知识讲解复数代数形式的四则运算

1、复数代数形式的四则运算编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。2. 会进行复数乘法和除法运算。3. 掌握共轭复数的简单性质，理解z 、 z 的含义，并能灵活运用。【要点梳理】要点一、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设 z1abi ， z2c di （ a, b, c, dR ），我们规定：z1z2(a bi ) (c di ) ( a c) (b d )iz2z1(c a) (db)i要点诠释：（ 1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多

2、个复数相加（减）的情形（ 2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。2.复数的加法运算律:交换律： z1 +z2=z2+z1结合律 :： (z1+z2)+ z3=z1+(z2+z3)要点二、复数的加减运算的几何意义1. 复数的表示形式：代数形式： z abi （ a, bR ）几何表示：坐标表示：在复平面内以点Z (a, b) 表示复数 z abi （ a,bR ）；向量表示：以原点O 为起点，点 Z (a,b) 为终点的向量 OZ 表示复数 z a bi .要点诠释：复数 z abi一一对应复平面内的点Z (a, b)一一对应平面向量 OZ2复数加、减法的几何意义：12分

3、别对应于向量OP1、OP2，那么以12为两边作平行四边形12如果复数 z、 zOP 、OPOPSP ，对角线OS 表示的向量 OS 就是 z1z2 的和所对应的向量 . 对角线 P2 P1 表示的向量 P2P1 就是两个复数的差 z1 z2所对应的向量 .设复数 z1=a+bi ， z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1 、 OZ2 ，即 OZ1 、OZ2 的坐标形式为 OZ1 =(a， b) ， OZ2=(c， d) 以 OZ1、 OZ2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，则对角线 OZ 对应的向量是 OZ ，由于 OZ=OZ1 +OZ2=(a， b)+( c， d)=(a+c， b+

4、d)，所以 OZ1和 OZ 2 的和就是与复数 (a+c)+( b+d)i对应的向量类似复数加法的几何意义，=( ac)+( bd)i，而向量Z2Z1=1OZ2=(a，b)-(c，d)=( a-c，由于 z1 z2OZb-d) ，所以 OZ1 和 OZ 2的差就是与复数 (ac)+( bd)i 对应的向量要点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：（ 1）利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理（ 2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。要点三、复数的乘除运算1共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互

5、为共轭复数。虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数。通常记复数 z 的共轭复数为 z 。2乘法运算法则：设 z1a bi ， z2cdi （ a, b, c, dR ），我们规定：z1z2(abi )(cdi )(acbd )(bcad )iz1abi(abi )(cdi )acbdbcadz2c di(c di )(c di )c2d2c2d2 i要点诠释：1.两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2 换成 1，并且把实部与虚部分别合并 .两个复数的积仍然是一个复数 .2.在进行复数除法运算时， 通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化

6、 )，化简后写成代数形式。3乘法运算律：(1)交换律： z1(z2z3)=(z 1z2)z3(2) 结合律： z1(z2+z3)=z1 z2+z 1z3(3)分配律： z1(z2+z3)=z1z2+z1 z3要点四、复数运算的一些技巧：1. i 的周期性：如果n N，则有：i 4n1 ， i 4n 1i ， i 4n 21 ， i 4 n 3i （ nN * ）2. (1i )22i3. 共轭复数的性质：两个共轭复数z、 z 的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即 z zx2y2 ，其中 z=x+yi （ x， y R）【典型例题】类型一、复数的加减运算例 1. 计算：（1） (

7、5-6i)+(-2-i)-(3+4i)（ 2）(1 2i) (2 3i)+(3 4i) (4 5i)+ +(1999 2000i) (2000 2001i)【解析】（ 1） (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (5-2-3)+(-6-1-4) i= 11 i（ 2） 解法一：原式 =(12+3 4+1999 2000)+( 2+3 4+5+ 2000+2001)i= 1000+1000i 。解法二：(1 2i) (2 3i)= 1+i，(3 4i) (4 5i)= 1+i，(1999 2000i) (2000 2001i)= 1+i。将上列 1000 个式子累加，得原式 =1000(1+

8、i)= 1000+1000i。【总结升华】 复数的加减法，相当于多项式加减法中的合并同类项的过程。如果根据给出复数求和的特征从局部入手，抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，那么可简化运算。举一反三：【变式】(1)设 z1=3+4i ，z2= 2i，求 z1z2 ,(2) 已知 z1=(3x+y)+(y 4x)i， z2=(4y 2x) (5x+3y)i（ x， y R），求 z1z2，【答案】(1) z 1+z2=(3+4i)+(2) z 1 z1=(3x+y)+(y 2 1)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i4x)i (4y 2x) (5x+3y)i=(3x+y)

9、(4y 2x)+(y 4x)+(5x+3y)i =(5x 3y)+(x+4y)i，类型二、复数的乘除运算例 2 计算： (1) (1 i) 2； (2) (1 2i)(3 4i)(1 2i) 【思路点拨】第 (1) 题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第算顺序计算，也可以结合运算律来计算(2) 题可以按从左到右的运(1)解法一： (1 i) 2 (1 i)(1 i) 1 i i i 2 2i ；解法二： (1 i) 2 1 2i i2 2i.(2) 解法一： (1 2i)(3 4i)(1 2i) (3 4i 6i 8i 2)(1 2i) (11 2i)(1 2i) (1

10、1 4) (22 2)i 15 20i ；解法二： (1 2i)(3 4i)(1 2i) (1 2i)(1 2i)(3 4i) 5(3 4i) 15 20i.【总结升华】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用特别要提醒其中( 2i) 4i 8，而不是 8.举一反三：【变式 1】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】 B z=i(1+2i)=i+2i2= 2+i ，复数 z 所对应的点为（2， 1），故选 B 【高清课堂： 复数代数形式的四则运算401753例题 1】【变式 2】计算：（ 1） i n ( nN )；

