微积分(知识点概要)

1、微 积 分 (知识点概要)第一章 函数、极限与连续11函数定义与符号12极限概念与运算法则13求极限的方法14函数的连续性11函数的定义（p1）1函数的定义1若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。 2确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。 例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。2函数记号 一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。3初等函数（p6） 称幂函数xk（k为常数），指数函数ax ，

2、对数函数 logax （a为常数，a0，a1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。 凡由基本初等函数经有限次加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。4函数的简单性质（1）有界性：（p5） 对于函数f(x)，若存在常数m、m对定义域内所有x f(x)m 称f(x)有上界 f(x)m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。（2）奇偶性：（p3） 若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。（3）单调性：（p4） 若函数f(x)在a、b上有定义 对xa、

3、bx1x2 时f(x1)f(x2) f(x) 在a、b上 f(x1)f(x2) f(x) 在a、b上 （4）周期性:(p5)若存在常数a(a0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。12极限概念与运算法则1极限的直观定义（p11） 当一个变量f(x)在xa的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b，则称变量f(x)在xa的过程中极限存在。称常数b为它的极限，记为 f(x)=b 否则就称极限不存在。 在极限不存在的情形中，若f(x)在xa的过程中，其值无限增大，则要求写成： f(x)= +（相应地 有f(x)= -，f(x)=）在定义中要注

4、意的是：xa的变化过程是指x以任何方式向a靠拢，且在靠拢的过程中始终有 xa。2极限的精确定义（略） 若对0，点有在0，当0x-a时 有f(x)-b 成立。 则称在xa的过程中，f(x)以b为极限记为：f(x)=b3极限的运算法则：（p16） 若f(x)和g(x) 均存在，则f(x)g(x)= f(x) g(x)f(x).g(x) = f(x) .g(x) = （g(x)0）4极限的性质：（p15） 1唯一性： 若极限f(x)存在，则极限是唯一的。 2有界性： 若极限f(x)存在， 则一定存在a的去心领域即存在0，使f(x)在0x-a内是有界的。3保号性： 设f(x)=b ，f(x)变到后来必

5、有f(x)。 ，f(x)变到后来必f(x) 。13求极限的方法1利用定义：例：求极限详：由于x0，x0，所以在变化过程中始终有定义，显然x0的过程中无限增大，且的符号不定故 =又例：验证e不存在详：因当x0+时x从0的右边向0靠拢，+，于是e+，而当x0-时，-，从而e0所以e不存在。2利用极限运算法则（p16）3利用函数的连续性（p22、p23）由函数在点x0处连续的定义：若已知f(x)在x=a处连续，则必有f(x)= f(a)初等函数在具定义区间内是连续的，所以若f(x)是初等函数又判断出a是在f(x)的定义区间上，则：f(x)= f(a) 即只要将x=a代入f(x)计算f(a)4变形：（

6、p17 例4例7）在向变量变化过程中，把f(x)作某价变形以消除不定性，通常采用消公因子，分子、分母同乘或除一因子，分子（分母）有理化手段。5利用两个重要极限公式：（p18-p20） 两个重要极限： =1 （=1）(1+)x=e (1+)=e=e =e6应用洛必达法则(p66)设f(x) 、g(x)可导 且f(x) =g(x)=0 （或） 若=b （或） 则=b （或）7等阶无穷小（大）的替换： x0时 xsinxtanxex-1ln(1+x).1-cosx (只能替换因子) 8夹逼定理（p16） 若在a的邻域内有g(x)f(x)h(x) 且g(x)= h(x)=b （或）f(x)=b （或）

7、 9运用泰勒公式（略）10化为定积分（略）11利用单调有界数列必有极限（略）14函数的连续性（p22、p23）1 定义：y=f(x)在x0的邻域内有定义 且 f(x)=f(x0 )则称f(x)在x0处是连续的，否则就称为是间断的。注意：初等函数在其定义区间内是连续的。2 间断点分类（p23） 3 闭区间上连续函数的性质： f(x)在a、b上必有界。 f(x)在a、b上必有最大（小）值。 f(a).f(b) f()=0f()=0第二章 导数与微分 21 函数的可导性与导数（p43） 22 函数的可微性与微分21函数的可导性与导数（p43）1导数的定义 设函数y=f(x)在x0的邻域内有定义若=b

