第一部分专题一平面向量、三角函数与解三角形

1、 研高考 明考点 年份卷别小题考查点T 13向量的模与向量的数量积卷T 9三角函数的图象变换2017T 12平面向量的数量积卷T 14同角三角函数的基本关系、余弦函数的性质T 12平面向量的坐标运算、直线与圆的位置关系卷T 6余弦函数的图象与性质T 13向量的数量积及其坐标运算卷T 12函数 y Asin(x )的图象与性质大题考查点T 17正、余弦定理，三角形面积公式及两角和的余弦公式T 17余弦定理、三角恒等变换及三角形面积公式T 17余弦定理、三角形面积公式T 17正、余弦定理，两角和的正弦公式及三角形面积公式卷2016卷卷2015卷T 3向量的坐标运算、向量垂直的应用T 7三角函数的图

2、象变换及性质T 9诱导公式、三角恒等变换求值问题T 13同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式及正弦定理解三角形T 3向量的夹角问题T 14三角函数的图象与变换T 5同角三角函数的基本关系、二倍角公式T 8利用正、余弦定理解三角形T 7平面向量的线性运算T 8三角函数的图象与性质T 2诱导公式、两角和的正弦公式T 16正、余弦定理的应用T 13平面向量共线定理的应用T 17正、余弦定理及三角形面积公式 析考情 明重点 小题考情分析1.平面向量的线性运算(3年 4考)2.平面向量的数量积及应用(3年 5考 )3.三角函数的图象与常考点常考点性质及应用 (3 年 7 考)4.三角恒等变换与求值(

3、3年 4考)5.利用正、余弦定理解三角形 (3 年 3 考)正、余弦定理的实际偶考点偶考点应用大题考情分析三角恒等变换与解三角形是此部分在高考解答题中考查的热点， 三角恒等变换一般不单独考查， 常结合正、余弦定理考查解三角形， 题型主要有：1.三角形的基本量的求解问题2.与三角形面积有关的问题3.以平面几何为载体的解三角形问题1.三角函数的综合问题2.平面向量与解三角形、三角函数的综合问题第一讲小题考法 平面向量考点 (一 )主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以平面向量的线性运算及向量共线定理的应用.典例感悟 典例 (1)(2017 合肥质检 )已知向量 a (1,3)，b ( 2，k)

4、 ，且 (a 2b) (3a b)，则实数 k ()A 4B 5 C6 D 6(2)(2018 届高三 湘中名校联考 )若点 P 是 ABC 的外心，且PA PB PC 0，ACB120 ，则实数 的值为 ()11A.2B 2 C 1D 1解析 (1)a 2b ( 3,3 2k)，3a b (5,9 k)，由题意可得 3(9 k) 5(3 2k)，解得 k 6.(2) 设 AB 的中点为 D ，则 PA PB2PD.因为 PA PB PC0，所以 2 PDPC共线又 P是 ABC 的外心，所以PAPB，所以 PD AB，所 0，所以向量 PD， PC以 CD AB.因为 ACB 120，所以

5、APB 120，所以四边形 APBC 是菱形， 从而 PAPB2 PD PC ，所以2 PDPC PC PC 0，所以 1，故选 C.答案 (1)D(2)C方法技巧 解决以平面图形为载体的向量线性运算问题的方法(1) 充分利用平行四边形法则与三角形法则，结合平面向量基本定理、共线定理等知识进行解答(2) 如果图形比较规则，向量比较明确，则可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算来解决演练冲关1(2017昌调研南)设a，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a |a|b 0 成立|b|的是 ()A a 2bB a b1C a 3bD a b解析： 选C“ |a|a |b|b 0，且a， b 都

6、是非零向量” 等价于 “ 非零向量a，b 共线且反向” ，结合各选项可知选C.2(2017 福州模拟 )已知 ABC 和点 M 满足 MA MB MC 0.若存在实数m，使得 AB成立，则 m () AC mAMA 2B 3C 4D 5为边 BC 的中解析：选 B 由MA MB MC 0 知，点 M 为 ABC 的重心，设点 D221 1 ，则 m 3，点，则AM3AD 2( ABAC)( AB AC )，所以 AB AC3AM33故选 B.3 (2017 沈阳质检 )已知向量AC， AD 和 AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AC，则 () AB ADA 3B 3C 4D 4解析：选A建

