2知识讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理(提高)12271

1、分类加法计数原理和分步乘法计数原理【学习目标】1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2 .理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.3 .会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.【要点梳理】 要点一：分类加法计数原理（也称加法原理）1.分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法.在第1类办法中有 m1种不同方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，mn种不同的方法.在第n类办法中有 mn种不同方法，那么完成这件事共有 N m1 m22.加法原理的特点是:完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类;用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；把每一类的方法数相

2、加，就可以得到完成这件事的所有方法数.要点诠释:使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步 是确定各类的方法数，第三步是取和。3图示分类加法计数原理:由A到B算作完成一件事.直线型流程线表示第 1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。从图中可以看出，完成由 A到B这件事，共有方法 m+n种。要点诠释:用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数,“类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中。要点二、分步乘法计数原理1.分步乘法计数原理n个步骤,“做一件事，完成它需要分成 n个步

3、骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成.乘法原理的特点:完成一件事需要经过 n个步骤，缺一不可;完成每一步有若干种方法；把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.要点诠释:第二步是确定各使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步, 步的方法数，第三步是求积。3.图示分步乘法计数原理:A到B从B到C。从A到C算作完成一件事,A是起点，C是终点，点B是中间单元，从 A到B是第1步，从B到C是第2步。用分步乘法计数原理解题，按着这个模式施行就可以了，可简单地理解为:At B,有m种方法;B

4、- C,有n种方法；At C,有mn种方法。要点三、分类计数原理和分步计数原理的区别:1.分类计数原理和分步计数原理的区别:两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理;若完成某件事需分 n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后,这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算.2. 应用两个原理的分别要注意:若用分类计数原理，要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理, 即加法原理求和得到总数;若用

5、分步计数原理，要做到步骤“完整”一一完成了所有步骤，恰好完成所有任务，当然步与步之间 要相互独立.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，即乘法原理把完成每一步的方法数 相乘得到总数.要点四、分类计数原理和分步计数原理的应用1.利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序:(1) 首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些?(2) 然后考虑如何完成？主要有三种类型 分类或分步。 先分类，再在每一类里再分步。 先分步，再在每一步里再分类，等等。(3) 最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少?2.利用两个基本原理解决具体问题时的注意事项:(1) 应用分类计数原理，应注意: 分类时，要按一个标准

6、来分，最忌采用双重或多重标准分类;它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束; 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务； 两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)； 完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏).n步才能完成此任务;(2) 应用分步计数原理，应注意: 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 各步计数相互独立; 只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同3. 利用两个基本原理解决具体问题时的方法技巧:利用两个基本原理解决具体问题，关键环节是分类或者分步。类与步的关系式辩证的。有些问题需要 先分类，再在每一类里再分步；有些问题需

7、要先分步，再在每一步里再分类，等等。到底采用何种顺序分 类与分步，要看类的趋势和步的趋势谁大谁小。下面用用流程图直观描述。(1)类中有步情形从A到B算作一件事的完成。完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数见箭线下面的m, i=1 , 2, 3, 4,5。完成 2B这件事，共有方法数为mram+m4mv(2)步中有类情形从A到D算作完成一件事，简单地记为At D。完成At D这件事，需要经历三步，即At B, Bt c, C0其中BtC这步又分为三类，这就是步中有类。箭线下面的m (i=1 , 2, 3, 4, 5)表示相应步的方法数。完成At D这件事，

8、共有方法数为m(m2+m3+m4)m5。要点诠释:对“类”与“步”的理解，要再上一个层次，可进一步地理解为:“类”用“ +”号连结，“步”用“X”号连结，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成,步”缺一不可。 使用计数原理解题，大部分离不开分类。分类时，要按一个标准来分,最忌采用双重或多重标准分类。【典型例题】类型一、分类加法计数原理例 1. （ 2015 秋 鞍山校级期末）已知集合两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，合（A.24 个B.36个 C.26个 D.27 个A=1,2,3,4 ，B=5,6,7, ，C=8,9. 现在从这三个集合中取出 组成一个含有两个元素的集合，则一

9、共可以组成多少个集答案】 C思路点拨】 从三个集合中取出两个集合，有 3 种情况，利用分步计数原理分别计算每种情况下各取 出一个元素，组成一个含有两个元素的集合的个数，再相加。解析】从三个集合中取出两个集合，有3种取法，分别是集合 A、B;集合A、C,集合B、C。当取出集合A、B时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有3 =12 个；当取出集合 A C时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有2 =8 个；当取出集合B C时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有2 =6 个；所以，一共可以组成 12+8+6=26 个集合。总结升华

