浅谈概率的交汇性

1、浅谈概率的交汇性以能力立意是数学命题的指导思想，在知识网络交汇处设计试题是今后高考的新特点和大方向。与概率交汇的试题正是在这种背景下“闪亮登场”，频频出现在各类考试题中。概率作为数学知识的综合应用，是中学数学一个重要的交汇点，已经成为联系多项知识内容的媒介，常常与函数及导数、平面向量、线性规划、复数、解析几何、数列、统计、算法、方程等内容交叉渗透，自然地交汇在一起。由于背景新，条件多，因此导致近年来概率题的难度相对来讲比较大，而对与之交汇的其它数学知识和数学思想方法的考查又相当深刻，因而成为近年来各种测试的一个热点问题。鉴于上述情况，下面就采撷几例进行分类解析，以期对大家能有所启发。一、 与函

2、数、导数和方程的交汇函数与方程是高考的一个永恒主题，是高中数学的一条主线。将函数、导数和方程与概率问题综合考查，改变了近几年概率统计应用问题考查内涵的单纯性与题型结构的单一性，注重新增知识与传统知识间的整和与交汇，其解决的一般思路是先探求函数和方程的有关问题，再利用相应的概率知识将问题解决例1、已知函数，是函数的导数。若，求函数在r上有零点的概率。分析：函数在r上有零点即要求有实数根，只需根据一元二次方程有实数根的条件得出相应的不等关系，画出相应的符合条件的可行域，利用定积分求出曲线围成的面积，然后借助几何概型求概率即可。图1解析：由得=，由函数在r上有零点得方程，即方程有实数根，只需，即，若

3、，方程有实数根的条件为，（如图1），条件的面积为：=，而条件的面积为，根据几何概型的概率公式可知：方程有实数根的概率为点评：本题是一道涉及函数导数、定积分与零点的几何概型的综合问题，利用定积分求曲线所围成平面图形面积，借助几何概型的概率公式求所要解决的问题，主要考查学生分析问题和解决问题的能力。本题是函数与概率相结合的几何概型问题，这正是新课标高考的体现，为近几年高考命题的趋势，相信在今后的高考中又是一个新亮点，值得大家关注。二、 与平面向量的交汇将平面向量问题与概率问题交汇在一起进行考查，是近年命题的一个热点，对这类问题的解决主要考查对向量的概念等有关知识的掌握情况，然后利用相应的概率模型将

4、问题解决。例2、连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）abcd分析：本题是向量的动态投影问题，主要考查古典概型。题目把投掷骰子问题与平面向量知识融为一体，通过平面向量的数量积的坐标运算及向量夹角的范围，将向量与概率巧妙地结合起来考查了随机事件的概率的相关知识，使问题的情境新颖，令人赏心悦目，潇洒自在。解析：由，得，显然有6种可能，根据对称性知0与0的可能性相同，即各有15种可能，因此所求的概率为.故选c 点评：本题是向量与概率交汇，试题背景新颖，极富思考性和挑战性，对能力要求极高，需要缜密分析，转化化归。在教学中应当把握一个风向标：单纯的概率统计计算性应用题将逐

5、渐降温，而将平面向量、线性规划、导数、概率统计等知识的交汇以及与其它传统知识的整和应用题已经成为高考数学的一个新的靓点和热点。三、 与线性规划的交汇在线性规划中考查概率知识，是典型的数形结合问题，既考查识图的能力，又考查概率知识。这类问题的解决主要是根据平面区域，利用几何概型知识将问题解决。例3、把一根长度为6的铁丝截成任意长度的3段，则能构成三角形的概率为（ ）.a.b. c.d. 分析：本题将平面区域问题与概率问题相交汇，要能构成三角形，就必须满足三角形的基本条件，从而利用线性规划，将其转化成几何概率问题求解。图2解析：设把铁丝分成任意的三段，其中一段为，第二段为，则第三段为，则，若要构成

6、三角形（如图2），则必须满足：，记事件构成三角形，则所求的概率为.点评：本题将概率与线性规划相融合，利用平面图形的面积求概率，突出对新增内容的考查力度.四、 与复数的交汇将复数问题与概率问题交汇在一起考查，是一个大胆的设想，是一种新兴的考题，其主要目的是考查学生对复数有关知识的掌握情况，解题的一般思路是先根据复数中概念，找出相应的条件，进而利用相应的概率模型将问题解决。例4、设复数，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，则使复数为纯虚数的概率为_.分析：将复数与概率相交汇，是一个大胆的设想，重点考查纯虚数应满足的条件，是一道立意较高的新兴考题。解析：，要使为纯虚数需，

