37巩固练习立体几何中的向量方法(提高)126

1、【巩固练习】一、选择题1若直线I的方向向量立体几何中的向量方法1(丄,0,1)，平面 的法向量为b ( 1,0, 2)，则(2A. I /2.若平面的法向量为，直线l的方向向量为V,直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是).A. COS1 l|v| V |B . COS C . sin -| |v|VD . sin |v| v|1 l|v|3.已知平面 中，在平面内有一个点内的是(A (2, 1, 2),的一个法向量为).n= (3, 1, 2),则下列点PA . (1,1, 1)3.(1, 3, -) C . (1,23D . ( 1, 3,-)24. P是二面角AB棱上的一点，分别在半

2、平面上引射线 PM PN 如果/ BPM=/ BPN=45 , / MPN=60，那么二面角的大小为(A . 60B . 70 C . 805.已知ABC ABG是各条棱长均等于ABD的距离(D . 90的正三棱柱,).D是侧棱CG的中点.点 G到平面B.a8D.a26. (2015 春广安校级月考)若向量(x,4,5) , b(1, 2,2)，且a与b的夹角的余弦值为纟则6x=()A. 3B. 3 C.-11D.3 或一1117.在三棱锥 P ABC中，A吐BC AB= BO - PA点O D分别是AC PC的中点，OPL底2面ABC则直线OD与平面PBC所成角的正弦值B.也3C.J2106

3、0D.也30二、填空题&若平面的一个法向量为n= (3, 3, 0),直线l的一个方向向量为b= (1, 1, 1)，则l与所成角的余弦值为 .9. 若分别与一个二面角的两个面平行的向量m=( i , 2 , 0), n= (3 ,都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为 .10. 正方体 ABCD-ABiCiD中，E、F分别为 AB CG的中点，则异面直线大小是。11. 在棱长为i的正方体 ABCD ABQD中，E、F分别是AiBI、CD 截面AEGF的距离.三、解答题0, 2),且 m nEF与AiC所成角的的中点，求点B到i2.如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/

4、CF , 求证：BCF=90。AE/ 平面 DCF.正四棱柱DiCiAi13.如图,ABCD AiBiCiDi 中，AA 2AB 4，点 E 在 CCi上且CiE求二面角A DEB的余弦值.新课标Ii4. (20i5如图，四边形ABCD为菱形，/ ABC=i20 ,E , F是平面ABCD同一侧的两点，BE1平面ABCDDF丄平面 ABCD BE=2DF AE丄 ED(I )证明：平面 AECL平面 AFC(n )求直线AE与直线CF所成角的余弦值。i5.(20i5 山东)如图，在三棱台 DEF-ABC中，AB=2DE G H分别为AC BC的中点。(I) 求证：BD/平面FGH;(II) 若

5、 CF丄平面 ABC, AB丄BC, CF=DE / BAC=45,求平面 FGH与平面 ACFD所成 的角(锐角)的大小。【答案与解析】i.【答案】B;【解析】由于b 2a，所以丨 。2.【答案】【解析】若直线与平面所成的角为，直线与该平面的法向量所成的角为，则903.【答案】【解析】uurPA n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验。对于选项ULU PA(1,0,1),uuu则 PA n (1,0,1) (3,1,2)50 ,故排除A;对于选项B,uuuPA1,4,2uuu，则 PA n0，故B正确，同理可排B。除C D。故选4答案】D解析】不妨设PM=a PN=b/ BPMM b

6、pN=45 ,作ME1AB于点E,NF丄AB 于点F,如图所示。uuuu EMLLJUrFNuuuu(PMJUJPEuuur uuu uuuu )(PN PF) PMLUJLT PNuuuu uuu PM PFuuu UULT PE PNuuu uuuPE PFabcos60Lcos45bcos45ab2ab2ab2ab2uLuur EMuuu FN o/ EMFN分别是内与棱AB垂直的直线, EM与 FN之间的夹角就是所求二面角，即AB的大小为90o要判断点P是否在平面内，只需判断向量 PA与平面的法向量 n是否垂直，即5.答案】A【解析】uuurQ ABBA为正方形，AB AB，又平面 A

7、B D 平面ABBA, A B 面ABD , AB是uuu uuur uuiT AC (AA AB)平面ABD的一个法向量，设点 C到平面ABD的距离为d，则,ulut uuurI AC AB=UUUT=ABuur uujr uuur uurAC AA AC AB)6.【答案】【解析】cosr ra,b0,x00 a a cos60r ra b-ru3-|a|b|2,所以X 3.7.【答案】【解析】D;OA OC, ABOP, OB OP.解得X11或XQ OP 平面ABC,OA OB, OA以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系BC,xyz如图，设ABa,则A返 a,0,0 ,B

8、20, a,0 ,C2a,0,0设OPh,则P0,0,h .Q PA2a,2a,uurOD可求得平面uur r cos OD,nPBC的法向量uuir r OD n tutr_r OD n72i030设OD与平面PBC所成的角为，贝y sinuur r cos OD,n721030&【答案】 3【解析】 由cosn b (3,3,0) (1,1,)至，知l与所成角的余弦值为3r6爲V1 9 1-。9.【答案】3765或3屈65 或 65【解析】COS m, n(1,2,0) (3,0, 2)71 4 79 43765m/65, 该二面角的余弦值为653祸或65 或3祸O6510.【答案】【解析