11、（）i i2i3i100 ；（ ）i i2i3i10023in4k3【答案】（1） i n1n4k2其中 kN * ；in4k11n4k（ 2） i 4ki 4k 1i 4k 2i 4 k 3i 4k (1 i 2i 3i )0 ，23100100(1001)5050（ 3） i iiii2i1【高清课堂： 复数代数形式的四则运算401753例题 2】【变式 3】计算：（ 1)(18（2） (1i)3(1i )3.i )(1i) 2(1i )2【答案】 (1) (1 i )8(1i )2 4(2i )424 i 416（2） (1i )3(1i )32i(1 i )2i (1i )1 .(1i

12、) 2(1i )22i2i例 3. (2015 新课标 )设复数 z 满足 1zi ，则 | z |1z（A） 1（ B）2（C） 3（D） 2【答案】 A【思路点拨】在复数的乘除法中，要时时注意i 21 ， 不能出错。【解析】 1zi1 z 1+z=i zi (1+i)z=i1i1(i 1)(1 i )2izi2i12 |z|=1故选 A【总结升华】1 先写成分式形式2 然后分母实数化即可运算.( 一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)3 化简成代数形式就得结果举一反三：【变式 1】复数3i 等于（）1iA 1+2iB1 2iC 2+iD 2 i3i( 3i ) ( 1 i )3 2 2 ii

13、42 i【解析】i(1i)(1 i)1i22i ，故选 C12【变式 2】 计算：（ 1） (i1)3（ 2）13ii3 - i【答案】（ 1） (i1)3(i1)3(2i )38i 38i .ii（2）13i13i1i ，3 - i-i (13i )-i类型三 . 复数代数形式的四则运算例 4. 计算下列各式：（1） (14i)(1i)24i ；（ 2） (i2)(i 1)。34i(1i)(i1)i【解析】（1） (14i)(1i)24i(14)( 41)i24i7i(7 i)(34i)34i34i34i(34i)(34i)(214)(328)i2525i1i 。2525（ 2） (i2)(

14、i1)(21)(12)ii13i(13i)(2i)(1i)(i1) i11)(11)i2i( 2i)(2i)(23)(61)i55i1i 。55【总结升华】题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号，再算乘除，最后算加减举一反三：【变式 1】计算：（1） (12i )(34i )(2i )（ 2） ii 2i 3i 100（3） (1i )3(1i )3；(1i )2(1i) 2【答案】（ 1） (12i )(34i)(2i )(11 2i)(2i)247i（ 2） ii 2i3i 100i12100i 5050(i 4 )1262 i 2i 21（ 3）(1i )3

15、(1i) 3(1i ) 2(1i)(1i )2 (1i )2i (1i )2i (1 i)2i 2(1i )2(1i) 22i (2i )4i14i1i623 i ；【变式 2】计算：1i32 i【答案】方法一：(1 i) 26(23 i)(32 i)62i 3i6原式(i 61 i 。2(3)22)25方法二（技巧解法） ：(1 i) 2623 i)i(23i)i原式(i61i 。2(32 i)i23 i考点 4 共轭复数的有关计算【高清课堂： 数系的扩充和复数的概念401749例题 2】例 5. x, yR ，复数 (3x2 y) 5xi 与复数 ( y2)i18 的共轭复数相等，求x，

16、y.【思路点拨】先将 ( y 2) i18 的共轭复数要正确写出，再由复数相等的充要条件可得方程组，解之即可求结果，【解析】 ( y2)i1818(2 y)i18 - ( y - 2)i(3x2 y)5xi3x2 y18x-22 - y 5xy12【总结升华】以z、 z 的概念与性质为基础，结合复数代数形式的四则运算，解决有关应用问题举一反三：【变式 1】(2014上海 ) 若复数 z=1+2 i，其中 i 是虚数单位，则1( z ) z=_z【答案】 6复数 z 12i，其中 i 是虚数单位，则 z1z 1 2i11 2iz12i (12i)(1 2i) 1 1 4i21 2 4 6故答案为

17、： 6【变式 2】设 z 的共轭复数是z ， zz4, z z8，则 z .z【答案】设 za bi （ a, bR ），则 za bi ， zz 2a 4 ，且 z za2b28， a2 ， b2 ，当 a2 ， b2 时， z22ii ；z22i当 a2 ， b2 时， z22ii .z22i故 zi .z类型四例.复数的几何意义6.如图所示，已知复平面内的正方形ABCD的三个顶点A（1， 2）， B（ 2， 1），C（ 1， 2），求 D 点对应的复数。【思路点拨】 根据点 D 的位置，利用解析几何的方法确定D 对应的复数的实部与虚部。【解析】解法一：设D（ x， y），则 ADODOA

18、(x, y)(1,2)( x1, y2) 。BCOCOB(1,2)( 2,1)(1, 3) 。因为 AD BC，（ x 1， y 2） =（ 1， 3），得x2y。1 D 点对应的复数为 2 i。解法二： A， C关于原点对称，O 为正方形 ABCD的中心。设 D（x， y），则 B， D 关于 O 点对称，即2x0x21y0，得。y1 D 点对应的复数为 2 i。【总结升华】在平面几何图形中，结合向量的运算法则的几何意义，以复数加减法的几何意义为媒介，实现量之间的转化，进而求相关问题举一反三：【变式 1】若在复平面上的ABCD中， AC 对应的复数为6+8i， BD 对应的复数为4+6i，则 DA 对应