天一专升本高数知识点

1、第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：f ( - X)= - f(X)，图像关于原点对称。偶函数：f(-X)二f (X)，图像关于y轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设a, B是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则a(1)若lim 0，则a是比B高阶的无穷小量。(2)若lim = c (不为0),贝y a与B是同阶无穷小量a特别地，若lim 1，则a与B是等价无穷小量a(3)右 lim 二记忆方法：看谁趋向于4、两个重要极限，则a与B是低阶无穷小量0的速度快,谁就趋向于 0的本领高。（1）lim

2、xT X沁=lim丄=1X 0 sinx使用方法:拼凑sin= ms?r0，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致（2）lim 1 +x1-IX1二 lim（1 x）x = eXr0i）e使用方法i后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。5、limX g xa。,n = mb。0,n mn m巳X的最高次幕是n,Qm x的最高次幕是 m.,只比较最高次幕，谁的次幕高，谁的头大，趋向于无穷大的速度 快。n二m,以相同的比例趋向于无穷大； n ”： m，分母以更快的速度趋向于无穷大；n m，分子以更快的速度趋向于无穷大。7、左右极限左极限：lim f (x)二 AX_0 右极限：

3、lim f (x) = Ax_o +lim f (x)二 A充分必要条件是 lim f (x) = lim f (x) = AX 込0X 汽x )xq 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8连续、间断连续的定义:lim y =limjf (人x)或 lim f (x) = f (x0)x=xq间断：使得连续定义lim f (x)二f (x0)无法成立的三种情况f (x0)不存在，f (x0)无意义( lim f (x)不存在lim f (x)式 f(X。)记忆方法：1右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等9、间断点类型(1 )、第二类间断点:lim f (x)、lim f

4、 (x)至少有一个不存在X X) 一XXq(2)、第一类间断点：lim f (x)、lim f(x)都存在IX。一X。十可去间断点：lim_f (x) = lim f (x)IX XqX Xq跳跃间断点：lim f (x) = lim f (x)IX。一IX。注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质(1)最值定理：如果 f(x) 在a,b】上连续，则f (x)在Ia,b】上必有最大值最小值。(2)零点定理：如果f(x)在a,b上连续，且f(a) f (b 0，则

5、f (x)在a,b内至少存在一点，使得 f)=0第三讲 中值定理及导数的应用1、罗尔定理如果函数 y 二 f(x) 满足：(1)在闭区间la,b 1上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f(a)二 f(b),2、拉格朗日定理如果 f(x) 满足(1)在闭区间a,b上连续(2)在开区间(a,b)内可导;f (b) - f (a)b - a(*)推论i :如果函数 y= f(x) 在闭区间Ia,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且 f (X)0， 那么在(a, b)内f (x) =c恒为常数。记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。(*)推论2 :如果 f (x),g(x) 在

6、a, b i上连续，在开区间(a,b) 内可导，且 f (x)三 g(x),x (a,b)，那么 f (x)二 g(x) cx,有f(xp f (x0)，则称f (X0)为函数x,有f(x) f(X。)，则称f(X。)为函数3、驻点满足f (x)二0的点，称为函数f (x)的驻点。几何意义：切线斜率为 0的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设f(X)在点人的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点 f (x)的极大值，x0称为极大值点。设f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点f (x)的极小值，x0称为极小值点。记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。

7、5、拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。6、设 f (x)在(a,b) 内可导，如果f (x)0，则f (x)在(a,b)内单调增加;如果f(X)： 0，则f (x)在 (a,b) 内单调减少。记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，f (x) 0 ；在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，f (x) ： 0 ；7、取得极值的必要条件可导函数f (x)在点x0处取得极值的必要条件是f (xj二08取得极值的充分条件第一充分条件：设 f(x) 在点x0的某空心邻域内可导，且f(x) 在x0处连续，则(1) 如果X ： x0时，f(x)。x

8、x0时，f(x)：0,那么f(x)在x0处取得极大值f(xj ；(2) 如果x ： x0时，f(X)： 0 ； x x0时，f(x)0，那么f (x)在x0处取得极小值f(x0)；(3)如果在点x0的两侧，f (x)同号，那么f(X)在x0处没有取得极值;记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 第二充分条件：设函数f (x)在点X。的某邻域内具有一阶、二阶导数，且f(X。)= 0，f”(x。)= 0则 (1)如果(x0) ”： 0，那么f (x)在x0处取得极大值f (x0)；(2)如果 f (X0) 0，那么f (x)在x0处取得极小值f (x0)9、凹凸性