8、存在称f(x)在点x0处可导。称其极限值b 为f(x)在点x0处的导数。记为： 3详：（1）导数的物理意义：若y表示质点作直线运动时的位置， x表示时刻，则为质点在x时刻的瞬时速度。（2）导数的几何意义：若y=f(x)为平面直角坐标系中的曲线方程 则即为曲线上相应于x点处切线的斜率。（3）导数的经济意义：若y=f(x)表示总产量达到x时所付出的总费用，则即为总产量在x水平上的边际成本。（4）导数的数量意义：即为因变量y相对于向变量的x变化率。2导数的记号 （1）在点x处的导数记为，或简记为：或 （2）在x=3处的导数记为或或简记为(3) 或. （3）导数又称微商 ， ，（每个记号都有意义的前提

9、下）3导数的计算 （1）利用定义：（一般只用于求分段函数在分界点的导数时，才需要用定义计算）p43 例3例8 （2）利用导数公式和求导法则； （3）隐函数求导；复合函数求导；反函数求导。（p4951） （4）对数求导法；（p52） （5）高阶导数求导法（逐次计算，其他方法）（p54）22函数的可微性与微分（p55）1定义：若f(x)在x0 邻域内有定义，若对x有关系式 f(x0+x)-f(x0)=ax+0(x)其中a为常数，则称f(x)在 x0处可微，并称函数值之差中的线性主部 ax为f(x) 在x0处的微分，记为d f(x0)=ax2可微的充要条件 f(x)在x处可微 f(x)在x处可导且a

10、= f(x)在x处的微分即为df(x)=x=dx (x为自变量x= dx)3微分的计算（p56） （1）转化为导数的计算 （2）利用微分不变性即无论u 是中间变量还是自变量均有df(u)= （3）近似计算 如：计算e 例：e=e+( e-e) e-e=x=1.(0.1)=0.1 e1+0.1=1.1 （4）函数在处的三个局部性质之间的关系 连续可导 可微第三章 导数的应用3.1利用导数研究函数的性态3.2中值定理（略）3.3函数图形绘制3 .4导数在经济上的应用3.1利用导数研究函数的性态（p70-p77）（1）若在（a、b）内f（x）=0则在（a、b）内f（x）=c（常数）（2）若在（a、b

11、）内f（x）0则在（a、b）内f（x）严格单调增加（）（3）若在（a、b）内f（x）0则在（a、b）内f（x）严格单调减小（）（4）若在（a、b）内f（x）0则在（a、b）内f（x）向下凸（）（5）若在（a、b）内f（x）0则在（a、b）内f（x）向上凸（）（6）若f（xo）=0或f（xo）不存在，f（x）在xo的两侧变号则xo f（xo）为曲线y= f（x）的拐点，拐点的定义为曲线上凹凸的分界点。（7）若f（xo）=0（称xo为驻点）或f（xo）不存在，且f（x）在xo左右变号，则xo为f（x）的极点，若从左到右f（x）由（-）变（+）则xo为极小点。若从左至右，f（x）由（+）变（-），则

12、xo为极大点。若f（xo）=0，f（xo）0则xo为f（x）的极点，若f（xo）0则xo为极小点，若f（xo）0则xo为极大点。3.3函数图形的绘制（参见p84）3.4导数在经济上的应用（1）最大（小）值在经济上的应用。（p76）（2）边际分析与弹性分析。（p78p80）一般的方法是：经济上的问题转化为函数的问题（既建立函数模型）求f（x）或yx进行分析。（参见p76-p80）第四章 不定积分4.1不定积分的概念、性质、几何意义4.2基本积分公式4.3计算不定积分的基本方法4.1不定积分概念、性质（p98）几何意义（p98p99）若f（x）有原函数g（x）显然g（x）+1，g（x）+2，g（x

13、）+c（c为任意常数）均为f（x）的原函数，求f（x）的所有原函数的 运算称为求f（x）的不定积分记为 f（x）dx由不定积分的概念可以明确两条： 不定积分的最后答案中一定带有任意常数项；检查不定积分是否正确，应用求导进行验证。4.2基本积分公式（p99p100）4.3计算不定积分的基本方法：（p102，p106，p110）凑微分法：例如：由sinxdx=-cosx+csinudu=-cosu+c换元法： f（x）dx令x=g（t） 则 f（x）dx=f（g（t）dg（t）分部积分法（p110）udv=uv-vdu第五章 定积分5.1定积分的概念、几何意义；（p128，p129）5.2定积分的

