高等数学课本(下)

1、第一节 多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限.教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理.教学难点：计算多元函数的极限.教学内容：一、平面点集 n维空间讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念.由于讨论多元函数的需要，我们首先把邻域和区间概念加以推广，同时还要涉及其它一些概念.1 平面点集设是平面上的一个点，是某一正数.与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即 =， 也就是 = .在几何上，就是平面以上点为中心、为半径的圆的内部的点的全体.设e是平面上的一

2、个点集，p是平面上的一个点.如果存在点的某一邻域，则称为的内点（画图8-1显示）.显然，的内点属于.如果的点都是内点，则称为开集.例如，点集中每个点都是1的内点，因此1为开集.如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点（点本身可以属于，也可以不属于），则称为的边界点（可画图8-2显示）.的边界点的全体称为的边界.例如上例中，1的边界是圆周和 =4.设d是开集.如果对于d内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于d，则称开集d是连通的.连通的开集称为区域或开区域.例如，及都是区域.开区域连同它的边界一起，称为闭区域，例如 0及14都是闭区域.对于点集，如果存在正数k，使一切点与某一

3、定点a间的距离|a|不超过k，即 |a|k, 对一切成立，则称为有界点集，否则称为无界点集.例如，14是有界闭区域，0是无界开区域.2 维空间我们知道，数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合，即直线.在平面上引入直角坐标系后，平面上的点与二元数组一一对应，从而二元数组全体表示平面上一切点的集合，即平面.在空间引入直角坐标系后，空间的点与三元数组（）一一对应，从而三元数组（）全体表示空间一切点的集合，即空间.一般地，设为取定的一个自然数，我们称元数组（）的全体为维空间，而每个元数组称为维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标.维空间记为rn.维空间中两点及间的距离

4、规定为.容易验知，当=1，2，3时，由上式便得解析几何中关于直线（数轴），平面，空间内两点的距离.二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例8-1 圆柱体的体积v和它的底半径、高之间具有关系 .这里，当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定.例8-2 一定量的理想气体的压强、体积和绝对温度之间具有关系 =，例8-3 设是电阻、并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系 定义8-1-5 设是维空间的非空子集，若存在对应关系，对中任意点，按照对应关系，对应唯一一个，则称对应关系是定义在上的元函数，表示为：点对应的数称为函数在点的函数值，表示为：

5、或 数集称为函数的定义域，函数值的集合称为函数的值域，表示为. 元函数有个自变数，当给定一个函数，没有特别指明它的定义域，就认为它的定义域是使该函数有意义的点的集合，一般可由函数解析式确定.与一元函数相同，我们约定将元函数：，表示为或 根据多元函数的概念，不难看出8-1，8-2，8-3都是多元函数，二元和二元以上的函数统称为多元函数.例8-4 求函数的定义域.解 函数的定义域是，它是位于直线上方的平面，不含直线（图8-5），是一个无界开区域.例8-5 求函数的定义域.为解 函数的定义域为（图8-6），这是一个闭区域. 图8-6x+y=0图8-5设函数的定义域为.对于任意取定的点，对应的函数值为

6、.这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点 .当遍取上的一切点时，得到一个空间点集 ，这个点集称为二元函数的图形.通常我们也说二元函数的图形是一张曲面.三、多元函数的极限与一元函数的极限概念类似，如果在的过程中，对应的函数值无限接近一个确定的常数，我们就说a是函数，时的极限.下面用“”语言描述这个极限概念.定义 设函数在开区域（或闭区域）内有定义，是的内点或边界点.如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式 的一切点，都有成立，则称常数为函数当，时的极限，记作 ，或 （），这里 .为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限.例8-6 设 （），证明 .证

7、 因为，可见，对任给，取，则当 时，总有 成立所以 注：所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于a.因此，如果以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，如果当以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在.下面用例子来说明这种情形. 显然，当点沿轴趋于点时，；又当点沿轴趋于点时，. 虽然点以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是并不存在.这是因为当点沿着直线趋于点时,有 ， 显然它是随着的值的不同而改变的.四多元函数的连续性有了多元函数极限

8、的概念，就不难说明多元函数的连续性.定义 设函数在开区域（闭区域）内有定义，是的内点或边界点且.如果 ,则称函数在点连续.定义 如果函数在开区域（或闭区域）内的每一点连续，那么就称函数在内连续，或者称是内的连续函数.以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到元函数上去.若函数在点不连续，则称为函数的间断点.这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）内某些孤立点，或者沿d内某些曲线，函数没有定义，但在内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数的不连续点，即间断点.与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质.性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域