7、又抛掷一个骰子两次共有36种不同的结果，而两次点数相同的只有6种，故所求概率为.点评：本题将复数与概率交汇考查，魅力四射、回味无穷，是今后命题的一个方向。五、 与统计的交汇统计与概率问题本身就是一家，但它们之间又有本质的区别，在解题的过程中要体会统计思想与确定性思想的差异，弄清楚统计中的有关概念，再利用相应的概率知识将问题解决。例5、为了了解中华人民共和国道路交通安全法在中学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10.把这6名学生的得分看成一个总体.（1） 求该总体中的平均数.（2） 用简单随机抽样方法从6名学生中抽取2名，他们组成一个样本，

8、求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解析：（1）7.5（2）设a表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”，从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有： ,共15个基本结果，事件a包括的基本事件结果有：共7个基本结果.因而.点评：统计与概率本就是一体，在教学中要让学生注意体会统计思想与确定性思想的差异，多做一些试验，更好地体会统计思想和概率的含义。六、 与解析几何的交汇将解析几何与概率知识相综合是近年命题的一个新题型，在考查解析几何知识的同时，考查概率知识，一箭双雕。在解题过程中应熟悉解析几何中的相关知识，用相应的概率模型来解决问题。例6、已知抛物线，其中为

9、2,4,6,8中任取的一个数，为1,3,5,7中任取一个数，从这些抛物线中任意抽取2条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（ ）a. b. c. d. 分析：这是一道抛物线与概率相交汇的问题，将概率与抛物线的切线相交融，重点在考查古典概型中的计数问题以及两直线平行的充要条件。解析：由题知：当取中任何一个数时，都可以取，由树状图可知一共有16条抛物线，从16条抛物线中任选两条一共有120种可能，而的导函数，所以抛物线在的切线的斜率，因为在与直线交点处的切线相互平行，所以斜率应相等。而值只可能为，但的值不可能为3和15；因此，当时，有2种可能；当时，有3种可能；当时，有4种可能；当时，有3种

10、可能；当时，有2种可能，所以基本事件数为14种，所以在与直线交点处的切线相互平行的概率是，故选b. 点评：本题将解析几何与概率交汇在一起考查，综合性极强，是一道考查学生综合能力的好题。 七、与数列的交汇数列问题是各种测试的一个热点问题，而且常考常新。将数列问题与概率问题交汇在一起进行考查，其综合性较强，在解题过程中应进行仔细的分析，找出相应的数列模型，再利用对应的概率知识将问题解决。例7、已知都是定义在上的函数，（且），若，且，在有穷数列（）中，任意取正整数（），则前项和大于的概率是多少？分析：这是一道将函数、数列、导数、平面向量相交汇的问题，综合性极强，要求考生具有极高的分析转化能力和运算能

11、力，是对学生综合素质的一次检验。解析：由可知：，而，01，又，且，即，（舍），=，数列的前项和为，可求得4，记“数列为事件a”，则.点评：本题将函数、导数、数列、不等式、概率等知识交汇在一起，强化考生综合运用所学知识解决问题的能力，试题新颖，构思巧妙，是一道综合性较强的有代表性的训练题。是否输出数对(s,t)开始给出可行域在可行域内任取有序数对(s,t)结束八、与算法的交汇将算法问题与概率问题综合在一起考查是近年随着新课程标准的不断推行而推出的一种新的题型，首先应抓住这两个知识点，读懂流程图的功能，然后利用相应的概率知识将问题解决，是今后命题的一个热点。例8、在可行域内任取一点，规则如右图的流