9、的判定设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，(1)如果f”(x) 0,x(a,b)，那么曲线f(x)在(a,b)内凹的;(2)如果 f(X)： 0, x (a, b)，那么 f (x)在(a,b)内凸的。10、0曲线f(x)在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。11、(1) 垂直渐近线：若存在点 xo，lim f(x)：，则目二f (x)有垂直渐近线x = x。(2) 求斜渐近线:-ax = b，贝yax b为其斜渐近线。遇到如果遇到幕指函数，需用f (x) = eln f (x)把函数变成“ 00第二讲导数与微分1、导数的定义(1) 、f (x0) = lim Ay =

10、 limf (x0 + 心x) f (x0)】=0a(2) 、fg 啊空Vf2(3) 、g 的3)j x - X。注：使用时务必保证 x0后面和分母保持一致，不一致就拼凑。2、 导数几何意义：f(X。)在X = X。处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与f (x。)乘积为一13、导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。4、求导方法总结(1 )、导数的四则运算法则Fu v =u v(u *v) =u *v V uFu _ u v - V u_ 2IV丿v(2 )、复合函数求导：y = ft： x 1是由y = f (u)与u二:(x)复合而成，则dy dy du=dx du

11、 dx(3 )、隐函数求导对于 F(x,y)=O， 遇到y,把y当成中间变量u,然后利用复合函数求导方法。(4)、参数方程求导X =9(t)确定(t)dy可导函数y = f (x)，则史二址 dxdx二(t)(t)dtd2ydx2d(%)dxd(黑dxdtdxdt再对等号两边分别求导(5)、对数求导法 先对等号两边取对数,(6 )、幕指函数求导幕指函数y二u(x)v(X)，利用公式a = elna厂 elnu(x)v(x)v(x) In u(x)e然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 注：优选选择第二种方法。5、高阶导

12、数对函数 f(x) 多次求导，直至求出。6、微分记忆方法：微分公式本质上就是求导公式,7、可微、可导、连续之间的关系可微二可导可导二连续，但连续不一疋可导8可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图(1)十 /后面加dx，不需要单独记忆。2y = X在x=0既连续又可导。 所以可导比连续的要求更高。厂x 在x=0只连续但不可导。dy 二 y dx第四讲不定积分一、原函数与不定积分1、原函数：若F (x)二f (x)，则F(x)为f (x)的一个原函数；2、 不定积分： f(x) 的所有原函数 F(x) +C叫做 f(x) 的不定积分，记作J f (x)dx= F(x)+ C二、不定积分公式记忆方法：求

13、导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质F1、f (x)dx】二 f (x)或d f (x)dx = f (x)dx2、. f (x)dx = f (x) c注：求导与求不定积分互为逆运算。四、积分方法1、基本积分公式2、第一换元积分法(凑微分法)把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。3、第二换元积分法ax b,令t 二 ax bJa2 _ x2令x = asint三角代换* Jx2 a2令x= a sect、x2+a2令 x = ata nt2222三角代换主要使用两个三角公式：sin t - cos t =1,1 tan t = sec t4、分部积分法 udv

14、= uv - vdu第五讲定积分1、定积分定义nf (x)dx 二 lim。 f ( J x如果f(X)在a,b i上连续，则f(X)在a,b i上一定可积。理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为 面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。2、定积分的几何意义(1) 如果f (x)在la,b】上连续，且f(x)0，贝V ff(x)dx表示由f(x)，x=a,x=b,x轴所围成的b曲边梯形的面积。s= f (x) dx。(2) 如果 f(x) 在 la,b】上连续，且 f (x) v 0 , s=- f(x)dx。3、定积分的性质：bb(1

15、) a kf (x)dx = k f (x)dxbbb(2) a f (x) - g(x)dx= a f (x)dx - a g(x)dxbcb(3) a f(x)dx 二 a f(x)dx cg(x)dxbaab(4) 1dx = b - a f(x)dx=0 f (x)dx f (x)dxaauabb(5) 如果 f(x)兰 g(x)，则f(x)dx 兰(g(x)dx(6) 设m,M分别是 f(x) 在 a,b 的 min, max,则b记忆：小长方形面积乞曲边梯形面积乞大长方形面积(7)积分中值定理如果 f(x) 在a,b】上连续，则至少存在一点软 Ia,b】，使得匸 f(x)dx= f

16、(E)(b-a)记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变 成一个长方形。称f (x)dx为f (x)在a,b 1上的平均值。be 站、，4、-a积分的计算(1) 、变上限的定积分x(a f(t)dt)二 f(x)X注：由此可看出来 9(x)= a f (t)dt是f(x)的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有 一个是x而不是t(2) 、牛顿一莱布尼兹公式设 f (x)在 a,b上连续，F(x)是 f (x)的一个原函数，则 a f (x)dx= F(x) a = F (b) F (a) 由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分