9、 上的多元连续函数，在上一定有最大值和最小值.这就是说，在上至少有一点及一点，使得为最大值而为最小值，即对于一切pd, 有 .性质2（介值定理） 在有界闭区域上的多元连续函数，如果在上取得两个不同的函数值，则它在上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.特殊地，如果是函数在上的最小值和最大值之间的一个数，则在上至少有一点，使得.一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用；根据极限运算法则， 可以证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数；在分母不为零处，连续函数的商是连续函数.多元连续函数的复合函数也是连续函数.与一元的初等函数相类似，多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子

10、是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的（这里指出，基本初等函数是一元函数，在构成多元初等函数时，它必须与多元函数复合）.例如，是两个多项式之商，它是多元初等函数.又例如是由基本初等函数与多项式复合而成的，它也是多元初等函数.根据上面指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合的连续性，再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元初等函数的连续性，如果要求它在点处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即 .例

11、8-7 求.解 函数 是初等函数，它的定义域为.因不是连通的，故不是区域.但是区域，且，所以是函数的一个定义区域.因, 故 .如果这里不引进区域，也可用下述方法判定函数在点处是连续的：因是的定义域的内点，故存在的某一邻域，而任何邻域都是区域，所以是的一个定义区域，又由于是初等函数，因此在点处连续.一般地，求，如果是初等函数，且是的定义域的内点，则在点处连续，于是.例8-8 求.解 =.小结：本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念.讨论中我们以二元函数为主，针对二元函数的极限及连续予以重点介绍.从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推.第二节 偏导数教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元

12、函数的偏导数和多阶偏导数。教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算二元、多元函数的偏导数。教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。教学内容：一、 偏导数的定义在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多.在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率.以二元函数为例，如果只有自变量变化，而自变量固定（即看作常量），这时它就是 的一元函数，这函数对的导数，就称为二元函数对于的偏导数，即有如下定义：定义 设函数 =在点的某一邻域内有定义

13、，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量,如果 (1)存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作, , 或例如，极限（1）可以表示为 . (2)类似地，函数在点处对的偏导数定义为 (3)记作, , 或如果函数在区域d内每一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，记作, , 或类似地，可以定义函数对自变量的偏导数，记作, , 或由偏导数的概念可知，在点处对处对的偏导数显然就是偏导函数 在点处的函数值；就是偏导函数在点 处的函数值.就象一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.至于实际求的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有

14、一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍就是一元函数的微分法问题.求时，只要把暂时看作常量而对求导数；求 时，则只要把 暂时看作常量而对求导数.偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数.例如三元函数 =() 在点() 处对的偏导数定义为其中 ()是函数 的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.例8-9 求 在点(1, 2)处的偏导数.解 把看作常量，得把 看作常量，得将 (1, 2)代入上面的结果，就得，例8-10 求的偏导数.解 , 例8-11 设,求证：+证 因为 , ,所以 +=+例8-12 求的偏导数.解 把 和都看作常量，得 =由于所给函数关于自变量的对称性，

15、所以=, =.二、 偏导数的几何意义二元函数在点的两个偏导数有明显的几何意义：设为曲面上的一点，过作平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数, 即偏导数,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率（见图8-6）.同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续.但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点沿着平行于坐标轴的方向趋于时，函数值趋于,但不能保证点按任何方式趋于时，函数值都趋于.例如，函数在点（0，0）对的偏导数为同样有但是我们在第一节中已经

16、知道这函数在点（0，0）并不连续.三、 高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数, ,那么在d内 、都是的函数.如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数： =, =, =, =其中第二、三个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及阶偏导数.二阶及阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例8-13 设，求、及 .解 = , = ； = , = ； = , = ； = 6我们看到上例中两个二阶混合偏导数相等，即 = 这不是偶然的.事实上，我们有下述定理.定理 如果函数的两个二阶混合偏导数及 在区域d内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相

17、等.换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.这定理的证明从略.对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数.而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关.例8-14 验证函数满足方程 +=0 . 证 因为,所以 =, =,=因此 +=+=0定理 如果函数的两个二阶混合偏导数及 在区域d内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.这定理的证明从略.对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数.而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关.例8-15 验证函数满足方程 +=0 . 证

18、因为,所以 =, =, =, =因此 +=+=0.小结：本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）偏导数的定义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的基础.第三节 全微分教学目的：学习和掌握多元函数（以二元函数为主）全微分的定义，掌握二元函数可微与偏导数存在之间的关系，会求多元函数的全微分。教学重点：可微与偏导数存在之间的关系，多元函数的全微分。教学难点：计算多元函数的全微分。教学内容： 一、全微分的定义定义 设函数在点的某邻域内有定义，如果函数在点的全增量可表示为，其中、不依赖于、而仅与有关，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即.如果函数在区域内各点处都可微

