易学教育中考数学专题之猜想、规律与探索

1、猜想、规律与探索一 选择题1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图a2比图a1多出2个“树枝”， 图a3比图a2多出4个“树枝”， 图a4比图a3多出8个“树枝”，照此规律，图a6比图a2多出“树枝”（ ）来源: a.28 b.56 c.60 d. 124 【答案】c3. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第（是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 【答案】4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n

2、 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）第1个图形第 2 个图形第3个图形第 4 个图形第 18题图【答案】或5. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式： 1 3 - 22 = 3 - 4 = -1 2 4 - 32 = 8 - 9 = -1 3 5 - 42 = 15 - 16 = -1 （1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由【答案】解：； 答案不唯一.如； .6（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一

3、个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；（3）求第n行各数之和【解】（1）64，8，15； （2），； （3）第2行各数之和等于33；第3行各数之和等于57；第4行各数之和等于77-13；类似的，第n行各数之和等于=.二 填空题1. （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_个图形共有120 个。【答案】152. （2011广东东莞，10，4分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形afbdce，它的面积为1，取abc和def各边中点，连接成正六

4、角星形a1f1b1d1c1e1，如图(2)中阴影部分；取a1b1c1和1d1e1f1各边中点，连接成正六角星形a2f2b2d2c2e 2f 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去，则正六角星形anfnbndncne nf n的面积为 .【答案】3. （2011湖南常德，8，3分）先找规律，再填数：【答案】4. （2011广东湛江20,4分）已知：,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算 （直接写出计算结果），并比较 （填“”或“”或“=”）【答案】来源:三 解答题1. （2011山东济宁，18，6分）观察下面的变形规律： 1； ；解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想 ；（2）证明你猜想的结

5、论；（3）求和： .【答案】（1）1分（2）证明：.3分（3）原式1 .5分2. （2011湖南邵阳，23，8分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图（十）所示，在正三角形abc中，m是bc边（不含端点b，c）上任意一点，p是bc延长线上一点，n是acp的平分线上一点，若amn=60，求证：am=mn。（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。证明：在ab上截取ea=mc，连结em，得aem。1=180-amb-amn，2=180-amb -b，amn=b=60，1=2.又cn、平分acp，4=acp=60。mcn=3+4=120。又ba=bc，ea=mc，ba-

6、ea=bc-mc，即be=bm。bem为等边三角形，6=60。5=10-6=120。由得mcn=5.在aem和mcn中，_,_,_,aemmcn（asa）。am=mn.(2)若将试题中的“正三角形abc”改为“正方形a1b1c1d1”(如图)，n1是d1c1p1的平分线上一点，则当a1m1n1=90时，结论a1m1=m1n1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）（3）若将题中的“正三角形abc”改为“正多边形anbncndnxn”，请你猜想：当anmnnn=_时，结论anmn=mnnn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）【答案】解：（1）5=mcn，ae=mc，2=1；来源:（2）结论成立

7、；（3）。3. （2011四川成都，23,4分）设, 设，则s=_ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)【答案】=s=+.接下去利用拆项法即可求和4. （2011四川内江，加试5，12分）同学们，我们曾经研究过nn的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+n2但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题首先，通过探究我们已经知道01+12+23+(n1)n=n(n+1)(n1)时，我们可以这样做：(1)观察并猜想：12+22=(1+0)1+(1+1)2=1+01+2+12=(1+2)+(01+12)12+22+32=(1+0)1+(

8、1+1)2+(1+2)3=1+01+2+12+3+23来源:=(1+2+3)+(01+12+23)来源:12+22+32+42=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3+ =1+01+2+12+3+23+ =(1+2+3+4)+( )(2)归纳结论：12+22+32+n2=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3+1+(n1)n=1+01+2+12+3+23+n+(n一1)n=( ) + 来源:= + = (3)实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是 【答案】（1+3）44+3401+12+23+341+2+3+n01+12+23+(n-1)n来