7、立如图所示的平面直角坐标系xAy，设网格中小正方形的边长为 (1,0)，由1，则 AC (2， 2)， AB (1,2)， AD2 ，解得 1，题意可知 (2， 2) (1,2) (1，0) ，即 3， 2 2，所以 3.故选 A.考点 (二)主要考查数量积的运算、夹角以及模的计算问题或平面向量的数量积及应用求参数的值 .典例感悟 典例 (1)(2018 届高三 广西三市联考 )已知向量 a， b 满足 |a| 1， |b| 2 3， a 与 b 的夹角的余弦值为17)sin，则 b(2a b) (3A 2B 1 C 6D 18(2)(2017 全国卷 )已知 ABC 是边长为 2 的等边三角

8、形， P 为平面 ABC 内一点，则 )PA (PB PC ) 的最小值是 (3A 2B 24C 3D 1(3)(2018届高三 湖北七市 (州 )联考 )平面向量 a， b， c 不共线，且两两所成的角相等，若|a| |b| 2， |c| 1，则 |a bc| _.解析(1) ，a与b的夹角的余弦值为173， ab 3，2|a|1|b| 23sin 3则 b(2a b) 2ab b2 18.(2) 如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则A(0， 3)， B( 1,0)， ( x,C(1,0)，设 P(x，y)，则 P

9、A3y) ，PB ( 1 x， y)，PC (1 x， y)，所以 PA(PB PC ) ( x ， 3 y) ( 2x ， 2y) 2x2 2 y32 3，故当 x 0， y 3.3时， PA (PB PC )取得最小值，为2222(3) 平面向量 a， b， c 不共线，且两两所成的角相等，它们两两所成的角为120 ， |a b c|2 (a b c)2 a2 b2 c2 2ab2bc 2ac |a|2 |b|2 |c|2 2|a|b| cos 1202|b|c|cos 120 2|a|c|cos 120 22 22 12 2 2 2 1 221 122221 1 1，故 |a b c|

10、1.2答案 (1)D(2)B(3)1方法技巧 解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法(1) 选择平面图形中的模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解(2) 若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决演练冲关 1(2017 云南调研 )平面向量 a 与 b 的夹角为45，a (1,1)，|b| 2，则 |3a b| ()A 136 2B2 5C.30D.34解析：选 D依题意得 |a|2， ab2 2 cos 45 2，则 |3a b|3a b 2 9a2 6ab b218 124 34

11、，故选 D.2 (2018 届高三 湖南五市十校联考 ) ABC 是边长为 2 的等边三角形，向量a，b 满足)AB 2a， AC 2a b，则向量 a， b 的夹角为 (A 30B 60C 120 D 150 解析：选 C2a b，则向量 a，b 的夹角即为向量BC AC AB 2abAB与 BC的夹角，故向量 a， b 的夹角为 120. 3(2017 天津高考 )在 ABC 中，A 60，AB 3，AC 2.若 BD 2DC ，AE AC AB( R)，且 AD AE 4，则 的值为 _解析： 法一：AD AB BDAB2BC32 12 AB (ACAB)3AB 3AC .3 321 3

12、，又 AB AC2 12所以 ADAB ACAB AC)AE33( 12 12 223 AB3AB3AC3AC331 2 2 11 ，33343543解得 11.的方向为 x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略 )，不法二： 以点 A 为坐标原点， AB妨假设点C 在第一象限，则 A(0,0)， B(3,0)， C(1， 3)，得D5，2 3，由 BD2 DC33，得 E( 3，3)，由 AE AC AB 5，23，523311 5 4，解得 3则AD 3)AE33( 33 )3(3311.答案： 311必备知能 自主补缺 (一 ) 主干知识要记牢1 平面向量的两个充要条件若两个非零向量a (

13、x1， y1)， b (x2， y2)，则(1) a b? a b(b 0)? x1y2 x2y1 0.(2) a b? ab 0? x1x2 y1y2 0.2 平面向量的性质(1)若 a (x， y)，则 |a| aa x2 y2.(2)2 y2 y12.若 A(x1， y1)， B(x2， y2) ，则 | AB | x2 x1， y，yx1x2 y1y2(3)a b x22 y22 .若 a (x11)，b (x22)，为 a 与 b 的夹角， 则 cos |a|b|x12 y12(4)|ab| |a| |b|.(二 ) 二级结论要用好1 三点共线的判定(1)A， B， C 三点共线 ?