12、程图，则能输出数对的概率是（ ）a. b. c. d.分析：本题以能力为新意，巧妙地将概率、线性规划与算法思想融为一体，考查了考生对基本知识的掌握情况，同时也考查了综合能力。解析：如图，由于正方形的面积，而圆的面积为，所以能输出数对的概率是，故选c. 点评：本题立意和情景较新，融概率、算法于一体，体现了概率和算法思想的应用价值，既可考查学生基础知识和逻辑分析能力，又可培养用数学的意识。总之，将各部分知识交汇在一起进行考查是近年各种测试的一个热点，一般其综合性较强，对学生的能力要求比较高，因而在平时的复习课教学中应当加强这方面的训练，以提高他们分析问题和解决问题的能力，从而适应新课程标准的要求。

13、九、与三角函数的交汇例9、在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).a. b. c. d. 分析：在区间 上随机取一个数,即时,要使的值介于0到之间,需使或，区间长度为，由测度为长度型几何概型易求出结果。解：由题意知的值要介于0到之间,只需或，而区间长度均为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选a. 点评：本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.十、与现实生活的交汇例10、某地有四人先后感染了甲型流感，其中只有到过疫区。b肯定是受感染的。对于，因为难以断定他是受还是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是。同样也

14、假定受、和感染的概率都是。在这种假定之下，、中直接受感染的人数就是一个随机变量。写出的分布列（不要求写出计算过程），并求的均值（数学期望）。分析：本题是一道与现实生活联系十分紧密的概率应用题，主要考查相互独立事件和互斥事件的概率问题。首先应分清楚在已知条件下可分成六种不同情形，并且在这几种情况下每种情形发生的概率均为，进而写出其分布列和数学期望。 解：共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：在情形和之下，a直接感染了一个人；在情形、之下，a直接感染了两个人；在情形123之下，a直接感染了三个人。随机变量的分布列是：的均值点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散

15、型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。例11、（2010年安徽卷理21）品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4，分别以表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令则x是对两次排序的偏离程度的一种描述. （i）写出x的可能值集合； （ii）假设

16、等可能地为1，2，3，4的各种排列，求x的分布列； （iii）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有， （i）试按（ii）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.解：（i）x的可能值集合为0，2，4，6，8.在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以中的奇数个数等于中的偶数个数，因此的奇偶性相同，从而必为偶数.x的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得x的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子. （ii）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的x值，在等可能的假定下，得到x0 2 4 6 8p

17、 （iii）（i）首先，将三轮测试都有的概率记做p，由上述结果和独立性假设，得 （ii）由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.评析：这是今年高考理科卷的最后一题，它打破了压轴题不是数列与不等式就是圆锥曲线的思维定势，用概率题压轴这在全国还是个创举。本题重点考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力，能过设置密切贴近生产、生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象概括能力、应用与创新意识.本题命制新颖，方法平实，但在确定x值的这个地方，部分同学会犯一些错误。

18、本题的第3问较难理解，很多同学能求出概率，但解释不清楚这个品酒师情况究竟如何，这也反映了理论与实际结合的能力有待提高。四、对高三复习建议2010年的高考命题为今后的课程改革和高考改革提供哪些重要的信息成为人们关注的焦点。高考命题的导向在很大程度上决定着中学推行新课改的力度和发展新课改的深度，及高三复习的方向。我认为应该做好以下几个方面 1. 夯实基础，落实基本知识和基本技能的学习 从2010年的试卷中不难看出，函数、数列、不等式、三角、立几、解几和概率统计仍然是考查的主要内容，从本文的知识点统计中更是一目了然。 试题的框架主体仍是考查数学的基础知识和通性通法。如函数的图象、单调性、定义域等性质

19、及变换；数列的基本性质及应用；不等式的求解与证明；三角函数图象与性质；空间图形的识别及线面的位置关系（包括体积和夹角）；圆锥曲线的基本概念、性质及应用；几种常见类型的概率问题等。 2. 坚定新课程改革方向 随着新课程改革的不断深入，执行和推广新课标是大势所趋，所以新课标中新增加的教学内容会不断地出现在今后的高考试题中。特别是今年高考中未涉及到的几何概型、 定积分、类比推理、独立性检验（22列联表）与回归分析中的基本概念和性质、统计中的散点图、茎叶图、回归直线方程等，我们在今后的高三复习中更应引起重视。 3. 通法为主，变法为辅，培养能力 重视高中数学的通性通法，倡导举一反三、一题多解和多题一解，努力培养学生“五种能力、两个意识”，即空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。能力的分类和要求与以前有不同，必然要反映在命题中。特别应注意新增加的“数据