两条直线平行与垂直的判定教案(人教A版必修)

1、 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 三维目标 1 知识与技能 (1) 让学生掌握直线与直线的位置关系. (2) 让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法. 2. 过程与方法 (1) 利用 两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法. (2) 利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法. 3. 情感、态度与价值观 (1) 通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识. (2) 通过这节课的学习，培养学生用 联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣. (3) 通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神. 重点难点

2、 重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直. 难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明. 重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导 出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的 方式.为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率 之积为一1时，它们是相互垂直的即可. 【课前自主导学】 课标解读 1.理解两条直线平行或垂直的判断件.(重点) 2 .会利用斜率判断两条直线平行或垂直.(难点) 3.利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母 分类讨论.(易错点) A两条直线

3、平行与斜率之间的关系 【问题导思】 1. 如图，若直线11/ 12,则其倾斜角a与a有什么关系？为什么? 反之呢？ 【提示】a=a，因为两直线平行，同位角相等.反之不成立， 当a =a时，直线li与12可能平行或重合. 2. 若直线li II 12，则其斜率ki= k2这种说法对吗？ 【提示】 不对，只有在直线11与12都存在斜率时，由11 I 12可以得出 kl= k2,如图当直线11与12都与X轴垂直时，虽然11 I 12但斜率都不存在. 两条直线平行与斜率之间的关系 下: y 1 0 JS k1，k2.则对应关系如 li關 两条直线垂直与斜率之间的关系 【问题导思】 1. 如图，直线11

4、与12的倾斜角分别为a与a,若11丄12， 则a与a之间存在什么关系？ 【提示】a + 90 2. 当直线11的倾斜角为0时，若直线|1丄12,贝U 12的斜率应满足什么条件？ 【提示】 直线12的斜率不存在，如图，当直线11的倾斜角为0时，若|1丄12, 12的倾斜角为90,其斜率不存在. 两条直线垂直与斜率的关系 对应关系 11与12的斜率都存在，分别为 k1, k2,则 |1 丄 12? k1 k2= 1 11与12中的一条斜率不存在，另一条斜 率为零，则11与12的位置关系是|1丄12 图示 J r 0 【课堂互动探究】 两条直线平行 舸I判断下列各组中的直线11与12是否平行: 设两

5、条不重合的直线11，12，倾斜角分别为a， a，斜率存在时斜率分别为 (1) 11 经过点 A( 1， 2)，B(2,1), 12经过点 M(3,4), N(- 1， 1); (2) 11 的斜率为 1, 12经过点 A(1,1), B(2,2); (3) 11 经过点 A(0,1), B(1,0), 12 经过点 M( 1,3), N(2,0); (4) 11 经过点 A( 3,2), B( 3,10), 12经过点 M(5, 2), N(5,5). 【思路探究】依据两条直线平行的条件逐一判断便可. 1 2 1 45 【自主解答】(1)k1 = 2Z二 = 1, k2=1二3=4, k1禾，

6、11与12不平行. 2 1 (2) k1= 1, k2= 1, k= k2,：l1/l2或 11 与 12重合. 2 1 0 10 3 (3) k1= 1 0 一 1, k2 2 1= 一 1, k1 = k2, K 3 一 1 而 kMA= 一 1 一 = 2斗 1 ,二 11 / 12. (4) 11与12都与X轴垂直，二11 / 12. I规律方法I 判断两直线平行，要 三看” 一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两 直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行. 娈it Uli煤 已知直线11经过两点(一1, 2), ( 1,4),直线12经过两点

7、(2,1), (x,6)，且11/ 12,则x= 【解析】直线11的斜率不存在，且11 / 12,A 12的斜率也不存在. 点(2,1)及(x,6)的横坐标相同， x= 2. 两条直线垂直 真“ 【答案】 2 卜例囚中的直线11与12是否垂直 (1) 11 经过点 A( 1, 2), B(1,2), 12经过点 M( 2, 1), N(2,1); (2) 11 的斜率为一10, 12经过点 A(10,2), B(20,3); (3) 11 经过点 A(3,4), B(3,100), 12经过点 M( 10,40), N(10,40). 【思路探究】求出斜率，利用11丄12? k1k2 = 1或

8、一条直线斜率为0,另一条斜率不存在来 判断. 【自主解答】(1)直线11的斜率k1222, 1 1 1 1 1 直线12的斜率k2 2 一 2 2， k1k2 1,故11与12不垂直. 3 21 直线11的斜率k1= 10,直线12的斜率k2 2070 10, k1k2= 1,故11丄12. (3)11的倾斜角为90则11丄x轴. 40 40 直线12的斜率k2_ 10 10 _ 0,则12 / x轴.故11丄12. I规律方法I 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1) 一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线 的两点的纵坐标是否相等，若相等，贝U垂

