12勾股定理的逆定理(提高)知识讲解

1、要点诠释：（1 ）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.，是通过计算来判定一个三角（2）验证c2与b2是否具有相等关系.若c2角三角形;c2a2b2，则 ABC不是直角三角形.要点诠释：当a2b2c2时,此三角形为钝角三角形；当a2 b2 c2时，此三角形勾股定理的逆定理（提高）【学习目标】1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及 它们之间的关系.2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条

2、边长a, b, c ,满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形” 形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如 c）.2 2a b ,则 ABC是/ C=90 的直c为三角形的最大边.为锐角三角形，其中要点三、互逆命题.如果把其中一个叫原命题,如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正 确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程X2 y2 z2的三个正整数，称

3、为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）显然，以X、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：5s 12、13 28 15、 c是勾股数，当t为正整数时,17; 7、24、25; 9、40、41以at、bt、Ct为三角形的三边长，此三角形 3、 4、 5; 如杲a、b必为直角三角形(1)n2 1,(2)2n2 2长；(3)m2n2条边长;要点诠释:2n, n,2n1,2n22n ,2mn1,n是自然数）是直角三角形的三条边长;2n 1 （ n是自然数）是直角三角形的三条边（m n, ms n是自然数）是直角三角形的三【典型例题】1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假

4、:(1)同位角相等，两直线平行;如果x 2，那么X24 ；(3) 等腰三角形两底角相等；(4) 全等三角形的对应角相等.(5) 对顶角相等.(6) 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.【思路点拨】 写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论, 一个命题为真命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可.然后将其交换位置，判断【答案与解析】 解：(1)逆命题是:两直线平行，同位角相等，它是真命题.逆命题是:如果X24，那么X 2，它是假命题.(3)(4)(5)逆命题是:逆命题是:逆命题是:有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题. 对应角相等的两个三角形全等，它是假命题.如果两个

5、角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题.(6) 逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题.【总结升华】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位 置，写出它的逆命题，可以借助“如果那么” 分清题设和结论.每一个命题都有逆命题, 其中有真命题，也有假命题.举一反三:【变式】下列定理中，有逆定理的个数是(有两边相等的三角形是等腰三角形；若三角形三边a, b, c 满足 a2b2c2，则该三角形是直角三角形；全等三角形对应角相等；若a b，则 a2b2.A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个【答案】B；提示：的逆命题是：等腰三

6、角形有两边相等，是真命题；的逆命题是：若三角形是直角三角形，2 2 2则三边满足 a b c ( c为斜边)；但对应角相等的两个三角形不一定全等;若a2b2，a与b不一定相等，所以、的逆命题是假命题，不可能是定理.勾股定理逆定理的应用2、如图所示，四边形 ABCD中, AB丄AD, AB= 2, AD= 2品,CD= 3, BC= 5,求/ ADC 的度数.解： AB 丄 AD, / A= 90在 Rt ABD中,BD2 AB2 AD222(273)216 .BD = 4,1AB -BD ,2可知/ADB= 302在 BDC中, BD2CD2162 2 2325 , BC 525 ,BD2 C

7、D2BC2,/ BDC= 90+90= 120/ ADC=/ ADB+Z BD(= 30【总结升华】 利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由因为a2b2边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理. 举一反三：【变式1】 ABC三边a, b, c满足a b c 33810a24b26c ,则 ABC()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D;2提示：由题意 a 5b12 22C 130, a5,b 12,c 13,C2，所以 ABC为直角三角形.在 ABC 中，已知/ ACB= 90 , AC= BC

8、,卩是 ABC 内一点，且 PA=【变式2】如图所示，3, PB= 1 , PC= CD= 2, CD丄CP, 求/ BPC的度数.D【答案】解：连接 BD / CD 丄 CP,且 CD= CP= 2, CPD为等腰直角三角形，即/ CPD= 45./ ACP+Z BCP=/ BCP+Z BCD= 90,/ ACP=/ BCD CA = CB CAPA CBD(SAS)DB = PA= 3.2在 Rt CPD中，DPCP22 2 2CD222228.又 PB = 1,贝U PB2DB29 , DB2 DP2 PB2 DPB为直角三角形，且/ CPB=/ CPD+ DP= 45DPB= 90,+

9、90= 135如图，已知在四边形 ABCD中，AB=20cm , BC=15cm ,【思路点拨】 连接AC,然后根据勾股定理求出 AC的值，然后根据勾股定理的逆定理判断 ADC为Rt，然后根据四边形的内角和定理即可得到/A与/ C关系.【答案与解析】证明：猜想/ A与/C关系为：/ A+ / C=180 连结AC ,/ / ABC=90 ,在Rt ABC中，由勾股定理得:XAC=2 2 2 2AD +DC =625=25 =AC , ADC是直角三角形，且 / D=90 / / DAB+ / B+ / BCD+ / D=360 , / DAB+ / BCD=180 即/ A+ / C=180【

10、总结升华】 此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理, 定理判断 ADC是直角三角形.解题的关键是：根据勾股定理的逆举一反三:【变式】（2015秋？埔桥区校级月考）下列各组数中，全是勾股数的一组是（)A .B .2, 3, 4; 6, 8, 10; 5, 12, 133, 4, 5; 10, 24, 26; 7, 24, 258, 15, 17; 30, 40, 50511C.D .【答案】0.4, 1.2, 1.3; 6, 8, 10; 9, 40, 41 B ；解：A、22 +32却2，不是勾股数，此选项错误;B、32 +42 =5 2 , 10 2+24 2 =26 2 , 7 2 +24 2 =25 2，此选项正确;C、寺2不是勾股数，此选项错误;D、解： AB2 BC252 122169132 AC2, ABC为直角三角形.又BD丄AC,可设CD= x ,/ AB