一道高考试题的探源及解法研究导数试题与解法

1、道高考试题的探源及解法研究 导数试题与解法江苏淮安中学 223200摘要：本文将探寻 xx 年高考江苏卷的第 17 题的源头并给出分别选用 （1）中的两个函数关系后的一些 解法（不同于参考答案），供参考 .题目：如图1,某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD勺两个顶点A B及CD的中点P处，AB=20km BC=10km.为了处理三家工厂 的污水,现要在该矩形区域上（含边界），且与 A B等距离的一点0 处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道 A0、 B0、 P0. 设排 污管道的总长度为 y km .DA0PCB图11 ）按下列要求建立函数关系：设/ BAO-0（ rad），将y表示为0

2、的函数;设PO= x （km，将y表示为x的函数.2）请你选用（ 1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短 .1. 试题探源如图2,延长PO交AB于点Q,将图2进行演变得图3,再演变图 3 得图 4.DCABPOQPOQCB图2 图3QOPB图4至此，我们可以发现这道题源于苏教版数学选修1-1的P88第8题.如图5,已知海岛A与海岸公路BC的距离AB为50 km, B, C 间的距离为100 km.从A到C,先乘船，船速为25 km/h,再乘汽 车，车速为50 km/h,登陆点应选在何处，所用时间最少?BAC图52. 解法研究不难得到（ 1）中的两个函数关系为：

3、y= iotan 0 + 10 (OW0W);y = x + 2 (0 x 10).右选用 y = 10tan 0 + 10 (0W0W)，则有 y = 10 +10 (0w0 ).令t =( 00)，有如下解法.解法 1 由 t =得 sin 0+ tcos 0= 2.引进辅助角后得sin (0 + )= 2,即sin (0 + )=.因为I sin(0 + )|w 1,所以t W(舍去).经验证,当sin 0=, cos 0=时，tmin =, ymin = 10 +10.此时, AO=BO= (km) . 故当污水处理厂建在矩形区域内且到A, B 两点的距离均为 km 时,铺设的排污管道

4、的总长度最短 .解法 2 注意到 t =是分式结构的, 可以联想其几何意义为 M(cos 0, sin 0), N(0, 2)两点所在直线的斜率.因为OW0W,所以一1 cos 0 , 0 0,由AO,解得t .经检验当 sin 0=, cos 0=时，tmin =.此时,可得 AO=BO= (km) ,即当污水处理厂建在矩形区域内且到A, B两点的距离均为km时，铺设的排污管道的总长度最短.若选用y = x+ 2 (0x 0,解之得y 10+ 10或yw 10 10 (舍去).经验证当 x= 10时，ymin = 10+ 10.故当PO=10 km 时,铺设的排污管道的总长度最短 .解法 5

5、 由 y = x + 2,得 y x = 2.令 m= y x, m= 2 (0xw 10).由 m= 2( 0w xw 10),得= 1 ( 0w xw 10) .如图7,作出直线m= y x及曲线一=1 (0wxw 10)，当直线m= y x与曲线=1 (0wxw 10)相切时，直线 m= y x在m轴上 的截距 y 最小.由 y x = 2 得 3x2+( 2y80) x + 800y2 = 0.由= 0得y = 10+ 10或y = 10 10 （舍去）.经检验当x = 10时，ymin = 10+ 10.故当 PO=10 km 时,铺设的排污管道的总长度最短 .mxm=y-x10O图

6、7解法6由y = x + 2,得=+ .如图 8，设点 M（x， 0）， G（10， 10），直线 l 的方程为 x+m=0.过点 M作 MNLI 于 N,贝J MNh, MG=,= MN+ MG过 G作 GHL l于H,则MN+ M&GH,所以GH = 5+5,即y10+ 10 （当且仅当M 为GH与 x轴的交点时取等号）.而直线GH的方程为m-10 =（x 10），令 m= 0,得 x = 10.故当 PO=MxmGOHNl图8问泉哪得清如许， 为有源头活水来 . 将课本题进行改编或以课本题为背景命制一些高考题已绝非偶然之举， 从很多地区的高考试题中 都能探寻到课本题的影子和足迹 . 如何利用课本题这一鲜活资源进 行有效教学很值得研究 . 其实，在教学过程中，不妨通过一题多变、题多解等做法，让学生领悟数学的本质， 达到触类旁通，举一反三的效果，使学生的知识与