9、源:学。科。网n(n+1)(n1)n(n+1)(2n+1)5. （2011广东东莞，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；（3）求第n行各数之和【解】（1）64，8，15； （2），； （3）第2行各数之和等于33；第3行各数之和等于57；第4行各数之和等于77-13；类似的，第n行各数之和等于=.来源:6. （2011四川凉山州，19，6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是

10、一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。1112113311（a+b）1（a+b）2（a+b）3（1）根据上面的规律，写出的展开式。（2）利用上面的规律计算：【答案】解： 原式= = =1 来源:z*xx*k.com 注：不用以上规律计算不给分.7. （2011四川凉山州，20，7分）如图，是平行四边形的对角线上的点，请你猜想：线段与线段有怎样的关系？

11、并对你的猜想加以证明。来源:bcdefa20题图【答案】猜想：。 证明： 四边形abcd是平行四边形 ， 在和 ， 即 。一、选择题131517199113571、（2011年北京四中中考模拟20），和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，也能按此规律进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中最大的是( )a、41 b、39 c、31 d、29答案a2、（2011年北京四中模拟26）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，。通过观察，用作所发现的规律确定212的个位数字是 （ ）a2 b.4 c.6 d.83（

12、2011年浙江省杭州市模拟）如图，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积( )a.32 b.54 c.76 d.86 （第1题图） 4. （2011浙江杭州模拟7）图是一块边长为1，周长记为p1的正三角形纸板，沿图的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图，记第n(n3) 块纸板的周长为pn，则pn-pn-1的值为（ ）a b c d答案:c来源:5 (2011浙江省杭州市10模)公务员行政能力测试中有一类图形

13、规律题，可以运用我们初中数学中的图形变换再结合变化规律来解决，下面一题问号格内的图形应该是（ ）（ (第2题）答案:b6. (2011浙江省杭州市10模)对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于an、bn两点，以表示这两点间的距离，则的值是 答案: 7、（2011年浙江杭州二模）（2011年浙江杭州三模）对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于an、bn两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ） ab c d答案：d8、（2011年浙江杭州七模）图是一块边长为1，周长记为p1的正三角形纸板，沿图的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一

14、块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图，记第n(n3) 块纸板的周长为pn，则pn-pn-1的值为（ ） （第2题图） a b c d答案：c二、填空题1、（2011年黄冈中考调研六）瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据，中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门请你根据这个规律写出第9个数答案2、（北京四中模拟）一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，其中第7个数是 ，第个数是 （为正整数）答案：3、（2011杭州模拟26）如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形若 y = 2，则x 的值等于 . 答案： 4、（2011杭州模拟

15、26）若【x】表示不超过x的最大整数（如【】=3，【】=-3等），则【】+【】+【】= . 答案：2000来源:5、（2011年浙江杭州三模）如图，在平面直角坐标系上有个点p(1，0)，点p第1次向上跳动1个单位至点p1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点p2(1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，依此规律跳动下去，点p第100次跳动至点p100的坐标是 。答案：（26，50） 三、解答题1、（2011年北京四中中考模拟18）已知：abc中，ab10如图，若点d、e分别是ac、bc边的中点，求de的长；如图，若点a1

16、、a2把ac边三等分，过a1、a2作ab边的平行线，分别交bc边于点b1、b2，求a1b1a2b2的值；来源:学&科&网如图，若点a1、a2、a10把ac边十一等分，过各点作ab边的平行线，分别交bc边于点b1、b2、b10。根据你所发现的规律，直接写出a1b1a2b2a10b10的结果。解：de=5 a1b1a2b2=10a1b1a2b2a10b10=502、（2011年北京四中中考模拟19）（本小题满分6分）观察下面的点阵图，探究其中的规律。摆第1个“小屋子”需要5个点，摆第2个“小屋子”需要 个点， 摆第3个“小屋子”需要 个点？ （1）、摆第10个这样的“小屋子”需要多少个点？ （2）

