(x)的定义域为 R，f(x)是偶函数(2)当 x0,1 时， x 1,0，则 f(x)f(x)x；从而当 1x2 时，

7、1x20，f(x)f(x2) (x2) x 2. x，x 1， 0，故 f(x) x， x 0，1 ， x2，x1，2.10设函数 f(x)是(， )上的奇函数， f(x2) f(x)，当 0x1 时， f(x) x.(1)求 f( )的值；(2)当 4x4 时，求函数 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积解 (1)由 f(x2) f(x)得，f(x4)f(x2) 2 f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f( )f(14 )f( 4) f(4) (4)4.(2)由 f(x)是奇函数且 f(x 2) f(x)，得 f(x1)2 f(x 1)f(x1)，即 f(

8、1 x)f(1 x)故函数 yf(x)的图像关于直线x1 对称又当 0x1 时， f(x) x，且 f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示当 4x 4 时，设f(x) 的图像与x 轴围成的图形面积为S，则 S 4SOAB14 221 4.1(2019 惠州调研 )已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在 (， 0上是减函数，且f(1)2，则不等式 f(log2x) 2 的解集为 ()A (2， )B0，1(2， )2C，2( 2， )D(2， )02B f(x)是 R 上的偶函数，且在 ( ，0上是减函数，所以 f(x)在0， )上是增函数，因为 f(1)2，所以 f(1)2

9、，所以 f(log 2x)2? f(|log2x|)f(1)? |log2x| 1? log2x11 或 log2x 1? x 2 或 0x2.故选 B.2已知函数 y f(x)的定义域为 R，且满足下列三个条件：对任意的 x1，x2 4,8，当 x1x2 时，都有 f x1 f x2 0 恒成立；x1x2 f(x4) f(x)；yf(x4)是偶函数若 a f(7)，bf(11)， c f(2 018)，则 a， b， c 的大小关系正确的是 ()A abcBb caCacbDc baB由知函数f(x)在区间 4,8 上为单调递增函数；由知f(x 8) f(x4)f(x)，即函数 f(x)的周

10、期为 8，所以 cf(2 018) f(252 8 2)f(2)，bf(11)f(3)；由可知函数 f(x)的图像关于直线x4 对称，所以 b f(3)f(5)，cf(2)f(6)因为函数 f(x)在区间 4,8 上为单调递增函数，所以f(5)f(6) f(7)，即 bca，故选 B.3定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)， f(x2) f(x)且 f(x)在 1,0上是增函数，给出下列几个命题：f(x)是周期函数； f(x)的图像关于 x1 对称；f(x)在 1,2上是减函数； f(2) f(0)，其中正确命题的序号是 _(请把正确命题的序号全部写出来)因为 f(x

11、 y)f(x)f(y)对任意 x，yR 恒成立令 x y 0，所以 f(0)0.令 x y 0，所以 y x，所以 f(0)f(x)f( x) 所以 f(x) f(x)，所以 f(x)为奇函数因为 f(x)在 x1,0上为增函数，又f(x)为奇函数，所以 f(x)在0,1 上为增函数由 f(x2) f(x)? f(x4) f(x2) ? f(x4) f(x)，所以周期 T 4，即 f(x)为周期函数f(x2) f(x)? f( x 2) f(x)又因为 f(x)为奇函数所以 f(2x)f(x)，所以函数关于 x 1 对称由 f(x)在0,1 上为增函数，又关于 x1 对称，所以 f(x)在1,

12、2 上为减函数由 f(x2) f(x)，令 x0 得 f(2) f(0)f(0)4已知函数 y f(x)在定义域 1,1上既是奇函数又是减函数(1)求证：对任意 x1 ，x2 1,1，有 f(x1)f(x2 )(x1 x2)0；(2)若 f(1a)f(1a2) 0，求实数 a 的取值范围若 x1 x20，则 1x1 x21，因为 f(x)在 1,1上是减函数且为奇函数，所以 f(x1 ) f( x2 ) f(x2 )，所以 f(x1)f(x2)0.所以 f(x1) f(x2)(x1x2)0 成立若 x1 x20，则 1x1 x21，同理可证 f(x1 )f(x2)0.所以 f(x1) f(x2

13、)(x1x2)0 成立综上得证，对任意x1，x2 1,1，有 f(x1)f(x2) (x1x2) 0 恒成立(2)因为 f(1 a)f(1 a2) 0? f(1a2) f(1a) f(a1)，所以由 f(x)在定义域 1 1 a21，1,1上是减函数，得 1 a 1 1，1a2a1，0a2 2，即 0a2，a2 a 2 0，解得 0a1.故所求实数 a 的取值范围是 0,1)1定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意xR 有 f(x 4)f(x)； f(x)在 0,2上是增函数； f(x2)的图像关于 y 轴对称则下列结论正确的是()A f(7) f(6.5) f(4.5)Bf(7) f(4

14、.5) f(6.5)Cf(4.5) f(6.5) f(7)Df(4.5) f(7) f(6.5)D 由知函数 f(x)的周期为 4，由知 f(x2)是偶函数，则有 f( x 2)f(x 2)，即函数 f(x)图像的一条对称轴是 x 2，由知函数 f(x)在 0,2 上单调递增，则在 2,4上单调递减，且在 0,4上越靠近 x 2，对应的函数值越大，又 f(7)f(3)，f(6.5) f(2.5)，f(4.5) f(0.5)，由以上分析可得f(0.5) f(3) f(2.5)，即 f(4.5)f(7)f(6.5)故选 D.12设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图像关于直线 x1 对称，对任意 x1，x2 0， 2 ，都有 f(x1 x2 )f(x1) f(x2 )1 1(1)设 f(1)2，求 f 2 ，f 4 ；(2)证明： f(x)是周期函数121212，1，知f(x)