第4讲利用导数证明不等式

1、第 4 讲利用导数证明不等式直接将不等式转化为函数的最值问题 典例引领 (2017 考全国卷高 )已知函数f(x) ln x ax2 (2a 1)x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a0 ，故 f(x)在 (0， ) 上单调递增当 a0 ；当 x ( 1 ， )时，f(x)0. 故 f(x) 在(0， 1 )2a2a2a上单调递增 ，在 (1， )上单调递减2a1f(11(2)证明： 由 (1)知，当 a0；当 x (1， )时，g(x)0 时， g(x) 0.从而当 a0) 上的最小值；12(2)证明：对一切x (0， )，都有 ln xex ex成立【解】(1)由 f(x) xln

2、 x， x0，得 f(x) ln x 1，1令 f(x) 0，得 x e.1当 x 0， e 时， f(x)0 ， f(x)单调递增11当 0tet 2，即 0te时，1 1f(x)min f e e；当 1 tt 2，即 t 1时， f(x)在 t， t 2上单调递增 ，f(x)min f(t) tln t.ee 1， 0tex e(x (0， )1由 (1)可知 f(x) xln x(x(0， )的最小值是e，1当且仅当 x e时取到x 2设 m(x)ex e(x (0， ) ，1x则 m(x) ex ，由 m(x)1 时， m(x)为减函数 ，由 m(x)0 得 0xex ex成立在证明

3、的不等式中，若对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可以借助两个函数的最值进行证明构造函数证明不等式 典例引领 (2016 考全国卷高 )设函数 f(x) ln xx1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)x 1 x；证明当 x (1， )时， 1 ln x(3)设 c 1，证明当 x (0，1) 时， 1 (c 1)x cx.1【解】 (1) 由题设 ， f(x)的定义域为 (0， )， f(x) x1，令 f(x) 0解得 x 1.当 0x 1 时， f(x) 0， f(x)单调递增；当 x 1 时， f(x) 0， f(x)单调递减(2)证明： 由 (1)知 f(x)在 x 1 处

4、取得最大值 ，最大值为f(1) 0.所以当 x 1 时，ln xx 1.1 1x 1故当 x(1， )时， ln xx 1， ln x x 1，即 1 ln x x.(3)证明： 由题设 c 1，设 g(x) 1 (c 1)x cx，则 g(x) c 1 cxln c，令 g(x)0，lnc1ln c解得 x0.ln c当 x x0 时， g(x)0， g(x)单调递增；当x x0 时，g(x)0， g(x)单调递减c 1由 (2)知 1 ln c c，故 0 x0 1.又 g(0) g(1) 0，故当 0x 1 时，g( x) 0.所以当 x (0， 1)时， 1 (c 1)x cx.若证明

5、 f(x)g( x)， x ( a， b)，可以构造函数h(x) f(x) g(x)，如果能证明h(x)在 (a， b)上的最大值小于0，即可证明f(x)g(x)，x (a， b)利用导数证明不等式成立问题的常用方法(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题：若证明 f(x)g(x)，x (a，b)，可以构造函数F(x) f(x) g(x) ，如果 F (x)0 ，则 F(x)在 (a，b)上是减函数，同时若F(a) 0，由减函数的定义可知，x (a， b)时，有 F(x)0 ，即证明了f(x) f(e) f(3)B f(3) f(e)f(2)Cf(3) f(2) f(e)D f(e) f(3)

6、 f(2)解析： 选 D. f(x)的定义域是 (0， ) ，f(x)1 ln xx2 ，令 f(x) 0，得 x e.所以当 x (0， e)时，f(x)0，f(x)单调递增 ，当 x (e， ) 时， f(x)0 ，f( x)单调递减 ，故 x e 时，f(x)maxf(e) 1，而 eD.2若 0x1x2ln x2 ln x1Cx2 ex1 x1e x2ex解析： 选 C令 f( x) x，则 f(x)xex exex( x1).x2x2f(2) ln 2ln 8 ， f(3) ln 3 ln 9，所以 f(e)f(3) f(2)故选2636x2x1B e e ln x2 ln x1D

