3知识讲解_导数的几何意义_基础1

1、导数的几何意义X【学习目标】1. 理解导数的几何意义。2. 理解导数的全面涵义。3. 掌握利用导数求函数图象的切线的斜率。4. 会求过点(或在点处)的切线方程。【要点梳理】要点一、导数几何意义1. 平均变化率的几何意义一一曲线的割线函数y f(X)的平均变化率Xy f(x2) f(xi)的几何意义是表示连接函数y f (X)图像上两点割X1线的斜率。如图所示，函数f(X)的平均变化率匸一f-(X1)的几何意义是：直线 AB的斜率。X2 X1Xa XbX2 X1事头上，kABf (X2)f (Xi)换一种表述:曲线上一点P(X0, yo)及其附近一点Q(X0X, yoy),经过点P、Q作曲线的割

2、线PQ,则有kpQ(yo y) yo (Xo X) XoX要点诠释:根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。2. 导数的几何意义一一曲线的切线如图1,当巳(Xn，f(Xn)( n 1,2,3, 4)沿着曲线f(x)趋近于点P(X0,f(X0)时，害熾PPn的变化趋势是我们发现，当点什么?Pn沿着曲线无限接近点 P即 XT 0时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.定义：如图,当点 Q(X0X, y0y)沿曲线无限接近于点 卩匕。),0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。也就是:当 X 0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。

3、: X即：k佃lim f (X0X)f(X)X 0 X X 0f (Xo)。要点诠释：(1)曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。(2 )切线斜率的本质函数在 X X0处的导数。(3 )曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性。若曲线y f(X)在点P(X0, f(X0)处的导数不存在，但有切线，则切线与X轴垂直。f (Xo) 0，切线与X轴正向夹角为锐角，f(x)瞬时递增；f (Xo) 0，切线与X轴正向夹角为钝角,f(X)瞬时递减；f (Xo) 0，切线与X轴零度角，瞬时无增减。(4)曲线的切线可能和曲线有多个公共点;为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的

4、直线叫做切线？”过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线 C都用“与C有且只有一个公共点”来定义C的切线呢？如图1-1-2-1的曲线C是我们熟知的正弦曲线 y=sin X的一部分，直线12显然与曲线C有唯一公共点 M，但我们不能说直线12与曲线C 相切；而直线11尽管与曲线C有不止一个公共点，但我们可以说直线1 1是曲线C在点N处的切线。要点二、曲线的切线(1 )用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤:求出切点(X0, f(x0)的坐标； 求出函数y f (x)在点Xo处的导数f (xo) 得切线方程yf (xo)f (

5、x)(x Xo)(2)在点(X0,f(X0)处的切线与过点(X0, yo)的切线的区别。在点(x0, f(x0)处的切线是说明点(x0, f (x0)为此切线的切点；而过点(X0, yo)的切线，则强调切线是过点(xo, yo)，此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点(xo, yo)的切线方程时，先应判断点(Xi, f (Xi)，(X0, yo)是否为曲线f(X)上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点求过此切点的切线方程yyjf (X1)(X X1)，再将点(xo，yo)代入，求得切点(捲，f)的坐标，进而求过点(Xo，yo)的切线方程。要点三、导数的概念导函数定义：

6、由函数f(x)在X=Xo处求导数的过程可以看到，当时，f (Xo)是一个确定的数，那么，当X变化时，便是X的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(X)或y ,即：f(X) ylim f(X X) f(x)X o要点诠释:函数f(x)在点Xo处的导数f (Xo)、导函数f(X)之间的区别与联系。(1)函数在一点处的导数 f (Xo)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2)函数的导数，是指某一区间内任一点X而言的，也就是函数 f(x)的导函数。(3)函数f(X)在点Xo处的导数f(Xo)就是导函数f(X)在X Xo处的函数值。导函数也简称导数，