17、、写出摆第n个这样的“小屋子”需要的总点数，s与n的关系式。解：11，17，59；s=6n-1；2、(2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)15、阅读下列方法：为了找出序列3、8、15、24、35、48、的规律，我们有一种“因式分解法”。如下表：项123456n值3815243548分解因式： 13 18 115 124 135 148 24 35 212 57 22446 316 412 68来源:因此，我们得到第n项是n(n+2),请你利用上述方法，说出序列：0、5、12、21、32、45、的第n项是 。答案：（n-1）(n+3)3. (2011浙江省杭州市10模)一种长方形餐桌的四周可

18、以坐人用餐（带阴影的小长方形表示个人的位置）现把张这样的餐桌按如图方式拼接起来（1）问四周可以坐多少人用餐？（用的代数式表示）（2）若有人用餐，至少需要多少张这样的餐桌第3题图解:4n+2, 4n+228,n6.5, n=7b组一、选择题1（2011杭州市模拟）bcae1e2e3d4d1d2d3（第10题图）如图，已知，是斜边的中点，过作于，连结 交于；过作于，连结交于；过作于，如此继续，可以依次得到点，分别记，的面积为，则a= b=c= d=答案：d112111101212019181716151413549876232（2011浙江杭州义蓬一中一模）课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物

19、（课题小组成员把他们分别标号为，）的生长情况进行观察记录这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为，），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录）那么标号为的微生物会出现在（ ） a第天 b第天 c第天 d第天答案：c3（2011浙江杭州育才初中模拟）用9根相同的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）（初一天天伴习题改编）poba第2题图(a)4种 (b) 3种 (c)2种 (d) 1种答案：b4.（浙江杭州进化2011一模）如图，四个电子宠物排座位：一开始，

20、小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号的座位上，以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后，再左右两列交换位置，第三次是在第二次交换位置后，再上下两排交换位置，第四次是在第三次交换位置后，再左右两列交换位置，这样一直继续交换位置，第2008次交换位置后，小鼠所在的座号是（ ）.1234鼠鼠鼠猴兔兔猫兔猫猫猴猴？a1 b2 c3 d4答案:a5、（2011年黄冈市浠水县）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需要黑色棋子的个数是（ ）第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形a140 b120 c99 d86

21、答案：b6、（北京四中2011中考模拟14）将正偶数按下表排成5列: 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 2 4 6 8第二行 16 14 12 10第三行 18 20 22 24第四行 32 30 28 26 。 。 。根据上面规律，2004应在（ ）a、125行,3列 b、125行,2列 c、251行,2列 d、251行,3列答案：d7、（2011杭州模拟20）希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数

22、的是（ ）（a）289 （b）1024 （c）1225 （d）1378（第1题）答案：c8.（2011年广东省澄海实验学校模拟）根据图中箭头的指向的规律，从2007到2008再到2009，箭头的方向是以下图示中的（ ）901256108743 dcab答案：c9.（2011深圳市模四）如图，abc中，acb=90，b=30，ac=1，过点c作cd1ab于d1，过点d1作d1d2bc于d2，过点d2作d2d3ab于d3，这样继续作下去，线段dndn+1(n为整数)等于（ ）a、 b、 c、 d、第2题图 11题图答案：d二、填空题1（ 2011年杭州三月月考）定义新运算“”，规则：，如，。若的两

23、根为，则 答案：2（2011年重庆江津区七校联考一模）观察下列各式：请你将猜想到的规律用含自然数n(n1)的代数式表示出来是_ _.答案：（第13题）3. （2011杭州上城区一模）如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，是相邻两行的前四个数（如图所示），那么当a=8时， ， 答案：9，37 (每空2分)4.（2011浙江杭州义蓬一模）古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21，叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为a,第二个三角数形记为a,，第n个三角形数记为a,计算a a,a a由此推算aa= a= 答案： 100,5050 5.（浙江杭州金山学校2011模拟） （根据2