7、x2ex1x1ex2当 0x1 时， f(x)0 ，即 f(x) 在(0 ，1)上单调递减 ，因为 0x1x21，x2x1ee所以 f(x2) f(x1) ，即x1 ex2，故选 C3设函数f( x) e2x aln x.(1)讨论 f(x)的导函数f(x)零点的个数；2(2)证明：当a 0 时， f(x) 2aaln a.解： (1)f(x)的定义域为 (0， )， f(x) 2e2xax(x0)当 a0 时， f(x) 0， f(x)没有零点；当 a0 时，设 u(x) e2x， v(x) ax，因为 u(x) e2x 在 (0， )上单调递增 ， v(x) ax在 (0， )上单调递增

8、，所以 f(x)在 (0， )上单调递增a 1又 f(a) 0，当 b 满足 0 b 4且 b 4时，f(b) 0，故当 a 0 时， f(x)存在唯一零点(2)证明： 由 (1)，可设 f(x)在 (0， )上的唯一零点为x0，当 x (0，x0 )时，f (x)0；当 x (x0， ) 时， f(x) 0.故 f(x) 在(0，x0)上单调递减 ，在 (x0， )上单调递增 ，所以当 x x0 时，f(x)取得最小值 ，最小值为f(x0)2 x0a由于 2ex00，a22所以 f(x0)2x0 2ax0 alna 2aalna.故当 a 0 时， f(x) 2a aln 2a.x4 (20

9、18 石家庄模拟 )已知函数 f(x)e 3x3a(e 为自然对数的底数，a R)(1)求 f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当 a ln3，且 x0时， ex3x1 3a.ex2x解： (1)由 f(x) ex 3x3a， x R，知 f(x) ex 3，xR .令 f(x) 0，得 x ln 3 ，于是当 x 变化时 ， f(x)， f(x)的变化情况如下表：x( ， ln 3)ln 3(ln 3 ， )f(x)0f(x)3(1 ln 3 a)故 f(x) 的单调递减区间是 ( ， ln 3，单调递增区间是 ln3，)，f(x)在 xln 3 处取得极小值 ，极小值为 f(ln 3)

10、eln 33ln3 3a 3(1ln 3 a)无极大值x3 2(2)证明： 待证不等式等价于e 2x 3ax 1，设 g(x) ex3x2 3ax 1，x 0， 2于是 g(x) ex3x 3a， x 0.3由 (1)及 a ln eln 3 1 知： g(x)的最小值为g(ln3) 3(1 ln 3 a) 0.于是对任意x 0，都有 g(x) 0，所以 g(x)在 (0， )内单调递增3于是当 a ln e ln 3 1 时，对任意 x (0， )，都有 g(x) g(0)而 g(0) 0，从而对任意 x (0， )，g(x)0.即 ex3x2 3ax 1，故 ex3x 1 3a.2x 2

11、x5 (2018 州适应性考试贵)已知函数f(x) xln x ax， a R，函数 f(x)的图象在x 1 处的切线与直线x 2y1 0 垂直(1)求 a 的值和函数f(x) 的单调区间；(2)求证： exf(x)解： (1)由题易知 ， f(x) ln x 1a， x0，且 f(x)的图象在x 1 处的切线的斜率k 2，所以 f (1)ln 1 1 a 2，所以 a 1.所以 f(x) ln x 2，当 xe2 时， f(x)0，当 0xe2 时， f(x)0，因为 g(x) ex1x在 (0， )上单调递增 ，11且 g (1) e220 ，g(2) e1所以 g(x)在 ( 2， 1)

12、上存在唯一的零点t，t1t1 1使得 g(t)e t 0，即 e t (2t1) 当 0xt 时，g(x)t 时， g(x) g(t)0，所以 g(x)在 (0， t)上单调递减 ，在 (t， ) 上单调递增 ，t111所以 x0 时， g(x) g(t)e ln t 2 t ln et 2 t t222 0，1x又 2t0 ，即 e f(x)6已知函数 f(x) aln x b(x 1)，曲线 y f(x)在点 (1 ，f(1)处的切线方程为y2.x(1)求 a， b 的值；(2)当 x0 且 x1 时，求证： f( x)(x 1)ln xx1.b(x 1)ab解： (1)函数 f(x) aln x的导数为 f(x) 2，xxx曲线 yf(x)在点 (1， f(1) 处的切线方程为y 2，可得 f(1) 2b 2， f (1) a b 0，解得 a b 1.