19、分，那末称这函数在内可微分.在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点连续.但是，由上述定义可知，如果函数在点可微分，那末函数在该点必定连续.事实上，这时由（2）式可得设函数在点的某一邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差为函数在点对应于自变量增量、的全增量，即 2.可微分的条件定理 （可微的必要条件）若函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在，且函数在点的全微分为 =+.证 设函数在点可微分.于是，对于点的某个邻域的任意一点，（2）式总成立.特别当时（2）式也应成立，这时，所以（2）式成为 .上式两边各除以，再令而取极限，就得x

20、0 lim=，从而偏导数存在，且等于. 同样可证=.所以（3）式成立.证毕.我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件.但对于多元函数来说，情形就不同了.当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出 +，但它与之差并不一定是较高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分.换句话说，各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.例如，函数=在点处有 及 ，所以=,如果考虑点沿着直线趋于，则=,它不能随而趋于0，这表示时， 并不是较高阶的无穷小，因此函数在点处的全微分并不存在，即函数在点处是不可微分的.由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件.但是，如果

21、再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理.定理 （可微的充分条件） 如果函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分.证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在点连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到偏导数在某一点连续均应如此理解）.设点为这邻域内任意一点，考察函数的全增量 .在第一个方括号内的表达式，由于不变，因而可以看作是 的一元函数 的增量.于是，应用拉格郎日中值定理，得到 =又假设，在点 连续，所以上式可写为 =， （4）其中为、的函数，且当，时，. 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 ， （5

22、）其中为 的函数，且当时，. 由（4）、（5）式可见，在偏导数连续的假定下，全增量z可以表示为. （6）容易看出 |，它是随着，即而趋于零. 这就证明了在点是可微分的.以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到三元和三元以上的多元函数.习惯上，我们将自变量的增量、分别记作、，并分别称为自变量的微分.这样，函数的全微分就可以写为 =+. (7)例8-15 计算函数的全微分解 因为， 所以例8-16 计算函数在点处的全微分解 因为 =yexy, =xexyx=2y=1x=2y=1 | =, | =, 所以 =例8-17 计算函数的全微分.解 因为 =, =+, =

23、, 所以 =(+)+小结：本节讨论了多元函数（以二元函数为重点）全微分的定义及存在条件和求法 第四节 多元复合函数求导法则教学目的：掌握多元函数的求导法则，会求多元函数的导数，掌握全微分形式不变性.教学重点：针对多元函数的表达状态（参数方程、复合函数），能够求其导函数.教学难点：抽象复合函数的求导教学内容：多元复合函数与隐函数的求导是多元函数微分学中的一个重要内容.本届就是要把一元函数微分学中的求导法则推广到多元函数中去. 1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算： 证 设获得增量，这时的对应增

24、量为、，由此，函数对应地获得增量根据假定，函数在点具有连续偏导数，于是由第三节公式有 这里，当，时， 将上式两边各除以，得 因为当时，所以 =+这就证明了复合函数在点可导，且其导数可用公式计算证毕用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形例如，设、，复合而得复合函数 则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算在公式及中的导数称为全导数2. 中间变量不是一元函数而是多元函数的情形上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形定理 设，复合而得复合函数 如果及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在

25、，且可用下列公式计算： =+, =+ 事实上，这里求时，将看作常量，因此中间变量及仍可看作一元函数而应用上述定理但由于复合函数以及和都、是的二元函数，所以应把式中的改为，在把换成，这样便由得到式.同理由式可得到式. 类似地，设、及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：=+，=+如果具有连续偏导数，而具有偏导数，则复合函数可看作上述情形中当，的特殊情形，因此 ， ， ，从而复合函数具有对自变量及的偏导数，且由公式及得 ， 注意 这里与是不同的，是把复合函数中的看作不变而对的偏导数，是把中的及看作不变而对的偏导数与也有类似的区别

26、例8-18设而，求和解 =+ = =，=+ 例8-19设，而求和解例8-20设， 而，求全导数解=例8-21设，具有二阶连续偏导数，求及解 令,，则为表达简便起见，引入以下记号：，这里下标1表示对第一个变量求偏导数，下标2表示对第二个变量求偏导数，同理有、 等等.因所给函数由及，复合而成，根据复合函数求导法则，有，（）求及时，应注意及仍旧是复合函数，根据复合函数求导法则，有 ， 于是 + 3.全微分形式不变性 设函数具有连续偏导数，则有全微分如果 、又是、的函数、，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数 的全微分为，其中及分别由公式和给出，把公式及中的及代入上式，得由此可见，无论是自变量、的

