35知识讲解_充分条件与必要条件_基础

1、充分条件与必要条件学习目标】1理解充分条件、必要条件、充要条件的定义; 2会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件; 3会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达 命题之间的关系 .4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明要点梳理】充要条件的概念q；q.要点一、充分条件与必要条件 符号 P q 与 P q 的含义 若P，则q”为真命题，记作： 若P，则q ”为假命题，记作： 充分条件、必要条件与充要条件q是P的必要条件.q ，这时 p 是 q 的充分必要条件， 称 p 若P q，称P是q的充分条件， 如果既有 P q ，又有 q P ，就

2、记作 P 是 q 的充要条件 .要点诠释：对P q的理解：指当 P成立时，q定成立，即由 P通过推理可以得到 q. 若P，则q”为真命题； P 是 q 的充分条件; q是P的必要条件以上三种形式均为 “P q ”这一逻辑关系的表达 .要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若P，则q”，其条件若Pq，但q p ,则若Pq，但q p ,则若Pq，且q p,即若Pq，且q P，则与结论 q 之间的逻辑关系P是q的充分不必要条件，P是q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件;q 是 p 的充分不必要条件；P q，则P、q互为充要条件;P是q的既不充分也不必要条件.从集合与集

3、合间的关系看若 P: x A , q : x B , 若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件; 若 A 是 B 的 真子集，则 p 是 q 的充分不必要条件; 若A=B，则P、q互为充要条件；若A不是B的子集且B不是A的子集，则P是q的既不充分也不必要条件. 要点诠释： 充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件 .判断方法通常按以下步骤进行：确定哪是条件，哪是结论;尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，最后判断条件是结论的什么条件要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件， 既要证明条件的充分性 （即证原命题成立） ，又

4、 要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释: 对于命题 “若 P ，则 q ”如果P是q的充分条件，则原命题若P，则q ”与其逆否命题 若 q，则 p ”为真命题;如果P是q的必要条件，则其逆命题若q，则P ”与其否命题 若 P ,贝y q ”为真命题;如果P是q的充要条件，则四种命题均为真命题典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定(1)P: (x 2)(x 3) 0 ，q: x 2；(2)P:c 0 ， q:抛物线2y ax bx c 过原点(3)P:一个四边形是矩形，q: 四边形的邻边相等【解析】(1)- P: x 2 或 x3, q: x 2二Pq且qP, p是

5、q的必要不充分条件；(2)Pq且qP , P是q的充要条件；(3)Pq且qP，二P 是 q 的既不充分条件也不必要条件总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即例1.指出下列各题中， P是q的什么条件?定条件 找推式 下结论 ”.有时需要将条件等价转化后再判定举一反三：变式 1】指出下列各题中， P 是 q 的什么条件？(1) P : A B , q :A和 B是对顶角.22) P:x 1， q: x2 1;【答案】(1)T P q 且 q p是q的必要不充分条件，q是P的充分不必要条件.(2)v q : x21 x 1 或x 12 2- x 1 x 1，但 x 1 x 1 , P是q的充分

6、不必要条件，q是P的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中 P是q的什么条件.(1) P：a 0且b 0, q：ab 0/C、X *(2) P：1, q: x y.y【答案】(1) P是q的充分不必要条件. a 0且b 0时，ab 0成立;反之，当ab 0时，只要求a、b同号即可.必要性不成立.(2) P是q的既不充分也不必要条件x-1在y 0的条件下才有x y成立.y充分性不成立，同理必要性也不成立【高清课堂：充分条件与必要条件 394804例2】例 2.已知 P: 0x3 , q : |x-1|2，则 p 是 q 的(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件(C)充要条件(D )既不充

7、分也不必要条件如图，在数轴上画出集合P=(0,3), Q=(-1,3),【解析】q： |x-1|2，解得-1x3，亦即 q： -1x3.-1 O 123从图中看P Q, p q，但q p,所以选择(A).【总结升华】 先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断;不等式(解集)表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断 举一反三:【高清课堂：充分条件与必要条件 394804例3】【变式1】设x R，则条件 X 2 ”的一个必要不充分条件为(A. x 1B. x 1C.x 3D. x 3【答案】 A【变式21（ 2015天津文）设x R，则“ 1 x 2”是“ |x 2| 1 ”的（ A

8、. 充分而不必要条件C .充要条件【答案】由 |x2|1的充分而不必要条件 .故选 :A.B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件1 x 2 1 1 x 3,可知“ 1 x 2” 是|x2|0(1)充分性：若 xy=O，那么 x=0，yO xO, y=0 : x=0 , y=0,于是 |x+y|=|x|+|y|如果 xy 0，即 x0, y 0 或 x 0, y0, y 0 时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当 x 0, y 0时，有 |x+y|=|x|+|y|.(2)必要性：由 |x+y|=|x|+|y| 及 x、y R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2, 即 x2+2xy+y

9、 2=x2+2|xy|+y2, |xy|=xy,/ xy 0综上可得 |x+y|=|x|+|y| 成立的充要条件是 xy0.【总结升华】 充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论, 然后搞清楚充分性是证明哪一个命题,必要性是证明哪一个命题判断命题的充要关系有三种方法：1 ）定义法；（2）等价法，即利用A B与 B A; B A与 A B ; A B与A B 的等价关系,对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题,一般运用等价法（3）利用集合间的包含关系判断，若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.举一反三:【变式1】已知a, b, c都是实数，

10、证明ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件【答案】(1)充分性ac0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为 X1, X2,/ ac0, xi(2)必要性c 2= 0, X20,c贝U X1 x2= 一0ac0a综上可得ac0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件 【变式2】求关于X的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件 【答案】(1) a=0时适合.(2)当a工0寸，显然方程没有零根,若方程有两异号的实根，则必须满足若方程有两个负的实根，则必须满足综上知，若方程至少有一个负的实根，则4 4aaz 0 a4 4aa1反之，

11、若awi,则方程至少有一个负的实根,因此，关于X的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a1类型三：充要条件的应用例 4.已知 P: A= x R|x2 + ax+ K0, q： B = x R|x2 3x+ 20若 p 是 q 的充分 不必要条件，求实数 a的取值范围.【解析】B = x R|x2 3x+ 2 0x|1 WW 2 p是q的充分不必要条件， p q，即 A B,可知A 或方程X2 + ax+ 1 = 0的两根要在区间1,2内1= a2 40 或41a22aa 12，得2a 2.1 00【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A、B，再由它们的因果关系，得到 A与B的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可举一反三：【变式1】已知命题P: 1 cx0)，命题q： x7或x 1,并且p是q的既不 充分又不必要条件，则c的取值范围是 .【答案】0c2【解析】命题