2017年长宁区高考数学二模试卷含答案

1、2017 长宁区高考数学二模试卷含答案2017.04.05（满分 150 分，答题时间120 分钟）考生注意：1本场考试时间120 分钟试卷共4 页，满分 150 分答题纸共2 页2作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号将核对后的条形码贴在答题纸指定位置3所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位在试卷上作答一律不得分4用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第 16 题每题4 分，第712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1已知集合 Ax x1，xR ，集合B x x 2， xR，

2、则 A I B_已知复数z满足 (23i)z32i （i为虚数单位），则| z |_ .23函数 f (x)sin x2cosx的最小正周期是 _2cosxsin x4已知双曲线x2y21(a0)的一条渐近线方程为y2x，则 a _ a2(a3)25若圆柱的侧面展开图是边长为4cm_ cm3（结果精确的正方形，则圆柱的体积为到 0.1cm3 ）xy06已知 x，y 满足xy2 ，则 z 2xy 的最大值是 _ x207直线xt1 （ t 为参数）与曲线x3cos（为参数）的交点个数是 _y2ty2sinf (x)2x ， x0,f1(x) ，则 f1(1)= _.8已知函数，的反函数是log2

3、 x 0x 121 x (1 x)2(1x)3 L (1x)nN* ) 的展开式中 x 项的9设多项式(x 0，n系数为 Tn ，则 lim Tn2_.nn10生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和 p ，1 / 9每道工序产生废品相互独立若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则 p =_.11已知函数f (x)x xa ，若对任意 x12,3 ， x22,3 ， x1 x2 ，恒有f ( x1x2 )f ( x1 )f ( x2 ) ，则实数 a 的取值范围为 _ 2212对于给定的实数k的图像上总存在点 C ，使得以 C 为圆心， 1

4、为半k 0，函数 f (x)x径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为 1，则 k 的取值范围是 _二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13设 a，b R ，则“ ab 4”是“ a 1且 b3”的（）（ A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（ C）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14如图， P 为正方体 ABCDA1 B1C1 D1 中 AC1 与 BD1 的交点，则PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（）D1C11B1APDCAB（ A ）（B ）（C）（ D）15如图，

5、 AB 为圆 O 的直径且 AB4 ， C 为圆上不同于A 、 BCP 为半径 OC 上的动点，则uuuruuuruuur的任意一点，若(PAPB )PC 的P最小值是（）AOB（ A ） 4（B） 3（ C） 2（D ） 116 设 x1 ，x2 ，L，x10 为 1，2，L，10 的一个排列，则满足对任意第 15 题图正整数 m，n ，且 1m n10 ，都有 xm mxnn 成立的不同排列的个数为（）（ A ） 512（ B） 256（ C） 255（ D） 64三、解答题（本大题共有5题，满分76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17（本题满分 14 分，第 1

6、小题满分8 分，第2 小题满分6 分）2 / 9如图，在正方体ABCDA1B1C1 D1 中， E、F 分别是线段 BC、 CD1 的中点（ 1）求异面直线EF 与 AA1所成角的大小；D1C1（ 2）求直线 EF 与平面 AA1B1B 所成角的大小A1B1FDCEAB18（本题满分 14 分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分 8 分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为ACB6 米（已有两面墙的可（即），墙 AB 的长度为33利用长度足够大） ，记ABC（ 1）若ABC 的周长（结果精确到 0.01米）；，求4（ 2）

7、为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即ABC 的面积尽可能大问当为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积ABC19（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8 分）已知抛物线 y22 px（ p 0 ），其准线方程为 x 10 ，直线 l 过点 T (t , 0)（ t0 ）3 / 9且与抛物线交于A 、 B 两点， O 为坐标原点（ 1）求抛物线方程，并证明：OA OB 的值与直线 l 倾斜角的大小无关；（ 2）若 P 为抛物线上的动点，记| PT |的最小值为函数d(t ) ，求 d (t) 的解析式20（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4

8、 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分6 分）对于定义域为D 的函数 yf ( x) ，如果存在区间 m,nD ，其中 mn ，同时满足： f ( x) 在 m,n 内是单调函数； 当定义域是 m, n 时， f ( x) 的值域也是 m, n 则称函数 f ( x) 是区间 m,n 上的“保值函数” ，区间 m, n 称为“保值区间” （ 1）求证：函数 g( x)x22x 不是定义域 0,1 上的“保值函数” ；（ 2）若函数f ( x) 211）是区间m, n 上的“保值函数” ，a（ a R , a 0求 a 的取值范围；a 2 x（ 3）对（ 2）中函数 f ( x) ，若不

9、等式 | a 2 f ( x) |2x 对 x1 恒成立，求实数 a 的取值范围21（本题满分18 分，第 1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分8 分）已知数列 an 中， a11， a2a ， an 1k(anan 2 ) 对任意 nN * 成立，数列 an 的前 n 项和为 Sn （ 1）若 an 是等差数列，求k 的值；（ 2）若 a 1 ， k1，求 Sn ；2（ 3）是否存在实数 k ，使数列 a是公比不为的等比数列且任意相邻三项am，a，n1m 1am 2 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由2016学年第二学期高三质量调

10、研数学参考答案及评分标准说明1本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评4 / 9分标准的精神进行评分2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分3第 17 题至第 21 题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数4给分或扣分均以1 分为单位一. 填空题（本大题满分54 分）本大题共有12 题， 1-6 每题 4 分， 7