10、】应用分类计数原理，应注意：分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类;每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、 终点就是完成这件事情的开始和结束;举一反三：变式 1】用数字 1,2,3 可写出多少个小于 1000的正整数 ? （ 各位上的数字允许重复 ）答案】分三类情况：一位整数，有3 个;二位整数，有3 32 个；三位整数，有3 3 33 个；故共有 3 323339个。变式 2】 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？答案】根据题意，将十位上的数字分别是1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8的情况分成 8类，在每一类中满足题目条3 个，

11、2 个， 1 个件的两位数分别有 8个， 7个， 6 个， 5个， 4 个，由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）【变式3】从1,2 , 3，,10中选出3个不同的数,使这三个数构成等差数列， 则这样的数列共有多少个？答案】根据构成的等差数列的公差，分为公差为1、 2、 3、 4四类.公差为 1时，有8X 2= 16个;161284=40个.公差为 2时，满足要求的数列共 6X 2= 12个；公差为 3时，有4 X 2= 8个；公差为 4时，只有2 X 2= 4 个. 由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列 类型二、分步乘法计数原理例2.体育

12、场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（)A. 12 种 B . 7 种 C. 24 种D . 49 种【思路点拨】首先弄明白完成一次进出门需分两步走，先进再出。【解析】错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的 3个门进，由分类计数原理，共有7种方案.选B错因：没有审清题意.本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题正解：学生进门有 7种选择，同样出门也有 7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7X 7 = 49种.应选D.【总结升华】解决这类问题的关键是搞清分类还是分步.用分步乘法计数原理解

13、决问题时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时才能使用分步乘法计数原理.同时，要弄清每一步骤中完成本步骤的方法种数.举一反三:【变式1】从甲地到乙地，一天中有火车2班，从乙地到丙地，一天中有汽车3班，那么从甲地经乙地到丙地共有种不同的走法。【答案】6;完成这件事，分两个步骤:第一步是乘火车，有 2种不同方法;第二步是乘汽车，有 3种不同方法。则完成这件事，由分步计数原理，共有N=2X 3=6种不同方法。【变式21 （2014金山区一模）由数字A.60 个B.48 个【答案1偶数即个位数字只能是2或4,【

14、变式31 从6人中选4人分别到巴黎、1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（C.36 个D.24 个其他位置任意排放共有 4 3 2 1 2 =48个，故选B。 伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（).A. 300 种 B . 240 种 C . 144 种 D . 96 种【答案】 四个游览城市中只有巴黎有限制要求，甲、乙不去，因而可以先安排去巴黎的人，再依次安排去其他城市的人，整个事件的安排可以分为四步，每一步安排一个城市，因而按分步乘法计数原理计算.去巴黎的人为除甲、乙两个人

15、外的其余四人，只能有一人去，所以有4种选择.再安排一人去剩下的三个城市中的一个，比如伦敦，剩余有五人，因而有5种选择.再从剩下的四人中选一人去剩下的两个城市中的一个，所以有4种选择.最后一个城市只能从剩余的三人中选一人，所以有3种选择.所以4X 5X 4 X 3=240 (种).【变式41甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（D. 30 种A. 6种B. 12 种C. 24 种【答案】C【解析】分歩完成.首先甲、乙两人从4门课程中同选i门，有4种方法，其次甲从剩下00 5门课程中任选1门，有3种方法，S后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、

16、乙所选的课S中有1门相同的选法共有4X3X2-24CW)，故选C.类型三、两个原理的对比应用例3. 一个口袋内装有 5个小球，另一个口袋内装有 4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.(1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法?(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法?【思路点拨】欲完成从两个口袋内任取一个小球这件事，可有两类办法：从第一个口袋内取，或从第二个口袋内取,都能完成这件事，所以第(1)题可用分类加法计数原理来解.欲完成从两个口袋内各取一个小球，需分两个步骤：第一步，在第一个口袋内任取1个小球；第二步，在第二个口袋内任取1个小球，两个步骤都完成了这件事就完成了，因此第

17、(2)题用分步乘法计数原理.【解析】(1)从两个口袋内i任取1个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个小球，可以从 4个小球中任取1个，有4种方激根据分类加法计数原理，不同的取法有N=5+4=9 (种).(2)从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步，从第一个口袋内取1个小球,有5种方法；第二步，从第二个口袋内取1个小球，有4种方法.根据分步乘法计数原理，不同的取法有N=5X 4=20 (种).【总结升华】在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有,I类办法还是需分成 n个步骤.