14、AB， AC 共线(2) 存在实数 ，使得，向量 PA ，PB ，PC 中三终点 A，B，C 共线 ?PAPB PC且 1.针对练 1在?ABCD 中，点 E 是 AD 边的中点， BE 与 AC 相交于点F，若 EF m ABm _. n AD (m， nR) ，则n 解析：如图，AD 2 AE ，EF m AB n AD，AFAE EFm AB (2n1)AE ， F， E， B 三点共线， m 2n 1 1， m 2.n答案： 22 中点坐标和三角形的重心坐标(1) 设 P1，P2的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，则线段 P1P2x1 x2y1 y2的中点 P 的坐标为，2.

15、2(2) 三角形的重心坐标公式：设 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A( x1， y1)， B(x2， y2)，x1 x2 x3y1 y2 y3C(x3， y3)，则 ABC 的重心坐标是 G3，.33 三角形 “ 四心 ” 向量形式的充要条件设 O 为 ABC 所在平面上一点，角A， B，C 所对的边长分别为a， b， c，则(1) O 为 ABC 的外心 ?a| OA | | OB | |OC | 2sin A.(2) O 为 ABC 的重心 ?OAOBOC0.(3) O 为 ABC 的垂心 ? OA OB OB OCOCOA. 0.(4) O 为 ABC 的内心 ? a OA bOB c

16、OC(三 ) 易错易混要明了1要特别注意零向量带来的问题：0 的模是0，方向任意，并不是没有方向；0 与任意向量平行； 0 0( R)，而不是等于0； 0 与任意向量的数量积等于0，即 0a 0；但不说0 与任意非零向量垂直2当 ab 0 时，不一定得到ab，当 a b 时， ab 0； ab cb，不能得到a c，即消去律不成立；(ab) c与 a(bc)不一定相等， ( ab)c与 c 平行，而a(bc)与 a 平行3两向量夹角的范围为针对练 2已知向量0， ，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0 不等价a ( 2， 1)，b (，1)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则的取值范围是_解析：

17、 依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，1ab 2 1 2.而当a 与b共线时，有2 1 ，解得 2，即当 2 时， a b，a 与b 反向共线，此时a 与b的夹角为，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，的取值范围是12，2 (2， )1答案： ，2 (2， )课时跟踪检测 A 组 124 提速练一、选择题(2017沈阳质检)已知平面向量， x， 1，若 ab，则实数 x 为 ()1a (3,4)b222A3B.333C. 8D 8解析：选C a b， 31 4x，解得 x 3，故选 C.282已知向量 a (1,2)，b (2， 3)若向量 c 满足 c (a b)，且 b (a c)

18、，则 c ()A.7， 7B. 7，79393C.7，7D. 7，79393解析：选A设 c (x， y)，由题可得 ab (3， 1)， a c (1 x,2 y)因为 c (a73x y 0，x 9， b)， b (a c)，所以解得7， 72 2 y 3 1 x 0，故 c 93 .y7，33已知平面直角坐标系内的两个向量a (1,2) ，b (m,3m 2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c a b(， 为实数 )，则实数 m 的取值范围是 ()A (， 2)B (2， )C (， )D (， 2) (2， )解析：选D由题意知向量 a， b 不共线，故2m 3m 2，即 m