11、-12 每题 5 分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1 ( 1,2) ；2 1；34 3；55.1；63；72 ；81；9.1 ；10. 0.03；211 3,；12.0,2 .二. 选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分.13. B； 14. C； 15 C； 16. A .三解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.( 本题满分14 分）本题共2 小题，第（ 1）小题 8 分，第（ 2）小题 6

12、分 .解：（ 1）设正方体棱长为2 ，以 D 为原点，直线DA ， DC ， DD 1 为 x ， y ， z 轴，建立5 / 9空间直角坐标系，则 D (0 , 0 , 0) ， B(2 , 2 , 0) ， C (0 , 2 , 0) ， D1(0 , 0 , 2) ，故 E(1, 2 , 0) ， F (0 ,1,1) ，uuuruuurEF 1, 1,1 ， AA10,0,2 4 分设异面直线 EF 与 AA1 所成角的大小为uuur uuur，向量 EF 与 AA1 所成角为，则uuuruuurcoscosEF gAA1uuuruuur 6分EF gAA113arccos 3333即

13、异面直线 EF 与 AA1 所成角的大小为 arccos 3 8 分3r（2）由（ 1）可知，平面AA1B1B 的一个法向量是n (1, 0 , 0) ， 10 分设直线 EF 与平面 AA1B1 B 所成角的大小是uuur r，向量 EF 与 n 所成角为，则uuur rsincosEF gn，12分uuur rEF gnsin3arcs in33，3即直线 EF 与平面 AA1B1 B 所成角的大小为 arcsin314 分3(不用建立空间直角坐标来解相应给分)18（本题满分 14 分）第（ 1）小题满分6 分，第（ 2）小题满分 8 分 .解：（ 1）在 ABC 中，由正弦定理得ABAC

14、BC，2 分sin sinsin34346 / 9化简得， AC26 ， BC43 sin 7632 ，4 分12所以， cACBC AB3(62)17.59 米，即ABC 的周长为17.59米；6 分（2） S ABC1 ACBC sin 8 分23=123 sinsin 10 分3123sin13sincos2263(sin 23 sincos)6 31cos 23 sin 22263 sin 233 12 分6因为 022 ，所以当62，393 平方米14 分即3时， S ABC 取到最大值19.(本题满分14 分）本题共2 小题，第（1）小题 6分，第（ 2）小题 8分 .解：（ 1）

15、由题意，p 2，所以抛物线的方程为y24x 2 分当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 x t，则 A(t , 2t ) ， B(t ,2t ) ，OA OBt 24t 3 分当直线 l 的斜率 k 存在时，则 k0，设 l 的方程为 yk( xt) ， A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，y24x ,消去 x ，得 ky24 y4kt 0，故y1y24 ,由t ) ,ky k( xy1 y24t ,所以，OA OBx1x2y1 y2y12 y22y y2t2t5 分1614 综上， OA OB 的值与直线 l 倾斜角的大小无关6 分（2）设 P( x0 , y0

16、 ) ，则 y024 x0 ， | PT |( x0t )2y02 x0(t 2) 24t 4 ，8 分因为 x00 ，所以 d (t)2t1 , t2 ,14 分t,0t2 .7 / 920.( 本题满分16 分）本题共3 小题，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 6分 .解：（ 1）函数 g( x)x 22x在 x0,1 时的值域为 1,0 ，2 分不满足“保值函数”的定义，因此函数 g (x)x 22x 不是定义域 0,1上的“保值函数” 4 分（2）因为函数 f ( x)211在 m,n 内是单调增函数，aa 2 x因此 f (m)m, f ( n)n ，6

17、 分因此 m, n 是方程211x 的两个不相等的实根，aa 2 x等价于方程2x2(22a)x10有两个不相等的实根8 分aa由(22a)2420解得 a3或 a110 分aa221a2f (x)2a2a1（3） a2f (x) 2a2a，| a2f (x) | 2x2x2 ，xx2x2a 2a2 x1,即为2a 21x对 x1恒成立12 分a2x,x令 h( x)2x1，易证 h( x) 在 1,) 单调递增，同理g (x)1) 单调递减x2x在 1,x因此， h(x)minh(1)3, g( x)maxg (1)114 分所以2a2a3, 解得3a1 15 分2a 2a1,23或 a11

18、又 a，所以 a 的取值范围是a 1 16 分22221.( 本题满分18 分）本题共3 小题，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 8分 .解：（ 1）若 an 是等差数列， 则对任意 nN* ，anan 2an 1，即2an 1an an 2，an 1故 k1 4 分28 / 9（2） k1 时， an 11 (anan 2 ) ，即 2an 1anan 2 ，22an 2an1(an1an ) ，故 an3an 2( an2an 1)an1an 5 分所以，当 n 是偶数时，Sna1a2a3a4an1ann (a1 a2 )n ；7 分2当 n 是奇数时， a2a3( a1a2 )2 ，Sna1a2a3a4an 1ana1(a2a3 ) (a4a5 )(an 1an )1n1 (2)2n 8 分2综上， Sn2 n , n 2k 1 ,N * )10 分n ,n2k( k（3）若 an 是等比数列，则公比a2a ，由题意 a1，qa1故