7、所以卜别与-H貞工疵=趾捷的导aI导厲ft所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值。导函数求法：(2)由导数的定义可知，求函数 yf(x)的导数的一般方法是:.求函数的改变量yf(xx) f(x)。f(xX) f(x) oX.取极限，得导数y/ = lim 。x o X.求平均变化率YX要点四、导数的定义的几种形式：割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如:y limf(x X) f(x)；(或:X oyf(xo) lim f(x) gX Xoylim f(X)f(X X)； y iimf(x x) f (x)；X o2X

8、oX Xo要点诠释：只要是 X 0时，极限式所表示的是割线的斜率(或其若干倍)，就能表示为导数式。【典型例题】类型一、求曲线的切线方程【高清课堂：导数的几何意义 385147例11例1.曲线的方程为 y X2 1，那么求此曲线在点 P (1, 2)处的切线的斜率，以及切线的方程【解析】利用导数的几何意义，曲线在点P(1, 2)处的切线的斜率等于函数yX21在X 1处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程y Ix1 2,由y X2 1得y(X2 1) 2x，所以曲线在点 P处的切线斜率为k过点P的切线方程为y 22(x 1)，即y 2x.【总结升华1求曲线上一点处切线的步骤:y=f(x)在

9、点x X0处的导数，即曲线 求函数 由点斜式写出直线方程：y y0 f (x0)(x 时导数不存在)时，由切线定义知：切线方程为：y=f(x)在P(X0, f(x0)处切线的斜率。X0)；如果y=f(x)在P (Xo, f(X0)的切线平行于y轴(此X Xo .举一反三:x【变式1】(2015春 儋州校级期末)过曲线 y f(x) 图象上一点(2, 2)及邻近一点(2+ A x, 1 x)2+A y)作割线，则当A x=0.5时割线的斜率为(53A.【答案】【解析】13B当2B. C. 13D.故kpQ故选Box=0.5 时，2+A x=2.5,5?32.51 2.52 22.5 23【变式2

10、】已知函数f(x)= x2 +3,则f(x)在(2 , f(2)处的切线方程为【答案】2f (x) = X + 3, xo= 22 f (2) = 7,A y= f (2 + A x) f (2) = 4 A x+ ( A x)y = 4+ x. limx又切线过(2,7)点,即 4x y 1 = 0.【变式3】(2015A.10【答案】【解析】Q f(x)f (1) 7 ,y = 4.即 f (2) = 4.x 0 x所以f (x)在(2 , f(2)处的切线方程为y 7= 4(x 2)春潍坊期末)函数f (x)4x5的图象在x 1处的切线在x轴上的截距为B. 5C.D.x3 4x 5,即切

11、线的斜率为f(x)3x2乙又f(1)10，故切点坐标(1,10),切线的方程为：y 10 7(x 1)，当y0 时，x -7切线在x轴上的截距为【高清课堂：导数的几何意义 385147例2】7例2 求曲线yx3经过点P(1,1)的切线方程.【解析】本题要分点P(1,1)是切点和P(1,1)不是切点两类进行求解.若点P(1,1)是切点，由y X3得y3x2则k 3，于是切线方程为y 1 3(x 1)，即y 3x 2 ；若点P(1,1)不是切点，设切点为(X0,X03):则切线率k2y 3x0，所以 3x01Xo31Xo13解之得Xo2，所以k -，所以切线方程是 y 13(x 1)，即 y 4x

12、44【总结升华】求切线方程，首先要判断所给的点是否是切点。若是，可用求切线方程的步骤求解; 点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得到切线方程。举一反三：若不是，可设出切【变式1】已知：函数f(x)X3 3x，经过点(2,2)作函数图象的切线，求：切线的方程。【答案】对于函数f (X) X33x，f (X) lim y 3x2 3X 0 X由于点(2,2)在函数f (x)图象上,(1)当点(2,2)是切点时，函数f(x)图象在点(2,2)处的导数即为切线的斜率,即：k f (2)3 22 39，切线方程为：9x y 160 ；(2)当点(2,2)不是切点时，设点(X0,x3 3x0)