14、性质；（p130）5.3微积分基本定理；（p132）5.4计算定积分的基本方法（p136p140）5.5广义积分（p140）5.1定积分的概念，几何意义（及经济意义）（p129p130）定积分是介绍一种计算具有可加性整体量的方法。f（x）dx定义为区间a、b上的f（x）的定积分5.2定积分的性质（p130）（性质1性质7）5.3微积分基本定理若f（x）为f（x）的一个原函数，则f（x）dx=f（b）-f（a）（牛顿莱布尼茨公式）由此定积分的计算就转化原函数的计算。5.4计算定积分的基本方法：由牛顿莱布尼茨公式，定积分的计算可转化为被积函数的原函数的计算，因此，不定积分的所有计算技巧都可用于定积

15、分的计算，但固定积分是一个具体数值的计算，所以又有其自己的特点。1定积分计算时的几点注意）在定积分计算中作换元时，上、下限要随之一起变换。例如 dt）若被积函数中有完全平方的开方运算时，则在去根号时需适当地加上负号。例如=+）关于绝对值的积分，一定先把绝对值符号去掉。例如：=+）对称性的利用，例如：= ）若f（x）为以t为周期的连续的周期函数，则=2定积分的计算 1变上限定积分的求导公式：（p132 ， 定理5.1） 2.牛顿-莱布尼茨公式（p135） （条件：f(x)在a,b上连续f(x)是f(x)的一个原函数）3在按积分法 牛顿公式-在按积分法。（p137、例1-5） 凑微法。（同上） 分

16、部积分法（p139） 广义积分计算方法（p140）4定积分应用的计算方法。 几何的面积计算。（p142） 经济上应用的计算。（p146）几何的面积计算 1由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的平面图形的面积为 (p142图5.11,-5.13) 2设函数f(x)、g(x)在a,b上连续且满足: 0g(x)f(x) xa,b由这两条曲线及x=a、x=b所围成的图形的面积为: (p143 图5.14 , 5.15)3由曲线x=(y)(0)及在线y=c、y=d (cd) y轴所围成的曲边梯形的面积为: (p143 图5.16)4若在区间c,d上中(y) (y)，则由这两条曲线及在线y=

17、c,y=d所围成的图形（如图5-17）的面积为: (p143 图5.17)定积分在经济上应用的计算。（p146）1由边际函数求总函数（p146） 由于总函数（如总成本、总收益、总利润等）的导数就是边际函数（边际成本、边际收益、边际利润等），当已知初始条件时，即可用不定积分求总函数，也可以用定积分求总函数。例如：已知边际成本c(q)，固定成本c0，边际收益r(q)则： 总成本函数总收益函数总利润函数2由边际函数求总函数的极值（p146）设边际收益为r(q)，边际成本c(q)，固定成本为c0，已知r(q)= c(q),即q=q0时利润最大，则最大利润为 3连续复利资金流量的现值（p147）若现有本

18、金p0元，以年利率r的连续复利计息，则t年后的本利和a(t)为a(t)=p0ert反之，某项投资资金t年后的本利和a已知，则按连续复利计算，现金应有资金p0=ae-rt-p0称为资本现值。在时间1,t内,若资金流量a是时间t的函数,以年利率r连续复利计算,则t年末资金流量总和的现值为 特别地,当资金流量为常数a时5.5广义积分广义积分就是把积分的概念推广至无穷区间和无界函数。（1）无穷区间的广义积分定义=（2）无界函数广义积分定义（略）第六章 多元函数微分学6.1二元函数的极限与连续（p1536.2偏导数与全微分（p1596.3复合函数与隐函数的微分法（p164p166）6.4二元函数的极值（

19、p166）6.1二元函数的极限与连续（1）极限（二元函数）定义p158=a 或 =a（2）二元函数的连续=6.2偏导数与全微分 6.3复合函数与隐函数的微分法（1）复合函数微分法设函数u=u（x，y），v=v（x，y），在点（x，y）处的偏导数存在。函数z=f（u，v）在对应于点（x，y）的（u，v）处有连续的偏导数则复合函数z=fu（x，y）、v（x，y）对x，y的偏导数都存在，并且有=.+.=.+.例：求z=esin（x+2y）的偏导数解：令u=xy v=x+2y 则z=esinv=.+.=esinv.2xy+ ecosv.1 =e2xysin(x+2y)+cos(x+2y)=.+.= esinv.x2+ ecosv.2 = e x2sin(x+2y)+2cos(x+2y)（2）隐函数的微分法设函数f（x，y，z）在点p（x，y，z）的某一邻域内有连续的偏导数，且f（x，y，z）=0，f（x，y，z）0则方程f（x，y，z）=0在点（x，y，z）的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导的函数z=f（x，y）它满足条件z=f（x，y）并且有=-，=-，特别地 例：设=1，求及解：令f（x，y，z）=-1=0则有f=，fy=，fz=当fz0，即z0时，有=-=-=-=-=-=-