2021高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：47立体几何中的向量方法

1、立体几何中的向量方法建议用时： 45 分钟一、选择题1若直线l 的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l 与平面 所成的角等于 (A 120C30)B60D60或 30C 设直线 l 与平面 所成的角为 ，直线 l 与平面 的法向量的夹角为 .则 sin 1|cos |cos 120 | .2又 0 90 ，30 .2在正方体A1B1C1D1-ABCD中， AC 与 B1D所成角大小为()A.6B.4C.3D.2D 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为 1，则 A(0,0,0), C(1,1,0)， B1(1,0,1)，D(0,1,0). AC(1,1,0)，B1D (1,1

2、， 1)，ACB1D1(1) 1 10(1) 0， 与1D 所成的角为1D，.ACBACB23.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CACC12CB，则直线BC1 与直线1 夹角的余弦值为()AB55A. 5B. 3253C.5D.5A 设 CA2，则 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量 AB1 ( 2,2,1) ， BC1 (0,2 ， 1) ， 由向 量 的 夹 角 公 式 得 cos AB1， BC1 2 0 2 2 1 1155.0 4 1 44154在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB 1

3、， AC2， BC3， D，E 分别是 AC1 和BB1 的中点，则直线 DE 与平面 BB1 C1C 所成的角为 ()A 30B45C60D90A 由已知 AB2BC2 AC2，得 AB BC.以 B 为原点，分别以 BC，BA，BB1 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设1AA 2a，则A(0,1,0)， C(3，0,0)，3 1311 1D 2 ，2，a，E(0,0，a)，所以 ED2，2，0，平面 BB C C 的一个法向量为 n(0,1,0)，121EDncos ED，n 3 21 2 2，ED， n 60 ，所以直线|ED |n|22 20 1DE

4、 与平面 BB C C 所成的角为 30.故选 A.115.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，且BC平面 PAB，PA AB， M 为 PB 的中点， PA AD 2.若AB1，则二面角 B-AC-M 的余弦值为 ()63A. 6B. 621C. 6D.6A 因为BC平面PAB，PA平面PAB，所以PA BC，又PAAB，且BCABB，所以PA平面ABCD.以点A 为坐标原点，分别以AB，AD，AP 所在直线为x 轴，y轴， z 轴，建立空间直角坐标系A-xyz.1则 A(0,0,0)，C(1,2,0)， P(0,0,2)， B(1,0,0)， M 2，0，1

5、，所以，1AM，0，1 ，AC(1,2,0)2求得平面 AMC 的一个法向量为n(2,1,1)，又平面 ABC 的一个法向量 AP(0,0,2)，216nAP所以 cosn ，AP6 .41126|n|AP|6所以二面角 B-AC-M 的余弦值为6 .二、填空题6在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA12AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于 _2以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 如图，设 AA132AB2，则 D(0,0,0)， C(0,1,0)，B(1,1,0)，1 (0,1,0)，DB (1,1,0)，DC1(0,1,2)C (0,1,2)，则 DC设平面

6、 BDC1 的法向量为 n (x，y， z)，nDB 0，则nDC10，x y 0，所以有y 2z0，令 y 2，得平面 BDC1 的一个法向量 n(2， 2,1)设 CD 与平面 BDC1 所成的角为 ，则2nDCsin |cosn，DC|3.|n|DC|7(2019 汕头模拟 )在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， ABC90，AD1BC，SA平面 ABCD，SAABBC1，AD2，则平面 SCD 与平面 SAB 所成锐二面角的余弦值是 _6如图所示，建立空间直角坐标系，则依题意可知，31D 2， 0， 0 ，C(1,1,0)， S(0,0,1)，1可知 AD，0，0 是平面 SAB

7、 的一个法向量2设平面 SCD 的一个法向量 n(x， y， z)， 1因为 SD 2，0， 1 ， 1DC 2， 1， 0 ，所以nSD 0，nDC0，x2z0，即x2y0.令 x 2，则有 y 1， z 1，所以 n(2， 1,1)设平面 SCD 与平面 SAB 所成的锐二面角为，|ADn|则 cos |AD|n|120 1 01623.1 222122 2 18.(2019 北京模拟 )如图所示，四棱锥 P-ABCD 中， PD底面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PD2，E 是棱 PB的中点， M 是棱 PC 上的动点，当直线 PA 与直线 EM 所成的角为 60时

8、，那么线段 PM 的长度是 _54 2 如图建立空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，AP ( 2， 0， 2)，E 是棱 PB 的中点，E(1,1,1)，设 M(0,2m， m)，则 EM ( 1， 1 m，m1)， cos AP， EMAPEM|AP|EM|22(m 1)2212 m1 212，353解得 m4，M 0， 4， 4 ，25255PM16 164 2.三、解答题9.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1 中， ABAA12，点P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点(1)求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值；(2)求直线 CC1 与平面

9、 AQC1 所成角的正弦值解 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，设 AC， A1C1 的中点分别为 O，O1，连接 OB，OO1，则 OBOC，OO1 OC， OO1OB，以 OB，OC， OO1 为基底，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.因为 AB AA12，所以 A(0， 1,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0， 1,2)，B1(3， 0,2)，C1(0,1,2)11的中点，所以P31，(1)因为 P 为 A B2 ， 2， 2311从而 BP 2， 2， 2 ，AC (0,2,2)， |14|1|BPAC |310故|cos BP， AC |120 .52

10、2|BP| |AC1|因此，异面直线 BP 与 AC所成角的余弦值为31020 .131，(2)因为 Q 为 BC 的中点，所以Q2 ，2，033因此 AQ2，2，0 ， AC1(0,2,2)，CC1(0,0,2)设 n(x，y，z)为平面 AQC1 的一个法向量，33则AQn 0，即2 x2y 0，AC1n0，2y0.2z不妨取 n(3， 1,1)设直线 CC 与平面 AQC 所成角为 ，11 125|CC1n|则 sin |cosCC ，n|5，5 2|CC1| |n|1与平面1所成角的正弦值为5所以直线 CCAQC5 .10 (2019 全国卷 )如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1