18、应用分类加法计数原理必须要求各类中的每一种方法都保证完成这件事.应用分步乘法计数原理则是需各步均是完成这件事必须经由的若干彼此独立的步骤.举一反三:【变式】现有一分硬币 3枚，两角纸币6张，十元纸币4张，则它们共可以组成多少种非零的币值【答案】方法一：利用分类计数原理.以使用钱币的种类去分类，共可以分为:(1)第一类：只使用一种钱币若只使用一分硬币，可以取出1枚，2枚或3枚硬币,共可组成 3种非零币值.同理，若只用两角纸币，共可以组成6种非零币值.只用十元纸币，共可以组成4种非零币值.因此，只使用一种钱币，可以组成非零币值数为3+6+4=13种.(2)第二类：使用两种钱币若用一分硬币和两角纸币

19、，共可组成币值3X 6=18种；若用一分硬币和十元纸币，共可组成币值4=12种；若用两角纸币和十元纸币，共可组成币值6 X 4=24种.3X因此，使用两种钱币可以组成非零币值数为18+12+24=54种.（3）第三类：使用三种钱币 使用三种钱币组成的非零币值数为 3X 6X 4=72 种.根据分类计数原理，共可组成非零币值总数为 13+54+72=139 种.方法二 ：利用分步计数原理 .第一步，取一分硬币，可以不取，取 l 枚，2枚或 3枚硬币，共有 4种取法；第二步取两角纸币，共有 7 种取法； 第三步取十元纸币，共有 5 种取法 .根据分步计数原理，总共的币值数为4 X 7X 5=140

20、种.除去其中一种零币值，非零币值的方法数为139种.类型四、两个原理的综合应用例 4. 用数字 0， 1， 2， 3， 4组成数字允许重复的三位数，其中有 几个偶数？思路点拨】组成的偶数可以有 3 类情况：个位数字为 0、2、 4，而在每一类情况中又需分二个步骤才能完成。解析】1）第一类：当个位数字为 0 时，分两个步骤：第一步确定百位上的数字，从数字：1、2、3、4中任选一个，有 4种不同方法；第二步确定十位上的数字，从 5 个数字中任选一个，有 5 种不同方法； 共有 4 5 20 种不同方法。2）第二类：当个位数字为 2 时，分两个步骤：第一步确定百位上的数字，从数字：1、2、3、4中任

21、选一个，有 4种不同方法；第二步确定十位上的数字，从 5 个数字中任选一个，有 5种不同方法；共有 4 5 20 种不同方法。3）第三类：当个位数字为 4 时，分两个步骤：第一步确定百位上的数字，从数字：1、2、3、4中任选一个，有 4种不同方法；第二步确定十位上的数字，从 5 个数字中任选一个，有 5种不同方法；共有 4 5 20 种不同方法。故不同的偶数的个数是：4X 5+4X 5+4X 5=60 （种）。总结升华】当完成事件中既有分类也有分步时，一般先分类，然后再在每一类中分步。举一反三：高清课堂： 分类 加法计数原理或分步乘法计数原理 389221 例题 3 练习】变式 1】 用 0，

22、1,2 ， 3,4 ， 5这六个数字，1）可以组成多少个数字不重复的三位数？2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于 5421 的四位数？可以组成多少个数字不重复的三位奇数？ 可以组成多少个数字不重复的小于 1000的自然数？【答案】分三步：先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有 5种选法；十位数字有 5种选法；个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5X 5 X 4 = 100个.分三步：先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有 5种选法；十位数字有 6种选法；3种选法；再选百位数字有 4种选个位数字有6种选法.由分步计数原理知所求

23、三位数共有5X 6 X 6 = 180个分三步：先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有法；个位数字也有 4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3X 4 X 4= 48个.分三类：一位数，共有6个；两位数，共有 5X 5= 25个；三位数，共有 5X 5X 4= 100个.因此，比1000小的自然数共有 6+ 25+ 100= 131个分四类：千位数字为3,4之一时，共有2 X 5 X 4X 3= 120个；千位数字为 5,百位数字为0,1 ,2,3之一时，共有4X 4X 3= 48个；千位数字为 5，百位数字是4,十位数字为0,1之一时，共有2X 3 = 6个；还有5420也是满足条件

24、的1个.故所求自然数共120 + 48+ 6+ 1 = 175【变式2】一个口袋里有5封信，另一个口袋里有 4封信，各封信内容均不相同.(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法?(2)(1)计数原理,共有 5 X 4=20 (种).把这两个口袋里的 9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法?【答案】 各取一封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步(2 )若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有 4种可能，第二封信仍有4种可能第九封信还有4种可能共有49种不同的投法.【高清课堂：分类加法计数原理或分步乘法计数原理389221例题41【变式

25、3】用5种不同颜色给图中 A, B, C, D四个区域涂色，每个区域涂一种颜色.若要求相邻(有公共边)的区域涂不同颜色，那么共有多少种不同的 涂色方法？1234【答案】如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.(1)当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有12种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法.由分步计数原理可知，有 5X 12X=180种不同的涂法;(2)当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知.有5X 4X= 80种不同的涂法.由分类加法计数原理可得，共有180 + 80= 260