全国各地中考数学压轴题汇编五

1、湖北省武汉为明实验学校2012年全国各地中考数学压轴题汇编五（含详细答案）51.【2012泰州】28（2012江苏泰州12分） 如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点a，与反比例函数的图象相交于b（1，5）、c（，d）两点点p（m，n）是一次函数的图象上的动点（1）求k、b的值；（2）设，过点p作x轴的平行线与函数的图象相交于点d试问pad的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围【答案】解：（1）将点b 的坐标代入，得 ，解得。 反比例函数解析式为。 将点c（，

2、d）的坐标代入，得。c（，2）。 一次函数的图象经过b（1，5）、c（，2）两点， ，解得。 dpx轴，且点d在的图象上， ，即d（）。 pad的面积为。 s关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。 又n=，得，而。 当时，即p（）时，pad的面积s最大，为。 （3）由已知，p（）。 易知mn，即，即。 若，则。 由题设，解出不等式组的解为。 若，则。 由题设，解出不等式组的解为。 综上所述，数a的取值范围为，。【考点】反比例函数和一次函数综合问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，二次函数的性质，不等式组的应用。【分析】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，由b 的坐标求得，从而得到

3、；由点c在上求得，即得点c的坐标；由点b、c在上，得方程组，解出即可求得k、b的值。 （2）求出pad的面积s关于n的二次函数（也可求出关于m），应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点p的坐标。（3）由mn得到。分和两种情况求解。52.【2012岳阳】26我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为c1，把锅盖纵断面的抛物线记为c2（1）求c1和c2的解析式；（2）如图，过点b作直线be：y=

4、x1交c1于点e（2，），连接oe、bc，在x轴上求一点p，使以点p、b、c为顶点的pbc与boe相似，求出p点的坐标；（3）如果（2）中的直线be保持不变，抛物线c1或c2上是否存在一点q，使得ebq的面积最大？若存在，求出q的坐标和ebq面积的最大值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。1052629专题：压轴题；分类讨论。分析：（1）已知a、b、c、d四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式（2）根据直线be：y=x1知，该直线必过（0，1）点，那么ebo=cbo，若以点p、b、c为顶点的pbc与boe相似，那么夹这组对应角的对应边必成比例，先求出bc、bo、be的长，然后分

5、情况根据线段间的比例关系求出bp的长，进而得到op的长，即可确定p点坐标（3）ebq中，be长为定值，若以be为底，当ebq的面积最大时，q到直线be的距离最大；由于点q可能在抛物线c1或c2上，因此两种情况都要解一下，最后通过比较得到能使ebq面积最大的q点首先作直线lbe，分别令直线l与抛物线c1、c2有且仅有一个交点，那么符合条件的q点必在这两个交点中，先求出这两个交点分别到直线be的距离，距离大者符合条件，由此可得到q点坐标和ebq的面积最大值解答：解：（1）由于抛物线c1、c2都过点a（3，0）、b（3，0），可设它们的解析式为：y=a（x3）（x+3）；抛物线c1还经过d（0，3）

6、，则有：3=a（03）（0+3），a=即：抛物线c1：y=x23（3x3）；抛物线c2还经过a（0，1），则有：1=a（03）（0+3），a=即：抛物线c2：y=x2+1（3x3）（2）由于直线be：y=x1必过（0，1），所以cbo=ebo（tancbo=tanebo=）；由e点坐标可知：tanaoe，即aoecbo，所以它们的补角eobcbx；若以点p、b、c为顶点的pbc与boe相似，只需考虑两种情况：cbp1=ebo，且ob：be=bp1：bc，即：3：=bp1：，得：bp1=，op1=obbp1=；p1（，0）；p2bc=ebo，且bc：bp2=ob：be，即：bp2=3：，得：bp

7、2=，op2=bp2ob=；p2（，0）综上，符合条件的p点有：p1（，0）、p2（，0）（3）如图，作直线l直线be，设直线l：y=x+b；当直线l与抛物线c1只有一个交点时：x+b=x23，即：x2x（3b+9）=0该交点q2（，）；q2到直线 be：xy1=0 的距离：=；当直线l与抛物线c2只有一个交点时：x+b=x2+1，即：x2+3x+9b9=0该交点q1（，）；q1到直线 be：xy1=0 的距离：=；符合条件的q点为q1（，）；ebq的最大面积：smax=be=点评：考查了二次函数综合题该题的难度和计算量都比较大，涉及了函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、图形面积的解法等