9、直，若不相等，贝U进行第二步. (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式. (3) 求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进 行讨论. 娈武 illl 已知三角形三个顶点的坐标为 A(4,2), c.1 B(1， 2)，C( 2,4)，则BC边上的高的斜率为() B. 2 【解析】 BC边上的高所在的直线与 BC边所在的直线垂直而kBc= 2_ 1 _ 2,所以 BC 边 上的高的斜率 k_- kBC_2 【答案】 直线平行与垂直关系的综合应用 卜例图 已知A( 4,3), B(2,5), C(6,3), D( 3,0)四点，若顺次连接 A、B、C、D四点

10、，试判 定图形ABCD的形状. 【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完 成证明. 【自主解答】 A、B、C、D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得 5 3 kAB_- 2 4 _ _ 1 =3 6_ 3, 10 3 3, kCD kAD = 0 3 c ,351 4 _ 3, kBC_三_ 2. kAB= kCD， 由图可知 AB与CD不重合，二AB/ CD. d m r 由kAD木BC， 1 AD 与 BC 不平行.又 kABkAD= 3( 3)= 1， AB丄 AD. 故四边形ABCD为直角梯形. I规律方法I 1 .利用两条直线平行或垂直

11、判定图形形状的步骤 楸据播山的点.躺侧阳憋的带狀 2 证明两直线平行时，仅ki = k2是不够的，注意排除重合的情况. 3 判断多边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的多边形. 3 fl 911 壕 已知A(1, 1), B(2,2), C(3,0)三点，且有一点 D满足CD丄AB, CB/ AD，贝U D点的坐标 为() A . ( 1,0)B . (0， 1) C. (1,0) D. (0,1) 【解析】 设 D(x, y)，则 kCD y0 = y x 3 x 3, y+ 1 X1， 2+ 1 2一 0 又心21 二3, kCB二23二一2, CD丄AB，CB/ AD y3y= 3

12、 x f(y+ 1 kcD kAB= 一 33= 1 kCB= kAD ,.= 2 ), x 3x 1 x+ 3y= 3,2x+ y= 1. .x= 0 y= 1，即 D(0,1). 【答案】 D 【思想方法技巧】 分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用 典例(12分)已知直线11经过点A(3, a), B(a 1,2),直线12经过点C(1,2), D( 2, a + 2). (1)若 11 / 12, 求 a 的值； 若11丄12,求a的值. 【思路点拨】(1)|xc孜d|斜率存在,|1 / |2|I k1= k2| I a的值 |1丄|2 |分情况讨论|求a的值| 【规范解答】 设直线12

13、的斜率为k2,贝U k2 = a+ 2 2 一 J2分 a (1)若I1/I2，设直线I的斜率为k1,则k1 = 3. 又 k1=，贝U= 身，.a= 1 或 a= 6.4 分 a 4a 43 经检验，当a= 1或a = 6时，I1/I2. 若11丄12, 1 当k2= 0时，此时a = 0, ki= 空，不符合题意.8分 2 a 当k2M0寸，|2的斜率存在，此时ki=. a 4 由 k2ki= 1,可得 a= 3 或 a= 4.所以，当 a = 3 或 a= 4 时，li 丄 12.12 分 【思维启迪】 1. 由|1 /12比较k1，k2时,应首先考虑斜率是否存在，当k1 = k2时，还

14、应排除两直线重合的情况. 2由11丄12比较k1，k2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况. 3. 在|1 / |2及|1丄|2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识. 【课堂小结】 1. 两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有 |1 / |2? k1 = k2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行. 2 .两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有 |1丄|2? k1k2二一1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0,则两条直线也垂直. 3. 在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类

15、讨论的思想. 【当堂达标检测】 1. 下列说法中正确的是() A .平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B .平行的两条直线的倾斜角一定相等 C.垂直的两直线的斜率之积为-1 D .只有斜率相等的两条直线才一定平行 【解析】A不正确，平行的两条直线可能斜率都不存在；B正确；C不正确，当一条直线斜 率为零，另一条直线斜率不存在时，它们也垂直；D不正确，斜率都不存在的两条直线也平行. 【答案】B 85 2. 已知直线|1的斜率k1= 8，直线12的斜率k2= 5，则|1与|2的位置关系为() A .平行 B.重合 C.垂直D .无法确定 【解析】T k1 k2= 1,二I1丄|2. 【答案】C 3