27、函数或者中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.小结：本节要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中起着重要作用。本节主要针对几类普遍存在的复合函数的求导方法进行了介绍。第四节 多元复合函数求导法则教学目的：掌握多元函数的求导法则，会求多元函数的导数，掌握全微分形式不变性.教学重点：针对多元函数的表达状态（参数方程、复合函数），能够求其导函数.教学难点：抽象复合函数的求导教学内容：多元复合函数与隐函数的求导是多元函数微分学中的一个重要内容.本届就是要把一元函数微分学中的求导法则推广到多元函数中去. 1、复合

28、函数的中间变量均为一元函数的情形定理 如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算： 证 设获得增量，这时的对应增量为、，由此，函数对应地获得增量根据假定，函数在点具有连续偏导数，于是由第三节公式有 这里，当，时， 将上式两边各除以，得 因为当时，所以 =+这就证明了复合函数在点可导，且其导数可用公式计算证毕用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形例如，设、，复合而得复合函数 则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算在公式及中的导数称为全导数2. 中间变量不是一元函数而是多元函数的情形上述定理还

29、可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形定理 设，复合而得复合函数 如果及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算： =+, =+ 事实上，这里求时，将看作常量，因此中间变量及仍可看作一元函数而应用上述定理但由于复合函数以及和都、是的二元函数，所以应把式中的改为，在把换成，这样便由得到式.同理由式可得到式. 类似地，设、及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：=+，=+如果具有连续偏导数，而具有偏导数，则复合函数可看作上述情形中当，的特殊情形，因此 ， ，

30、 ，从而复合函数具有对自变量及的偏导数，且由公式及得 ， 注意 这里与是不同的，是把复合函数中的看作不变而对的偏导数，是把中的及看作不变而对的偏导数与也有类似的区别例8-18设而，求和解 =+ = =，=+ 例8-19设，而求和解例8-20设， 而，求全导数解=例8-21设，具有二阶连续偏导数，求及解 令,，则为表达简便起见，引入以下记号：，这里下标1表示对第一个变量求偏导数，下标2表示对第二个变量求偏导数，同理有、 等等.因所给函数由及，复合而成，根据复合函数求导法则，有，（）求及时，应注意及仍旧是复合函数，根据复合函数求导法则，有 ， 于是 + 3.全微分形式不变性 设函数具有连续偏导数，

31、则有全微分如果 、又是、的函数、，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数 的全微分为，其中及分别由公式和给出，把公式及中的及代入上式，得由此可见，无论是自变量、的函数或者中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.小结：本节要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中起着重要作用。本节主要针对几类普遍存在的复合函数的求导方法进行了介绍。第 五 节 隐函数的求导公式教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。教学难点：隐函数的高阶导函数的

32、计算。教学内容：一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程 =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，, ，则方程=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有 (2) 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。将方程(1)所确定的函数代入，得恒等式 ,其左端可以看作是的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 由

33、于连续，且，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内，于是得 如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而再一次求导，即得 例1 验证方程在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值。解 设，则,.因此由定理1可知，方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数。下面求这函数的一阶和二阶导数 =， ; = 。隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程 ()=0 (3)就有可能确定一个二元隐函数。与定理1一样，

34、我们同样可以由三元函数()的性质来断定由方程()=0所确定的二元函数=的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。隐函数存在定理2 设函数()在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，则方程()=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有 =,=. (4)这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.由于 (, )0,将上式两端分别对和求导，应用复合函数求导法则得 +=0, +=0。因为连续，且,所以存在点的一个邻域，在这个邻域内0，于是得 =,=。 例2 设，求解 设() =，则=2, =.应用公式(4)，得 =。再一次对求偏导数，得二、方程

35、组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组 (5)这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数、的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。隐函数存在定理3 设函数、在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(jacobi)式): =在点不等于零，则方程组，在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有 (6) 这个定理我们不

36、证. 例3 设，求,和.解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后一种方法来做。将所给方程的两边对求导并移项，得 在的条件下， 将所给方程的两边对求导，用同样方法在的条件下可得 小结：本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一个方程或方程组确定的隐函数的导数。第六节 多元函数微分学的几何应用一、 空间曲线的切线与法平面类似于平面曲线的切线概念，一条空间曲线在点处的切线是这样定义的：在曲线上找一异于点的点，做割线，如果当点沿曲线趋于时，割线存在极限位置，则称曲线为曲线

37、在点出的切线.过点且与曲线在点处的切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面.下面我们来建立空间曲线在点处的切线方程及法平面方程.1. 空间曲线的参数方程为的情形 设空间曲线的参数方程为（1） 这里假定式(1)的三个函数都可导.在曲线上取对应于的一点及对应于的邻近一点.根据解析几何，曲线的割线的方程是 当沿着趋于m时，割线的极限位置mt就是曲线在点处的切线.用t除上式的各分母，得 令这时 通过对上式取极限，即得曲线在点处的切线方程为 = (2)这里当然要假定不能都为零.如果个别为零，则应按空间解析几何有关直线的对称式方程的说明来理解.切线的方向向量称为曲线的切向量.向量 就是曲线在点处的一个切向量.