9、】uuu 二 EF30以A为原点建立直角坐标系(如图所示)则 E (1 , 0, 0), F (2, 2, 1) , G (2, 2,ulult(1,2,1), AG1(2,2,0),，设 B ( 2, 0, 0),2), A1 ( 0, 0, 2),cFA E S忑 - cosuuu LULLEF, A1C1uuu UULUEF AC. -uuLuuUu I EF丨丨AG I(1,2,1) (2,2,0)苗 22uuu uuLur-cos EF, AG30。【答案】普【解析】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.1 1则 A(1,0,0),F (OR), E (1R .UUU1UUU1A

10、E (右1), AF (岭0)设面AEGF的法向量为n (1,则有:LuurAE0,nuuurAFn (1,2,1)，uuuAB(0,1,0),，)，所以点21 7612.【解析】如图,以点C为坐标原点,以CB, CF和CD分别作为x、y和z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.y设ABa BC b, BEc,则 C(0,0,0) , A(b,O,a),B(b,0,0) , E(b, c,0).(b ,0,0),uuuuuu AE (0, c, a) , CB111因为CB 平面DCF ,所以CB是平面DCF的法向量uuu uuu因为CBgAE 0,且AE 平面DCF ,故AE /平面DCF .13

11、.【解析】以D为坐标原点，射线 DA为X轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系D xyz 依题设，B(2,2,0), C(0,2,0), E(0,2,1), A(2,0,4).LULTDEuuu(0,2,1),DB (2,2,0),LULTAC(2,2,4),DA(2,0,4) 设向量(X,y, z）是平面DA1E的法向量，则n DE ,UULUDA 故2y z2x 4z4, n(4,1, 2) UlJLTin,AC 等于二面角A,DE B的平面角,cos(n, ACT=+ InA|C山442所以二面角A DE B的的余弦值为4144214.【解析】（1） / ABCD为菱形， AC丄 BD. 连

12、接AC, BD,交于点O.uuru以O为原点，OB为X轴正方向,方向，建立空间直角坐标系 0-xyz,则z轴和BE平行. 可设 ABCD边长为 2，DF=h（ h 0）.则 A(0, J3,0) , E (1,0, 2h), C(0，V3,0),uuuOC为y轴正F (- 1, 0, h).Luu uurAE丄EC, AE ECr0.uuu十uuuL而 AE (1,73,2h), EC ( 1,73,2h),-1+3 4h2=0,F(1,0,#).2uuurAC(0, 2/3,0),uuu L LAE(1,73, Q)uuur ,AFLfm (Xi,yi,乙),而AFC法向量为rn (X2,y

13、2,Z2),LT uuurrrUULTm AC 0nAC0则 LT uuu rrUULTm AE 0nAF0求得 m(J2,0,1),r nh/2,0,lt r rQ m n 0 ,面 AEC丄面 AFC.设面AEC的法向量为2).uuuCFuuuL L(2) AE (1,73,72),uiur uuu皿山u| AE CFI|cos AE,CF | -uuuuutf-|AE| |CF|所以直线AE和CF所成角的余弦值为 週。3uuuECULurL uuu(川)AC(0J3, 1), DA (1,0,1),设平面ACD的法向量为n(x, y,z),r UUU 冲n DA 则 r uuurn AC

14、，令y01,得n73,1,73)点E到平面ACD的距离uuu r|EC n|n|7715【解析】(I)证法一： 连接GF, 在三棱台AB=2DEOHCD,设 CDn GF=O,连接 DEF- ABC 中，G为AC的中点，可得 DF/ GC DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形， 则O为CD的中点， 又H为BC的中点， 所以 OH / BD,又OH 平面FGH BD 平面FGH,所以BD/平面FGH证法二： 在三棱台DEF-ABC中，由BC=2EF H为BC的中点， 可得 BH/ EF, BH=EF 所以四边形BHFE为平行四边形， 可得 BE/ EF, 在 ABC中，G为AC的中点，H为

15、BC的中点, 所以 GH / AB,又GHn HF=H，所以平面 FGH/平面 ABED, 因为BC平面ABED所以BD/平面FGH(II)解法一：设 AB=2，则 CF=1，在三棱台DEF-ABC中，G为AC的中点，1由 DF -AC GC ,2可得四边形DGCF为平行四边形,因此 DG / FC,又 FC丄平面ABC,所以DG丄平面ABC,在 ABC 中，由 AB丄 BC, / BAC=45 , G 是 AC 中点，所以 AB=BC GB丄GC因此GB , GC, GD两两垂直，以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz ,所以 G（0,0,0）, b（V2,0,0）, c（o,72,o）,d（o,o,i）2 2可得 H（丁0） , F（0 ,眨0）故 GH （2血孚,o）,GF（o, ,2,0）,设 n= （x, y, uuur n GH 由 uuu n GFz)是平面FGH的一个法向量，则可得x y 0J2y z 0可得 平面FGH的一个法向量n (1, 1,J2),因为GB是平面ACFD的一个法向量， GB (J2, 0,0)/ GB ?nQ2所以 coSGB,n）尸/|GB|? |n|2J2所以平面FGH与