16、. 直线|1的斜率为2,直线|2上有三点M(3,5), N(x,7), P( 1, y)，若11丄b,则x=, y=. 1 【解析】 T|1丄|2,且|1的斜率为2,则|2的斜率为一2, 2 x=- 1, y= 7. 75_ y 5 x 3_ 1 3 【答案】 17 4.已知直线11经过点M( 3,0), N( 15, -6), 3 12经过点 R 2, 2 , S 0, 5 5，试判断11与 12是否平行. (2)11的倾斜角为45 12经过点P( 2, 1), Q(3, 6),问11与12是否垂直? 0 6 1 【解】 kMN = 3_ 15 2, kRs= 5 _2 0 2 2,二 11

17、 II 12. (2) k1 = tan 45 丄 1, 【课后知能检测】 一、选择题 1.下列说法正确的有 若两直线斜率相等， 6 1 k2= 3 2 () 则两直线平行; 1，- k k2= 1.二 11 丄 12. 若 111 12，则 k1= k2； 若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； 若两直线斜率都不存在，则两直线平行. A . 1个 B. 2个C. 3个 D . 4个 【解析】当k1 = k2时，|1与12平行或重合，不成立；中斜率不存在时，不正确；同 也不正确.只有正确，故选 A. 【答案】A 2. (2014昆明高一检测)直线11的斜率为2,

18、 11 I 12，直线12过点(1,1)且与y轴交于点P,则P 点坐标为() A. (3,0) B. ( 3,0) C. (0, 3) D . (0,3) y 1 【解析】 k1 = 2, I1/12,二 k2= 2,设 P(0, y)则 k2 =y 1 = 2,二 y= 3,即：P(0,3). 【答案】D 3. 若直线11, 12的倾斜角分别为a1, a,且|1丄|2,则() A. a a= 90B. a a = 90 C. |aa| = 90D. a+a = 180 【解析】如图所示. 由图可知ai =a+ 90 由图可知a =a + 90 | a a|= 90. 【答案】 C 4.如果直

19、线li的斜率为a, li丄12,则直线12的斜率为() 1 B. a C 1 C. a 1 d . a或不存在 【解析】 . 1 . . 当a0寸，直线12的斜率k2为；当a= 0时，直线12的斜率不存在. a 【答案】 D 5以A( 1,1), B(2, 1), C(1,4)为顶点的三角形是() A .锐角三角形 B .钝角三角形 C.以A点为直角顶点的直角三角形 D .以B点为直角顶点的直角三角形 【解析】 AB丄AC,/ A为直角. 1 124 13 kAB= 2+ 1 二一3, kAc= 1+1 二2,二 kABkAc= 1, 【答案】C 二、填空题 6. (2014南京高一检测)11

20、的倾斜角为60 12经过点M(1,也)，N( 2, 23),则两直线|1 与12的位置关系是. 【解析】由题意知，k1 = tan 60= 3, k2= 21 = 3, k= k2，所以直线l1与直线I2 平行或重合. 【答案】平行或重合 7. 经过点M(m,3)和N(2, m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直，则 m的值是. 3 114 【解析】由题意知，直线MN的斜率存在，：MN丄l，二kMN=；,解得m=：. 2 m 45 【答案】学 5 8. 已知平行四边形 ABCD中，A(1,1), B( 2,3), C(0, 4),则点D的坐标为. 【解析】设D(x，y)，由题意可知，AB / C

21、D且AD / BC. 3 1y+ 4r 2 1 = x ，f( 4一 3 y 1 x 1 .kAB= kCD 且 kAD= kBC，.21 x 0 + 2 解得x= 3，y= 6， D点的坐标为(3， 6). 【答案】(3， 6) 三、解答题 9如图所示，在？OABC中，0为坐标原点，点C(1, 3). (1)求0C所在直线的斜率. ,30小 kOC= 3. 1 0 1 3. 过C作CD丄AB于D,求直线CD的斜率. 【解】(1)：点0(0,0)，C(1,3)，a OC所在直线的斜率 在？OABC 中，AB/ 0C, 一 1 CD _L AB，. CD _L OC，. koC kcD = 1， kcD = kOC = 1 故直线CD的斜率为一 10.在平面直角坐标系中，四边形 OPQR的顶点按逆时针顺序依次是 O(0,0), P(1，t