19、2.4(2017 西安模拟 )已知向量 a 与 b 的夹角为120 ，|a| 3，|a b|13，则 |b| ()A 5B 4C 3D 1解析：选 B因为 |a b|13，所以 |a b|2 a2 2ab b2 13，即 9 2 3 |b|cos 120 |b|2 13，得 |b| 4.5 (2018 届高三 西安八校联考)已知点A( 1,1)， B(1,2)， C( 2， 1)， D(3,4)，则向方向上的投影是 ()量 CD在 ABA.322B 322C 35D 35解析：选 C 依题意得， AB (2,1)，CD (5,5)，AB CD (2,1) (5,5) 15，| AB | 5，

20、AB CD 1535.因此向量CD在 AB 方向上的投影是5|AB|6已知 A， B， C 三点不共线，且点O满足OA OB OC0，则下列结论正确的是 ()2 2A OA 1ABBCB OAAB 1 BC33332C OA 1ABBCD OA2 AB1 BC3333解析：选 D OA OB OC 0， O 为 ABC 的重心， OA 21(AB AC )321121 (AB AC )3( AB AB BC)3AB3BC ，故选 D.37已知向量 a (3， 1)， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 ab3，则 b ()A.3， 11， 322B. 22133C. 4，4D (1,0)解析

21、：选B设 b (cos ， sin )( (0， ) ( ，2)，则 ab (3，1) (cos ，sin )13 3cos sin 2sin3 3，得 3，故 b2，2 .8(2018 届高三 广东五校联考 )已知向量 a (，1)，b (2,1)，若 |a b| |a b|，则实数 的值为 ()A 1B 2C 1D 2解析：选 A由 |a b|a b|可得 a2 b2 2ab a2 b2 2ab，所以 ab 0，即 ab2 (，1) ( 2,1) 2 1 0，解得 1.9(2017 惠州调研 )若 O 为 ABC 所在平面内任一点， 且满足 ( OB OC ) (OB OC )2 OA )

22、 0，则 ABC 的形状为 (A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形解析：选 A ( OB OC ) (OB OC 2OA )0，即 CB (AB AC ) 0， AB AC CB， (AB AC)(AB AC ) 0，即 | AB | | AC |， ABC 是等腰三角形，故选A.10 (2017 日照模拟 )如图，在 ABC 中， AB BC 4， ABC 30， AD 是 BC 边上的高，则 ()AD ACA 0B 4C 8D 4解析：选 B 因为 AB BC 4， ABC 30，AD 是 BC 边上的高， 所以 AD 4sin 30 2，所以 AD AC AD (AB BC

23、 ) AD AB AD BC AD AB 2 4cos 604，故选 B.11 (2017 全国卷 )在矩形 ABCD 中， AB 1， AD 2，动点 P 在以点 C 为圆心且与BD 相切的圆上若)AP AB AD ，则 的最大值为 (A 3B 22C. 5D 2解析： 选 A 以 A 为坐标原点， AB，AD 所在直线分别为x 轴， y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(1,0)， C(1,2)， D(0,2)，可得直线 BD 的方程为 2x y2 0，点 C 到直线BD 的距离为222，所以圆 C：(x2221) (y 2)1254.5因为 P在圆 C上，所以 P25

24、，25.5 cos125sin (， 2)，又 AB (1,0)， AD (0,2)， AP AB AD251 5 cos ，所以2 255sin 2，则 22 5cos 5sin 2 sin( ) 3(其中 tan 2)，当且仅当 2k552 ， k Z 时， 取得最大值 3.12如图， ABC 的外接圆的圆心为O， AB 2， AC 的值7，BC 3，则 AO BC为 ()35A. 2B.2C 2D 3解析：选 A取 BC 的中点为 D，连接 AD，OD ，则 OD BC， AD 1( AB AC )， BC AC AB ，所以 AO BC ( ADDO)BC2 1 1 2AD BC DO BC AD BC 2( AB AC)(ACAB)( AC2 21223AB)( 7) 2 .故选 A.22二、填空题， e 是互相垂直的单位向量若3e e 与 e e的夹角13 (2017 山东高考 )已知 e121212为 60，则实数 的值是 _解析： 因为3e e 与 e e的夹角为 60，所以 cos 60 e e3e12 e121212|3e1 e e