11、 的底面ABCD 是正方形，点11E 在棱 AA上， BEEC .(1)证明： BE平面 EB1 C1；(2)若 AEA E，求二面角 B-EC-C的正弦值11解 (1)证明：由已知得， BC 平面 ABB A ，BE平面1111ABB1A1，故 B1C1BE.又 BEEC1， B1C1 EC1C1，所以 BE平面 EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知 RtABERtA1B1E，所以AEB45，故 AEAB，AA12AB.位长度，以 D 为坐标原点， DA的方向为 x 轴正方向， |DA|为单建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则 C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0

12、,1,2)，E(1,0,1)，CB1(0,0,2)(1,0,0)， CE (1， 1,1)， CCx0，设平面 EBC 的法向量为 n(x，y，z)，则CBn0，即xyz0，CEn0，所以可取 n (0， 1， 1)设平面 ECC1 的法向量为 m (x1， y1，z1)，则CC1m0，CEm 0，2z10，即x1y1 z10，所以可取 m(1,1,0)nm1于是 cosn ，m |n|m| 2.3所以，二面角 B-EC-C1 的正弦值为 2 .1设正方体 ABCD-A1 B1C1D1 的棱长为 2，则点 D1 到平面 A1BD 的距离是 ()32A. 2B. 22223C.3D.3D 如图建

13、立坐标系， 则 D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D1A1(2,0,0)，DB(2,2,0)，DA1 (2,0,2)设平面 A1BD 的法向量为n(x，y，z)，则2x2z 0，2x2y 0，nDA1 0，nDB0，令 z 1，得 n(1,1,1)11|D1A1n| 2 2 3D到平面 A BD 的距离 d |n|3 3 .2.如图，平面 ABCD平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF 是矩形，且 AF1 ，是EF的中点，则GB与平面2ADa GAGC 所成角的正弦值为 _63如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,2

14、a,0)， C(0,2a,2a)， G(a，a,0)，AG(a， a,0)， AC(0,2a,2a)，BG(a， a,0)，设平面 AGC 的法向量为 n1 (x1，y1,1)，AGn 0ax ay 0x 1111?1，由? n1(11,1)2ay2a0y 1ACn10116sin |BGn1|2a2a3.|3|BG|n13已知正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点，则 AE 与 SD 所成角的余弦值为 _3以两对角线 AC 与 BD 的交点 O 作为原点，以 OA，OB，3OS 所在直线分别为 x，y， z 轴建立空间直角坐标系，设边长为2，则有 O(0,0

15、,0)，A( 2，0,0)， B(0，2，0)，S(0,0，2)，D(0， 2， 0)，E 0，22，2 ， 2，2，2，2)，2 ，SD(0，AE222 23|cos|AESD|AE，SD 3，23|AE|SD|故 AE 与SD 所成角的余弦值为33 .4(2018 全国卷 )如图所示，在三棱锥P-ABC中，ABBC22，PAPB PC AC 4， O 为AC的中点(1)证明： PO平面ABC；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M-PA-C为 30，求PC与平面 PAM 所成角的正弦值解 (1)证明：因为 APCPAC 4，O 为AC 的中点，所以OP AC，且OP2 3.连接OB.因为A

16、BBC22 AC，所以 ABC 为等腰直角三角形，1且 OB AC，OB 2AC 2.由 OP2 OB2 PB2 知 PO OB.由 OPOB， OP AC， OB AC O，知 PO平面 ABC.轴正(2)如图，以 O 为坐标原点， OB的方向为 x方向，建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得 O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2，0)，C(0,2,0)，P(0，0,23)， AP(0,2,2 3)取平面PAC 的一个法向量 OB(2,0,0)设 M(a,2a,0)(0 a 2)，则 AM (a,4a,0)设平面 PAM 的法向量为 n(x，y，z)由APn 0，AMn0 得2y2

17、3z0，可取 n(3(a4)，3a， a)，ax 4 a y 0，23 a43所以 cosOB，n 222.由已知可得 |cos OB，n|2 ，243aa3 a23|a 4|34所以3 a42222 ，解得 a 4(舍去 )或 a3，2 3a a83434.所以 n 3，3，3又，所以，3PC(0,22PC .3)cosn4所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为34 .1已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的各棱长均为 2， A1AD60， BAD 90，平面 A1ADD1平面 ABCD，则直线 BD1 与平面 ABCD 所成的角的正切值为()313A. 4B.43939C. 13

18、D.3C 取 AD 中点 O，连接 OA1，易证 A1O平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，平面得 B(2， 1,0)，D1(0，2， 3)，BD1(2,3， 3)，|BD n|1ABCD 的一个法向量为n (0,0,1)，设 BD1 与平面 ABCD 所成的角为 ，sin |BD1|n|34 ，39tan 13 .2(2019 天津高考 )如图，AE平面 ABCD，CF AE，ADBC，AD AB，ABAD1，AEBC2.(1)求证： BF平面 ADE ；(2)求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；1(3)若二面角 E-BD -F 的余弦值为 3，求线段 CF 的长解 依题意，可以建立以 A 为原点，分别以 AB，AD，AE的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向的空间直角坐标系(如图 )，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)， C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)设 CF h(h 0)，则 F(1，2，h).依题意， 0，(1)AB(1,0,0)是平面 ADE 的法向量，又 BF(0,2， h)，可得 BFAB又因为直线 BF平面 ADE，所以 BF平面 ADE.