导数题型分析及解题方法

1、导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；函数的最大值和最小值。两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值,二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1. f (x) =x3-3x2 2在区间-1,1】上的最大值是222 已知函数y =f (x) rx(x C)在x =2处有极大值，则常数 c=633 函数y二1 S-x有极小值1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1.曲线y=4x_x3在点-1，-3处的切线方程是y=x_22 若曲线f(x) =x4 _x在P点处的切线平行于直线3x_y =0，则p点的坐标为(

2、1, 0)43若曲线y =x的一条切线丨与直线x 4y-8 = 0垂直，则l的方程为4x- y-3 =04 .求下列直线的方程：322(1) 曲线y二x x1在P(-1,1)处的切线；(2)曲线y二X过点p(3,5)的切线;解:(1)；点 p( _1,1)在曲线 y =x3 x2 -1上, y/ =3x2 2x ,y/ x =3 2 =1所以切线方程为y -1 =x 1，即x _y，2 =0(2)显然点P(3,5)不在曲线上，所以可设切点为 A(x0，y0)，则yo =x。2又函数的导数为y2x ,所以过A(x0,y0)点的切线的斜率为k lxf =2x。,又切线过A(x0,y0)、P(3,5

3、)点，所以有2X0x。3，由联立方程组得,jXo 二1 或 x0 二5日 凶=25，即切点为(1, 1)时，切线斜率为k1 =2X0 =2;；当切点为(5, 25)时，切线斜率为 a =2X0 0 ；所以所求的切线有两条，方程分 别为 y 一1 =2(x -1)或y -25 =10(x -5),即y =2x -1 或y =10x -25题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值321已知函数f(x)=x +ax +bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1, f(1)的切线方程为y=3x+1(I)若函数f(X)在X = -当 x _1 时,f (x)0. f(x)极大二 f(-2)=13处有极

4、值，求f (x)的表达式；(n)在(I)的条件下，求函数 丫 = f (x)在3, 1上的最大值；(川)若函数丫 = f(x)在区间2, 1上单调递增，求实数 b的取值范围解：(1 )由 f (x) = x ax bx c,求导数得 f (x) = 3x - 2ax b.过y = f (x)上点p(1,f (1)的切线方程为：y - f (1) =f (1)(x -1),即y (a b e 1(3 2a b)(x -1).而过y二f (x)上 P1, f的切线方程为y = 3x 1.3 +2a +b =3即严b=a e =3y = f(x)在x =-2时有极值，故f (-2) =0,. -4a

5、 b =12 由得a=2 , b= 4, c=5.f(x) =x3 2x2 -4x 5. f (x) =3x2 4x-4 = (3x -2)(x 2).2一3 乞 x：:2 时,f (x)0;当2Ex 时，f(x)：:0;当3f(1)=4,. f(x)在3, 1上最大值是 13。(3) y=f(x)在2, 1上单调递增，又 f (x)二 3x2 2ax b,由知 2a+b=0。依题意当当詣一2时,f(x)mimin二 f (-2) =12 2b b _0, b当-2 乞6 汨时,f (x)mibmin212b 一13-0,贝V0 乞 b 乞 6.12f (x)在2, 1上恒有 f(X) 0，即

6、 3x又 - bx b 一 0.1 时，f (x)min = f (1) =3 -b b 0, b 一 6 6综上所述，参数f b的取值范围是0,)322 .已知三次函数f(x)=x ax bx c在x=1和x=-1时取极值，且f(-2)=-4 .(1) 求函数y=f(x)的表达式； 求函数y =f )的单调区间和极值； 若函数g (x) = f (x _m) 4m (m .0)在区间m-3, n上的值域为 U6】，试求m、n应满足 的条件.2解.(i) f (x) =3x 2ax b由题意得，仁一1是3x2 .2axb=0的两个根，解得，a=0, b=3 .3再由 f ( f) = 4 可得

7、 c = -2f (x) =x -3x 2 .2(2) f (x) =3x -3 =3(x 1)(x -1),当 xc1 时，f(x)0 ；当 x=L 时，f(x)=0 ；当1 x 0；当 Xi : X ：: X2 时，f(x) V0；当 x - X2 时，f(x) 0因此Xi是极大值点，x2是极小值点.，当b=i时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象y =X3 _4x +i的图像为2 .函数 3( A )42-4-2y642oo-2-2-4-43 方程2x3 -6x2 7 =0在(0,2)内根的个数为A、0 B 、iC、2题型五：利用单调性、极值

8、、最值情况，求参数取值范围1322f(x) x 2ax -3a x b,0 叮 a : 1.1 设函数3(1)求函数f(x)的单调区间、极值(2)若当a 1, a 2时，恒有1 f(X)匡a，试确定a的取值范围解.(1) f (X)=x +4ax3a =(x3a)(xa)令 f(x)=0 得 X1 = a, x=3a列表如下：f (x) 极小极大 |f(x)在a，3a)上单调递增，在(-玄)和(3a, +8)上单调递减x(-8, a) a(a, 3a)3a(3a, +8)f (x)- 0+ 0-4 3x = a 时,f极小(x)二bf 极小(x)=bEa , x=3a 时,(2) f (x)-

9、x? 4ax -0 : a ： 1 对称轴 x = 2a ： a 1, f (x)在a+1 , a+2上单调递减2 2 2 2fMax = (a +1) +4a( a * 1) 3a 2a 1f m (a + 2) *4a(a*2) 3a = 4a 4依题1 f(X) - a二I fMax - a , |fmin|-a 即宓玄-卅-比沁玄-纠-玄4乞a叮解得5，又0 ”： a ”： 1 a的取值范围是5,1)21 )求a、b的值与函2 .已知函数f (x) = x3+ ax2 + bx+ c在x= 3与x= 1时都取得极值数f (x)的单调区间(2)若对 1 , 2，不等式f (x) c2恒成