13、为切点,函数f(x)在此处的导数(即切线的斜率) kf (Xo) 3x2x； 3xo 2Xo2(X02)0 Xo1，即: X3 3x1 4 0(Xo 1)(Xo 2)2即此时点(1,2)为切点，此时切线方程为 y【变式2】已知曲线y 1。X(1)求曲线过点A( 1，0)的切线方程;(2)求满足斜率为1的曲线的切线方程。3【答案】(1)设过点A(1 , 0)的切线的切点坐标为，因为 lim f (a X)f(a)X 01，所以该a4(xaa)。1切线的斜率为一2，切线方程为ya将A (1, 0 )代入式，得a1。所以所求的切线方程为2y=4x+4。(2)设切点坐标为P X0，由(1)知，切线的斜

14、率为Xo4，则X012Xo1-，x0f3。那爲,3么切点为P屁竺或P，323。3所以所求的切线方程为y【高清课堂：导数的几何意义 385147例3】【变式3】设函数f(x) X3 2ax2 bx a , g (x)x23x 2，其中X R， a, b为常数，已知曲线 y f(x)与yg(x)在点(2,0 )处有相同的切线l.求a,b的值，并写出切线I的方程.323【答案】f(2) lim (2 X)2a(2 X)b(2X)a(2X 0X8a 2ba)2lim 12 8a b 6 X ( X) 12 8a bX 0g(2)讥(2 x 3(2x)x2 (22 3 2 2)叫 X) 1由已知：f(2

15、)0 且 f(2)g(2) a 2,b5，因为 k g(2)1所以I的方程：y X 2类型二、利用定义求导函数4例3.求函数y 在x=2处的导数。X【解析】解法一：（导数定义法）4(x 2)22) 1(x)24 x(x 2)2 jim。lim -2x 0( x 2)解法二:（导函数的函数值法）x(2x x2(xx)x)24(2 xx2(xx)x)2 yixm4(2 X X)x2 (x x)- f(2) y|x2【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导。举一反三:【变式1】已知f(x)，求 f(x)，f (2)【答案】 因为y 4xx 2 vx2，所以(X X 2(X 2) x

16、(X2 Jx 2)vx1x 2 Jx 2当 XT 0 时，f （X）12依=，当 x=2 时，f (2)22J2 2【变式2】求函数y1忑在（0，）内的导函数。解：y1Tx x TxVx y/x xy/x x yfxVx Txxx 忑 x 4x(忑 vxx)(奴 txx)xx Vx (Vx y/x)1X 4XX 品(五 y/X)VXX(4x4XX)XX2k【解析】根据导数定义:f (X0)fx0 ( k)f(xo)(这时 = k),所以limf (Xo k) f(X0)2klkm01 fx0 ( k)f(X0)y lim , L L JX 0 X 仮(仮 yfX)类型三、导数的几种形式例4.若

17、f(x0) 2，则 lim f(X0 k) f(X0)k 0fx0 ( k)f(X0)【总结升华】(1)有一种错误的解法:根据导数的定义：f(Xo)limf(Xo k) f(Xo)(这时 x=k),所以limk 0f (X0 k) f (X0)1f(x0 k) f (X0)2k-lim2 k 0(2)在导数的定义中,增量 X的形式是多种多样的，但不论厶X选择哪种形式， y也必须选择与之相对应的形式。利用函数f(x)在X=X0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式。概念是解决问题的重要依据, 解题。只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延， 才能灵活地应用概念进行举一反三:【变式1】已知函数y = f(x)在 x= Xo处的导数为11，则limX 0f x02 X f x0【答案】limX 0f x02 X f x0f x02 X f x0=2f (Xo) = 2 X 11 = 22.【变式2 设f(x)为可导函数，且满足lim f(1)f(12x)x 02x1则过曲线y=f(x)上点(1, f(i)处的切【答案】线斜率为()A. 2C. 1lim f(1)f(