8、重点知识；解答（2）题时，应注意分不同的对应边来进行讨论，以免漏解（3）的难度较大，点到直线的距离公式【点（x0，y0）到直线（ax+by+c=0）的距离为：d=】是需要记住的内容另外，题目在设计时结合了一定的生活元素，形式较为新颖53.【2012深圳】23. （2012广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线：y=2xb (b0)的位置随b的不同取值而变化 (1)已知m的圆心坐标为(4，2)，半径为2 当b=时，直线：y=2xb (b0)经过圆心m： 当b=时，直线：y=2xb(b0)与om相切： (2)若把m换成矩形abcd，其三个顶点坐标分别为：a(2，0)、b（6，0）、c(6，2

9、). 设直线扫过矩形abcd的面积为s，当b由小到大变化时，请求出s与b的函数关系式，【答案】解：（1）10；。（2）由a(2，0)、b（6，0）、c(6，2)，根据矩形的性质，得d（2，2）。如图，当直线经过a(2，0)时，b=4；当直线经过d（2，2）时，b=6；当直线经过b（6，0）时，b=12；当直线经过c(6，2)时，b=14。当0b4时，直线扫过矩形abcd的面积s为0。当4b6时，直线扫过矩形abcd的面积s为efa的面积（如图1），在 y=2xb中，令x=2，得y=4b，则e（2，4b），令y=0，即2xb=0，解得x=，则f（，0）。af=，ae=4b。s=。当6b12时，直

10、线扫过矩形abcd的面积s为直角梯形dhga的面积（如图2），在 y=2xb中，令y=0，得x=，则g（，0），令y=2，即2xb=2，解得x=，则h（，2）。dh=，ag=。ad=2s=。当12b14时，直线扫过矩形abcd的面积s为五边形dmnba的面积=矩形abcd的面积cmn的面积（如图2）在 y=2xb中，令y=2，即2xb=2，解得x=，则m（，0），令x=6，得y=12b，则n（6，12b）。mc=，nc=14b。s=。当b14时，直线扫过矩形abcd的面积s为矩形abcd的面积，面积为民8。综上所述。s与b的函数关系式为：。【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系

11、数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。【分析】（1）直线y=2xb (b0)经过圆心m(4，2)， 2=24b，解得b=10。如图，作点m垂直于直线y=2xb于点p，过点p作phx轴，过点m作mhph，二者交于点h。设直线y=2xb与x，y轴分别交于点a，b。 则由oabhmp，得。 可设直线mp的解析式为。 由m(4，2)，得，解得。直线mp的解析式为。 联立y=2xb和，解得。 p（）。 由pm=2，勾股定理得，化简得。 解得。（2）求出直线经过点a、b、c、d四点时b的值，从而分0b4，4b6，6b12，12b14，b14五种情况分别

12、讨论即可。54.【2012深圳】22（2012广东深圳9分）如图，已知abc的三个顶点坐标分别为a(4，0)、b(1，0)、c(2，6)(1)求经过a、b、c三点的抛物线解析式；(2)设直线bc交y轴于点e，连接ae，求证：ae=ce;(3)设抛物线与y轴交于点d，连接ad交bc于点f，试问以a、b、f，为顶点的三角形与abc相似吗？ 请说明理由【答案】解：（1）抛物线经过a(4，0)、b(1，0)，设函数解析式为：y=a（x4）（x1）。又由抛物线经过c（2，6），6=a（24）（21），解得： a=1。 经过a、b、c三点的抛物线解析式为：y=（x4）（x1），即y=x23x4。（2）证明

13、：设直线bc的函数解析式为y=kx+b，由题意得： ，解得：。直线bc的解析式为y=2x+2点e的坐标为（0，2）。 ae=ce。（3）相似。理由如下：设直线ad的解析式为y=k1x+b1，则 ，解得：。直线ad的解析式为y=x+4。联立直线ad与直线bc的函数解析式可得：，解得：。点f的坐标为（ ）。则。又ab=5，。又abf=cba，abfcba。以a、b、f为顶点的三角形与abc相似。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定。【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。（2）求出直线bc的函数解析式，从而得出点e的坐标，然后分

14、别求出ae及ce的长度即可证明出结论。（3）求出ad的函数解析式，然后结合直线bc的解析式可得出点f的坐标，根据勾股定理分别求出bf，bc 得出；由题意得abf=cba， 即可作出判断。55.【2012云南】23如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点p，交y轴于点a抛物线y=x2+bx+c的图象过点e（1，0），并与直线相交于a、b两点（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点a作acab交x轴于点c，求点c的坐标；（3）除点c外，在坐标轴上是否存在点m，使得mab是直角三角形？若存在，请求出点m的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。1052629分析：（1）首先求出