38、通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面，它是通过点而以t为法向量的平面，因此这法平面的方程为例8-29 求曲线在点 (1,1,1)处的切线及法平面方程.解 因为而点 (1,1,1),所对应的参数，所以 于是，切线方程为 ,法平面方程为 即 2. 空间曲线的方程为 的情形如果空间曲线的方程以 的形式给出，取x为参数，它就可以表为参数方程的形式 若都在x=x0处可导，那末根据上面的讨论可知，,因此曲线在点处的切线方程为 (4)在点处的法平面方程为 3. 设空间曲线的方程是 的情形设空间曲线的方程以 (6)的形式给出，是曲线上的一个点，又设、g有对各个变量的连续偏导数，且 这时方程组(6)在

39、点的某一邻域内确定了一组函数要求曲线在点m处的切线方程和法平面方程，只要求出然后代入(4)、(5)两式就行了.为此，我们在恒等式 两边分别对x求全导数，得 由假设可知，在点m的某个邻域内 故可解得 于是是曲线在点处的一个切向量，这里 分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点的值.把上面的切向量t乘以得 这也是曲线在点处的一个切向量，由此可写出曲线在点处的切线方程为 曲线在点处的法平面方程为 (8)如果而中至少有一个不等于零，我们可得同样的结果.例8-30 求曲线,在点 (1,-2,1)处的切线及法平面方程.解 这里可直接利用公式(7)及(8)来解，但下面我们依照推导公式的方法来做.将所给方程的

40、两边对x求导并移项，得 由此得 从而 故所求切线方程为 法平面方程为 ,即 二、曲面的切平面与法线我们先讨论由隐式给出曲面方程 () = 0 (9)的情形，然后把由显式给出的曲面方程作为它的特殊情形.设曲面由方程(9)给出，是曲面上的一点，并设函数()的偏导数在该点连续且不同时为零.在曲面上，通过点任意引一条曲线（图88），假定曲线的参数方程为 (10)对应于点且不全为零，则由(2)式可得这曲线的切线方程为 =我们现在要证明，在曲面上通过点且在点处具有切线的任何曲线，它们在点处的切线都在同一个平面上.事实上，因为曲线完全在曲面上，所以有恒等式 ,又因()在点处有连续偏导数，且和)存在，所以这恒

41、等式左边的复合函数在时有全导数，且这全导数等于零: 即有 (11)引入向量 则(11)式表示曲线（10）在点m处的切向量 与向量垂直.因为曲线(10)是曲面上通过点的任意一条曲线，它们在点的切线都与同一个向量垂直,所以曲面上通过点的一切曲线在点的切线都在同一个平面上（图88）.这个平面称为曲面在点的切平面.这切平面的方程是 (12)通过点而垂直于切平面(12)的直线称为曲面在该点的法线.法线方程是 (13)垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量 就是曲面在点处的一个法向量.1曲面的方程为的情形现在来考虑曲面方程 (14) 令 () = z, 可见 x()=x, y()=y, z()=-

42、1.于是，当函数的偏导数x、y在点连续时，曲面（14）在点处的法向量为 =切平面方程为 或 (15)而法线方程为 这里顺便指出，方程(15)右端恰好是函数在点的全微分，而左端是切平面上点的竖坐标的增量.因此，函数在点的全微分，在几何上表示曲面在点处的切平面上点的竖坐标的增量.如果用、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与轴的正向所成的角是一锐角，则法向量的方向余弦为 这里，把分别简记为x, y.例 8-31 求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解 () =, = x, y, z = |(1 ,2 ,3) = 2,4,6.所以在点(1,2,3)处此球面的切平面方程为 即 法线方程为 即 由此可见，法线经过原点(即球心).小结：本节在空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线两方面研究了微分 法的应用.利用导函数的几何性质，针对空间曲线的一般表现方式，给出了空间曲线的切向量，从而确定了空间曲线的切线与法平面方程；同时针对由隐式给出的曲面方程，推导出曲面的切平面与法线方程，并给出了曲面法向量的方向