2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.1.2蝗制课件新人教A版必修420210305118

1、1.1.2弧度制,必备知识自主学习,1.度量角的两种制度 (1)角度制 定义:用度作为单位来度量角的单位制. 1度的角:周角的 为1度角,记作1. (2)弧度制 定义:以弧度为单位来度量角的单位制. 1弧度的角:长度等于_的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 表示方法:1弧度记作1 rad.,半径长,【思考】 在大小不同的圆中,长度为1的弧所对的圆心角相等吗? 提示:不相等.这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1,在大小不同的圆中,由于半径不同,所以圆心角也不同.,2.弧度数的计算与互化 (1)弧度数的计算.,(2)弧度与角度的互化.,(3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表,【思考】 你认为式子|=

2、 中,比值 与所取的圆的半径大小是否有关? 提示:与半径大小无关,一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一 确定的.,3.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,(02)为其圆心角,则 (1)弧长公式:l=_. (2)扇形面积公式:S=,R,【思考】 我们初中学过的半径为r,圆心角为n的扇形弧长、面积公式分别是什么? 提示:半径为r,圆心角为n的扇形弧长公式为l= 扇形面积公式为 S扇=,【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”) (1)1弧度就是1的圆心角所对的弧.() (2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.() (3)160化为弧度制是 rad.()

3、提示:(1).1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角. (2).“1弧度的角”的大小是等于半径长的圆弧所对的圆心角,是一个定值,与所在圆的半径 大小无关. (3).160=160 rad= rad.,2.(1) 化为角度是_. (2)215化为弧度是_. 【解析】(1) (2)215=215 答案:(1)315(2) rad,3.(教材二次开发:练习改编)已知扇形的圆心角为 ,面积为 ,则扇形的半 径是_. 【解析】设扇形的圆心角为,半径为r,扇形的面积公式为:S= r2, = r2r2=4r=2. 答案:2,关键能力合作学习,类型一弧度与角度的互化 【题组训练】 1.(1)将11230化为弧度

4、为_. (2)将- rad化为角度为_. 2.已知=15,= =1,=105,试比较,的大小.,【解析】1.(1)因为1= rad, 所以11230= rad112.5= rad. (2)因为1 rad= 所以 答案:(1) rad(2)-75,2.方法一(化为弧度): =15=15 =105=105 显然 故. 方法二(化为角度):= =18,=157.30. 显然,151857.30105,故.,【解题策略】 角度制与弧度制互化的原则和方法 (1)原则:牢记180= rad,充分利用1= rad和1 rad= 进行换算; (2)方法:设一个角的弧度数为,角度数为n,则 rad= ;n=n

5、.,【补偿训练】 1.252的弧度数为() A.252B.-252C. D.- 【解析】选C.根据1= 弧度, 252=252 弧度.,2.将 弧度化为角度的结果为() A. B.120 C. D.270 【解析】选A.根据1= ,可得,类型二利用弧度制表示角 【典例】若角的终边与角 的终边相同,则在 内与角 的终边相同的 角是_. 【思路导引】根据角的终边与角 的终边相同,得到= +2k,kZ,再 得到 ,然后由 0,2)列式,根据kZ,可得整数k 的值,从而可得出答案.,【解析】因为= +2k(kZ), 所以 (kZ). 依题意,得0 2(kZ), 解得- (kZ), 所以k=0,1,2,

6、 所以在 内与角 的终边相同的角为 答案:,【解题策略】 1.弧度制下与角终边相同的角的表示:在弧度制下,与角的终边相同的角可以表示为|=2k+,kZ,即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍. (1)仔细观察图形. (2)写出区域边界作为终边时角的表示. (3)用不等式表示区域范围内的角.,【跟踪训练】 1.在02范围内,与角- 终边相同的角是() 【解析】选A.与角- 终边相同的角是2k+ ,kZ,令k=1,可得与角- 终边相同的角是 .,2.将- 化为2k+ 的形式为_. 【解析】因为- +4= ,所以- =-4+ . 答案:-4+,3.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界

7、)的角的集合.,【解析】因为30= rad,210= rad,这两个角的终边所在的直线相同, 因为终边在直线AB上的角为=k+ ,kZ,而终边在y轴上的角为=k+ , kZ,从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合 为,类型三扇形的弧长公式及面积公式 角度1利用公式求弧长和面积 【典例】已知扇形的半径为10 cm,圆心角为60,求扇形的弧长和面积. 【思路导引】已知扇形的半径,圆心角,把圆心角化为弧度制,利用扇形的弧长、面积公式算出即可.,【解析】已知扇形的圆心角=60= ,半径r=10 cm,则弧长l=r= 10= (cm),于是面积S= lr= 10= (cm2).,角度2利用公式求

8、半径和弧度数 【典例】扇形OAB的面积是4 cm2,它的周长是8 cm,求扇形的半径和圆心角. 【思路导引】设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,圆心角的弧度数为,由已知列方程组,解方程组即可.,【解析】设扇形圆心角的弧度数为(02),弧长为l cm,半径为r cm, 依题意有 由,得r=2,所以l=8-2r=4,= =2. 故所求扇形的半径为2 cm、圆心角的弧度数为2 rad.,角度3利用公式求扇形面积的最值 【典例】已知扇形的圆心角为,半径为R. 若扇形的周长是一定值C(C0),当为多少弧度时,该扇形的面积最大? 【思路导引】利用扇形的周长是C以及弧长公式,即可表示扇形圆心角 为 ,由

9、扇形面积、二次函数即可求解.,【解析】因为扇形周长C=2R +l=2R +R, 所以= , 所以S扇= R2= R2=-R2+ CR= 当且仅当R= ,即=2 rad时,扇形面积最大.,【解题策略】 (1)三个公式:= ,l=R,S= lR= R2.要根据已知量、未知量之间的 关系,适当选择公式,建立方程(组)、不等式(组)或函数解决问题. (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪 些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求 解. (3)弧长、面积的最值问题:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利 用函数知识求最值,一般多利用

10、二次函数的最值求解.,【题组训练】 1.时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为() 【解析】选B.分针每分钟转6,则分针在8点到10点20分这段时间里转过的度数 为-6(260+20)=-840,所以-840,2.若2弧度的圆心角所对的弦长为4,则这个圆心角所对的弧长为(),【解析】选B.画出图象如图所示, 在O中,AOB=2=2,=1,AB=4,C是AB的中点, 所以OCAB,在RtOCB中,sin = , 即sin 1= ,所以OB= , 所以2弧度的圆心角所对的弧长为2,1.已知=-2 rad,则角的终边在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 【解析】选C.因为1 rad= , 所以=-2 rad=- -114.6, 故角的终边在第三象限.,课堂检测素养达标,2.已知某扇形的面积为2.5 cm2,若该扇形的半径r,弧长l满足2r+l=7 cm,则该 扇形圆心角大小的弧度数是() 【解析】选D.据题意, 所以 或