15、a点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用相似三角形（rtocartopa）比例线段之间的关系，求出线段oc的长度，从而得到c点的坐标，如题图所示；（3）存在所求的m点，在x轴上有3个，y轴上有2个，注意不要遗漏求点m坐标的过程并不复杂，但要充分利用相似三角形比例线段之间的关系解答：解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，a（0，2），抛物线y=x2+bx+c的图象过点a（0，2），e（1，0），解得抛物线的解析式为：y=x2+x+2 （2）直线y=x+2分别交x轴、y轴于点p、点a，p（6，0），a（0，2），op=6，oa=2acab，oaop，rtocart

16、opa，oc=，又c点在x轴负半轴上，点c的坐标为c（，0）（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于a、b两点，令x2+x+2=x+2，解得x1=0，x2=，b（，）如答图所示，过点b作bdx轴于点d，则d（，0），bd=，dp=6=点m在坐标轴上，且mab是直角三角形，有以下几种情况：当点m在x轴上，且bmab，如答图所示设m（m，0），则md=mbmab，bdx轴，即，解得m=，此时m点坐标为（，0）；当点m在x轴上，且bmam，如答图所示设m（m，0），则md=mbmam，易知rtaomrtmdb，即，化简得：m2m+=0，解得：x1=，x2=，此时m点坐标为（，0），（，0）；

17、（说明：此时的m点相当于以ab为直径的圆与x轴的两个交点）当点m在y轴上，且bmam，如答图所示此时m点坐标为（0，）；当点m在y轴上，且bmab，如答图所示设m（0，m），则am=2=，bm=，mm=m易知rtabmrtmbm，即，解得m=，此时m点坐标为（0，）综上所述，除点c外，在坐标轴上存在点m，使得mab是直角三角形符合条件的点m有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质等重要知识点难点在于第（3）问，所求的m点有5个（x轴上有3个，y轴上有2

18、个），需要分情况讨论，不要遗漏56.【2012海南】24. （2012海南省i13分）如图，顶点为p（4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点a在该图象上，oa交其对称轴于点m，点m、n关于点p对称，连接an、on（1）求该二次函数的关系式.（2）若点a的坐标是（6，3），求ano的面积.（3）当点a在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：证明：anm=onmano能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点a的坐标，如果不能，请说明理由.【答案】解：（1）二次函数图象的顶点为p（4，4），设二次函数的关系式为。 又二次函数图象经过原点（0，0），解得。 二次函数的关系式为，

19、即。 （2）设直线oa的解析式为，将a（6，3）代入得，解得。 直线oa的解析式为。 把代入得。m（4，2）。又点m、n关于点p对称，n（4，6），mn=4。 （3）证明：过点a作ah于点h，与x轴交于点d。则 设a（）,则直线oa的解析式为。则m（），n（），h（）。od=4，nd=，ha=，nh=。anm=onm。不能。理由如下：分三种情况讨论：情况1，若ona是直角，由，得anm=onm=450，ahn是等腰直角三角形。ha=nh，即。整理，得，解得。此时，点a与点p重合。故此时不存在点a，使ona是直角。情况2，若aon是直角，则。 ，。整理，得，解得，。此时，故点a与原点或与点p重合

20、。故此时不存在点a，使aon是直角。情况3，若nao是直角，则amndmodon，。od=4，md=，nd=，。整理，得，解得。此时，点a与点p重合。故此时不存在点a，使ona是直角。综上所述，当点a在对称轴右侧的二次函数图象上运动时，ano不能成为直角三角形。57.【2012柳州】26如图，在abc中，ab=2，ac=bc= 5 （1）以ab所在的直线为x轴，ab的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出a、b、c三点的坐标；（2）求过a、b、c三点且以c为顶点的抛物线的解析式；（3）若d为抛物线上的一动点，当d点坐标为何值时，sabd=sabc；（4）如果将（2）中的抛物线向右平

21、移，且与x轴交于点ab，与y轴交于点c，当平移多少个单位时，点c同时在以ab为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料） 附：阅读材料一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解如解方程：y4-4y2+3=0解：令y2=x（x0），则原方程变为x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3当x1=1时，即y2=1，y1=1，y2=-1当x2=3，即y2=3，y3= 3 ，y4=- 3 所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据y轴

22、是ab的垂直平分线，则可以求得oa，ob的长度，在直角oac中，利用勾股定理求得oc的长度，则a、b、c的坐标即可求解；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）首先求得abc的面积，根据sabd= sabc，以及三角形的面积公式，即可求得d的纵坐标，把d的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0c1，可以写出平移以后的函数解析式，当点c同时在以ab为直径的圆上时有：oc2=oaob，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值【解答】解：（1）ab的垂直平分线为y轴，oa=ob=ab=2=1，a的坐标是（-1，0），b的坐标是（1，0）在直角oa