10、立，求c的取值范围。 解：(1) f (x) = x3 + ax2 + bx+ c, f (x)= 3x2 + 2ax + b辽-笃+ b = 03)= 93f (1) = 3 + 2a+ b = 0 得 a =2 ,f (x)= 3x2 x 2=( 3x + 2) (x 1),函数f (x)的单调区间如下表:x2(oO, 3 )232(3 , 1)1(1 ,+ 0)f (x)+00+f (x)极大值极小值2 2所以函数f (x)的递增区间是(一叫一3)与(1 ,+辺)，递减区间是(一 3 , 1)1 2 22(2) f (x)= x3 2 x2-2x + c, x 1, 2，当 x=- 3

11、时，f (x) = 27 + c为极大值，而f (2)= 2+ c,贝U f ( 2)= 2 + c为最大值。要使 f (x) f (2) = 2 + c,解得 cc 1 或 c2题型六：利用导数研究方程的根1.已知平面向量 a =( 3, 1). b=(2, 2 ).(1)若存在不同时为零的实数k和t，使x = a+(t2 3)b , y=-ka+tb , x丄y ,试求函数关系式k=f(t); 据的结论，讨论关于t的方程f(t) k=0的解的情况.解：(1) X 丄 yX y=0 即a+(t2-3) b ( -k a +t b )=0.2-一 2整理后得-ka +t-k(t2-3)a b+

12、 (t2- 3) b =0/ a b =0,2 2a =4, b =1，上式化为-4k+t(t2-3)=01，即 k= 4 t(t2-3)11(2)讨论方程4 t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=4 t(t2-3) 与直线y=k的交点个数33于是f (t)=4 (t2-1)=4(t+1)(t-1).令 f (t)=0,解得t仁-1,t2=1.当t变化时，f 、f(t)的变化情况如下表：t(-m, -1)-1(-1,1)1(1,+ m)f+0-0+F(t)/极大值极小值/1当t= 1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2 .1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=2

13、1函数f(t)= 4 t(t2-3)的图象如图13 2 1所示，可观察出：1 1(1)当k 2或kv 2时，方程f(t) k=0有且只有一解;1 1当k= 2或k= 2时，方程f(t) k=0有两解；1 1 当一2 v kv 2时，方程f(t) k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合1设a,函数f(xrx3-ax在口，：)上是单调函数.(1) 求实数a的取值范围；(2) 设 X。 1, f(X) 1,且 f (f (Xo) = Xo，求证：f(X0) = X0.解:( 1) y =f (x) =3x -a，若f(X)在H,上是单调递减函数，则须y ”： ，即a 3x，这样的实数a不存在.故f

14、(X)在1上不可能是单调递减函数.若f(x)在1 7上是单调递增函数，则 a 3x2,由于1，故3x2 -3.从而aw 3.(2)方法1、可知f(X)在1 =上只能为单调增函数.若1 x f (x)，则 f(X) V f (f (X) =X 矛盾，若 1 w f (x) X,则 f (f (x) 23f(x)=(x +：)(x+a)2 已知a为实数，函数2(1) 若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求 a的取值范围(2) 若f(-1)=0，(I)求函数f(x)的单调区间5(n)证明对任意的冷x2 (-1,0)，不等式EX X卜16恒成立323323f (x)二 x ax x a . f

15、(x)二 3x 2ax 解：22,2函数f(x)的图象有与x轴平行的切线， f(x)=0有实数解a2肯，所以a的取值范围是(f(-1)=033 _2a 2-092af (x)二 3x4= 3(x+*)(x + 1)由 f(x) Qx，1 或 xf(x)1:0,1 ： x :2-f(x)的单调递增区间是(一二，一1),(：);单调减区间为(记)f(*25易知f (x)的最大值为8 , f (x)的极小值为14927f(7)=6 又 f(0)盲Mf (x)在T，0上的最大值2749m8，最小值16-对任意人必* (-1,0)，恒有27495IfgfX2)卜:M-m書兀耳题型八：导数在实际中的应用1

16、 .请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点 O到底面中心01的距离为多少时，帐篷的体积最大?解：设001为x m，则1 x 4由题设可得正六棱锥底面边长为：V (x) 3 3 (8 2x x2)】(x 1) 13 (16 12x x3)3帐篷的体积为：232(单位：m )故底面正六边形的面积为:6 手 58 + 2xx2)2 = 2x-x2),(单位:V(x)求导得二三(12 3x2)2令V(x) =0，解得 2 亠(不合题意，舍去)，x= 2 ,当 1：x；：2 时，V(x) 0，V( x)为增函数;当 2 ：x

17、 ： 4 时，V(x) ： 0，V (x)为减函数。.当x =2时，V (x)最大。答：当001为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为16 3 m3 。2 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度 X (千米/1y =x3 -丄x+8(00,h(x)是增函数。.当 x =80 时，h(x)取到极小值 h(80)二11*25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以 40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以 80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。题型九：导数与向量的结合1.设平面向量a時，扣，12若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使* Q!P 、 , Fx 二a (t _k)b,y 二-sa tb且x _ y,(1) 求函数关系式 S = f (t)；(2) 若函数S = f (t)在1 :上是单调函数，求k的取值范围