24、011年中考调研试卷改编）一串有趣的图案按一定的规律排列(如图)：按此规律在右边的圆中画出的第2011个图案： 。答案：6.（浙江杭州靖江2011模拟）我们知道，根据二次函数的平移规律，可以由简单的函数通过平移后得到较复杂的函数，事实上，对于其他函数也是如此。如一次函数，反比例函数等。请问可以由通过_平移得到。（原创）答案：向右平移1个单位，再向上平移3个单位7、（2011年黄冈市浠水县）根据图中提供的信息，用含n（n1，n是正整数）的等式表示第n个正方形点阵中的规律是：_ _. 答案：8、（北京四中2011中考模拟14）考查下列式子，归纳规律并填空： 1=（-1）21; 1-3=（-1）32

25、; 1-3+5=（-1）43; 1-3+5-7+（-1）（2n-1）=_(n1且为整数).答案：（-1）n 来源:9、（2011年黄冈浠水模拟1）下面是用棋子摆成的“上”字： 第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第n个“上”字需用 枚棋子来源:答案：10、（2011年黄冈浠水模拟2）研究表明一种培育后能繁殖的细胞在一定的环境下有以下规律：若有n 个细胞,经过第一周期后，在第1 个周期内要死去1个，会新繁殖(n-1)个；经过第二周期后，在第2 个周期内要死去2个,又会新繁殖(n-2)个；以此类推.例如, 细胞经过第x 个周期后时,在第

26、x 个周期内要死去x个，又会新繁殖 (n-x)个.周期序号在第x周期后细胞总数1n-1+(n-1)=2(n-1)22(n-1)-2+(n-2)=3(n-2)33(n-2)-3+(n-3)=4(n-3)当n=21时,细胞在第10周期后时细胞的总个数最多.最多是 个.答案：在第x周期后时,该细胞的总个数y，则 ，当n=21时， = ，所以当x=10时，y最大=121dcba第3题图11、（2011年杭州模拟17）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母a、b、c、d。请你按图中 箭头所指方向(即abcdcbabc的方式)从a开始 数连续的正整数1，2，3，4，当数到12时，对应的字母是 ；当字母c第

27、201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母c第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 (用含n的代数式表示)。（2010北京中考第12题）答案：b、603、6n+312.（2011年广东省澄海实验学校模拟）观察下列关系式:,设表示正数,用关于的等式表示这个规律为: 。答案：（可化简）13（2011年杭州市上城区一模）如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，是相邻（第13题）两行的前四个数（如图所示），那么当a=8时， ， 答案：9，3714、（2011年北京四中33模）如下图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，以此类

28、推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an(n3)，则a6= ，当时，则n= 。答案：42；10015、（2011年北京四中34模）已知小正三角形abc的面积为1，把它的各边延长1.5倍（即a1c=1.5ac）得到新正三角形a1b1c1（如图图（1）；把正三角形a1b1c1边长按原法延长1.5倍得到正三角形a2b2c2（如图（2）；以此下去，则正三角形a3b3c3的面积为_答案： （1） （2）16、（2011年浙江杭州28模）如图是对称中心为点o的正六边形如果用一把含角的直角三角板，借助点o（使三角板的顶点落在点o处），把这个正六边形等分，那么的所有可能值是 答案：4或6或1217、（

29、2011年浙江杭州28模）如图，已知a1，a2，a3，an是x轴上的点，且oa1= a1a2= a 2 a 3= an an+1=1，分别过点a1，a2，a 3，a n+1作x轴的垂线交一次函数的图象于点b1，b2，b3，b n+1，连结a1 b2，b1 a2，a2 b3，b2 a3，an b n+1，bn a n+1依次产生交点p1，p2，p3，pn，则pn的坐标是 答案：三、解答题1（2011年杭州市西湖区模拟）一种长方形餐桌的四周可以坐人用餐（带阴影的小长方形表示个人的位置）现把张这样的餐桌按如图方式拼接起来（1）问四周可以坐多少人用餐？（用的代数式表示）（2）若有人用餐，至少需要多少张这样的餐桌？第17题答案：（本题6分）（1）（）人 2分（没写单位不扣分） （2）=28 4分 5分 答：至少需要7张这样的餐桌6分来源:2.（2011深圳市全真中考模拟一）.判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾(这个数的末位数字)后所得到的数与此一节尾的5倍的和能否被7整除如果