23、c中，则c的坐标是：（0，2）；（2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b，根据题意得： ，解得： ，则抛物线的解析式是：；（3）sabc=aboc=22=2，sabd=sabc=1设d的纵坐标是m，则ab|m|=1，则m=1当m=1时，-2x2+2=1，解得：x=，当m=-1时，-2x2+2=-1，解得：x= ，则d的坐标是：（，1）或（- ，1）或（，-1），或（- ，-1）（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0c1，oa=1-c，ob=1+c平移以后的抛物线的解析式是：y=-2（x-c）2+b令x=0，解得y=-2c2+2即oc= -2c2+2当点c同时在以ab为直径的圆上时有：oc2=

24、oaob，则（-2c2+2）2=（1-c）（1+c），即（4c2-3）（c2-1）=0，解得：c= ，（舍去），1，（舍去）故平移 或1个单位长度【点评】本题考查了勾股定理，待定系数法求二次函数的解析式，以及图象的平移，正确理解：当点c同时在以ab为直径的圆上时有：oc2=oaob，是解题的关键58.【2012广元】24. （2012四川广元12分）如图，在矩形abco中，ao=3，tanacb=，以o为坐标原点，oc为x轴，oa为y轴建立平面直角坐标系。设d，e分别是线段ac，oc上的动点，它们同时出发，点d以每秒3个单位的速度从点a向点c运动，点e以每秒1个单位的速度从点c向点o运动，设运

25、动时间为t秒。（1）求直线ac的解析式；（2）用含t的代数式表示点d的坐标；（3）当t为何值时，ode为直角三角形？（4）在什么条件下，以rtode的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式。【答案】解：（1）根据题意，得co=ab=bctanacb=4，a（0，3）、b（4，3）、c（4，0）。设直线ac的解析式为：y=kx+3，代入c点坐标，得：4k+3=0，k=。直线ac：y=x+3。（2）分别作dfao，dhco，垂足分别为f，h，则有adfdchaco。ad：dc：ac=af：dh：ao=fd：hc：oc，而ad=3t（其中0t），oc=

26、ab=4，ac=5，fd=，af=，dh=，hc=。d（，）。（3）ce= t，e（t，0），oe=oc-ce=4- t，he=|ch-ce|=，则od2=dh2+oh2=，de2=dh2+he2=。当ode为直角三角形时，有od2+de2=oe2，或od2+oe2=de2，或de2+oe2=od2，即，或，或，上述三个方程在0t内的所有实数解为。（4）当dooe，及deoe时，即和时，以rtode的三个顶点不确定对称轴平行于y轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于y轴的抛物线。d（，），e（4-t，0）当时，d（，），e（3，0）。抛物线过o（0，0），设所求抛物线为，将点d，

27、e坐标代入，得，解得。所求抛物线为。59.【2012吉林】26.问题情境 如图，在轴上有两点,（）.分别过点，点作轴的垂线，交抛物线于点、点.直线交直线于点，直线交直线于点,点、点的纵坐标分别记为、.特例探究填空：当,时，=_,=_.当,时，=_,=_.归纳证明对任意,（）,猜想与的大小关系，并证明你的猜想拓展应用.（1） 若将“抛物线”改为“抛物线”,其它条件不变，请直接写出与的大小关系.（2） 连接，当时，直接写出和的关系及四边形的形状答案 特例探究；.归纳证明 猜想.证明（略）拓展应用(1).(2)四边形是平行四边形考点 一次函数、二次函数综合运用，函数图象上的点与函数解析式的关系，平行

28、四边形的判定.解析 特例探究 当,时，所以直线的解析式为：；直线的解析式为：；此时解，得.解，得.所以，此时 当,时，所以直线的解析式为：；直线的解析式为：；此时解，得.解，得. 所以，此时归纳证明 猜想：对任意,（）,都有：. 证明：对任意,（）时，所以直线的解析式为：；直线的解析式为：；此时解，得.解，得. 所以，此时.拓展应用(1)若将“抛物线”改为“抛物线”,其它条件不变，仍然有：. 此时，所以直线的解析式为：；直线的解析式为：；此时解，得.解，得.60.【2012宜昌】24如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于b，a两点，c为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点a开始沿直线ba向上移动，作等边cde，点d和点e都在x轴上，以点c为顶点的抛物线y=a（xm）2+n经过点em与x轴、直线ab都相切，其半径为3（1）a（1）求点a的坐标和abo的度数；（2）当点c与点a重合时，求a的值；（3）点c移动多少秒时，等边cde的边ce第一次与m相切？考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题；压轴题；动点型；数形结合。分析：（1）已知直线ab的解析式，令解析式的x=0，能得到a点坐标；令y=0，能得到b点坐标；在rtoab中，知道oa