17、，只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。f基本积分公式第一换元积分法(凑微分法)|第二换元积分法分部积分法5、奇函数、偶函数在对称区间上的定积分(1)、若f (x)在-a,a】上为奇函数，则J； f(x) = O(2)、若f (x)在a,a】上为偶函数，则 匚f (x) = 20 f (x)dx注：此方法只适用于对称区间上的定积分。6、广义积分(1) 无穷积分cf(x)dx=ma f(x)dxbbL心皿=举f(x)dx:c:7、f (x)dx= = f(x)dx c f (x)dx定积分关于面积计算牡厂；Ux)g(x)面积S = f f (x) - g(x)dx，记忆：面积

18、等于上函数减去下函数在边界la,b】上的定积分。dIX=3(y= 0c(y)面积S= H(y) - 二(y)dy记忆方法：把头向右旋转 90就是第一副图。8、旋转体体积(1)bx:Vxb=JI f曲线阴影部分绕绕 X轴旋转一周所得旋转体体积:Vxff(x)- g2(x)dx(y)绕y轴旋转一周所得旋转体体积：V 二匹u(y)阴影部分绕绕y轴旋转一周所得旋转体体积：Vy =兀f B 2（y） -、：2（y）dy（二八 直线与平面的相关考试内容、二元函数的极限定义：设函数z二f （x, y）在点（人$0）某邻域有定义（但（x0,y0）点可以除外），如果当点（x,y）无论沿着任何途径趋向于（x0,y

19、0）时，z=f（x,y）都无限接近于唯一确定的常数a，则称当点（x,y）趋向于（x0,y0）时，z=f（x,y）以a为极限，记为(!im 、f(x,y) = A(x,y)=(xo,yo)、二元函数的连续性若 lim f (x, y)二 f (x0, y0)，则称 z= f (x, y)在点(x0,y0)连续。(x,y)(xo,yo)注: z= f（x,y） 的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。三、二元函数的偏导数fx(x,y)7mf (x：x,y) - f (x,y)也x:zy二 fy(x, y)二 Imf(X,y y) - f (x, y)四、

20、偏导数求法由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。czcz五、全微分：dz dx dyxy六、二元函数的连续、偏导、可微之间的关系二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。若偏导存在且连续，则一定可微。函数z 二 f（x,y） 的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。七、二元复合函数求偏导设 z = f (u,v),u 二(x, y),v 二二(x, y),：z；z: u:z；v；z；z ； u；z；v贝 H = + + x:u:x: v: x: y: u .:y：v: y注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。八、隐函数求偏

21、导方程F(x, y, z) 0确定的隐函数为 z= f (x, y)，则对等号两边同时对 x求导，遇到z的函数，把z当成 中间变量。第八讲多元函数积分学知识点一、二重积分的概念、性质1、f(x,y)dxdyD，几何意义：代表由f (x, y)，D围成的曲顶柱体体积。2、性质：(1)!jkf (x, y)dxdy 二 k h f (x, y)dxdyDD(2). f (x,y) g(x, y) dxdy. f (x,y)dxdy+. . g(x, y)dxdyDDD(3)、xy =dD(4)D2, f(x, y)dxdy= f(x, y)dxdy+ f(x, y)dxdyDD1D2(5) 若 f

22、(x,y)咗 g(x,y)，则 f (x,y)dxdyg(x,y)dxdyDD(6) 若 m - f (x, y) - M ,则 mD - f (x, y)dxdy - MDD设f (x, y)在区域d上连续，则至少存在一点 ，) D，使！.i f (x, y)dxdy = f，)DD、计算(1) d： a - x - b, i(x) - y - 2(x)b2 (x)f (x,y)dxdyadx、心)f (x,y)dyD(2) D: 2 y - d, ；(y)乞 x ；(y)，d9 (x)f (x, y)dxdy = c dy 心)f (x, y)dyD1技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“

23、谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围(3) 极坐标下： x 二 rcosjy = rsin jdxdy = rdrd71I-1r ( v)Si f (x, y)dxdy 二 0。 f (r cos二，r sin 二)rdrD三、曲线积分1第一型曲线积分的计算(1) 若积分路径为l: y=x),a x b，贝yLf(x,y)ds= ：f(x, (x) J厂(x)2dx(2) 若积分路径为 L : x=(y),c y d，贝ULf(x,y)ds= c fC (y),y) J (y)2dyX=0(t)n(3) 若积分路为L :，“ t，则W(t)l f (x,y)ds= ；f( (t), ：(t)厂(t)2(t)2dt2、第二型曲线积分的计算(1) 若积分路径为l:(x)，起点x