高考中的“立体几何初步

1、高考中的“立体几何初步（二）空间几何体”试题汇编大全一、选择题：1.（2007福建理)顶点在同一球面上的正四棱柱abcdabcd中，ab1，aa，则a、c两点间的球面距离为（ b ）2020正视图20侧视图101020俯视图a b c d 2.(2007海南、宁夏文、理)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（b）3(2007海南、宁夏文)已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，则球的体积与三棱锥体积之比是（d）4(2007海南、宁夏理)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长

2、相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则（b）5（2007江西文）四面体abcd的外接球球心在cd上，且cd2，ab，在外接球面上两点a、b间的球面距离是（ ）a b c d6（2007江西理）如图，正方体ac1的棱长为1，过点a作平面a1bd的垂线，垂足为点h则以下命题中，错误的命题是（ d ） a点h是a1bd的垂心 bah垂直平面cb1d1 cah的延长线经过点c1 d直线ah和bb1所成角为457. （2007全国文、理）如图，正四棱柱abcd-a1b1c1d1中，aa1=2ab，则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为（ ）（a） （b） （

3、c） （d）8（2007全国理）已知正三棱柱abc-a1b1c1的侧棱长与底面边长相等，则ab1与侧面acc1a1所成角的正弦等于（ a ）(a)(b) (c) (d) 9.（2007全国文）已知正三棱锥的侧棱长为底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ a ） (a)(b) (c) (d) 10（2007山东文、理）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ d ）正方形圆锥三棱台正四棱锥abcd11（2007陕西文）rtabc的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面abc的距离是（ ）（a）5（b）6（c）10（d）1212.（2007陕西理

4、）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）（a） (b) (c) (d) 13.（2007四川文、理）设球o的半径是1，a、b、c是球面上三点，已知a到b、c两点的球面距离都是，且二面角b-oa-c的大小是，则从a点沿球面经b、c两点再回到a点的最短距离是（ c ）(a) (b) (c) (d)二、填空题：1.(2007安徽理)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）.矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都

5、是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.2.（2007湖南文）棱长为1的正方形的8个顶点都在球o的表面上，则球o的表面积是 ；设分别是该正方形的棱的中点，则直线被球o截得的线段长为 .3.（2007江苏）正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是.4（2007辽宁文、理）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 5.（2007全国文）正四棱锥s-abcd的底面边长和各测棱长都为，点s、a、b、c、d都在同一个球面上，则该球的体积为 6.（2007全国理）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2

6、,则该三角形的斜边长为 .a7.（2007全国文、理）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.8.（2007上海文）如图，在直三棱柱中， ，则异面直线与所成角的 大小是 （结果用反三角函数值表示）9.（2007四川文、理）如图，在正三棱柱abc-a1b1c1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则bc1与侧面acc1a1所成的角是 .10.（2007天津文、理）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为 三、解答题：1( 2007广东文)（本小题满分12分）已知某几何体的俯视图是如

7、图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形 (1)求该儿何体的体积v； (2)求该几何体的侧面积s【解析】画出直观图并就该图作必要的说明. 3分 (2)7分 (3)12分2.(2007广东理)（本小题满分14分）如图6所示，等腰abc的底边ab=6,高cd=3，点b是线段bd上异于点b、d的动点.点f在bc边上，且efab.现沿ef将bef折起到pef的位置，使peae.记bex，v(x)表示四棱锥p-acfe的体积.（1）求v(x)的表达式；（2）当x为何值时，v(x)取得最大值？（3）当v(x)取得最大

8、值时，求异面直线ac与pf所成角的余弦值2. 解：(1)已知efab,那么翻折后，显然有peef,又peae,从而pe面abc,即pe为四棱锥的高。四棱锥的底面积s=-而bef与bdc相似，那么=则s=-=（1-）63=9（1-）故四棱锥的体积v(x)=sh=9（1-）=3（1-）(0x3)(2) v(x)= 3-x2(0x0,v(x)单调递增；x(6，3)时v(x)0,v(x)单调递减；因此x=6时， v(x)取得最大值v(x)max= v(6)=12 (3) 3(2007海南、宁夏文)（本小题满分12分）如图，为空间四点在中，等边三角形以为轴运动（）当平面平面时，求；（）当转动时，是否总有

9、？证明你的结论3解：（）取的中点，连结，因为是等边三角形，所以当平面平面时，因为平面平面，所以平面，可知由已知可得，在中，（）当以为轴转动时，总有证明：（）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，即（）当不在平面内时，由（）知又因，所以又为相交直线，所以平面，由平面，得综上所述，总有4（2007江苏）（本小题满分12分）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，（1）求证：四点共面；（4分）（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：面；（4分）（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。（4分）4.解：（1）证明：在dd上取一点n使得dn=1，连接cn，en，显然四边形cfdn是平行

10、四边形，所以df/cn，同理四边形dnea是平行四边形，所以en/ad，且en=ad，又bc/ad，且ad=bc，所以en/bc，en=bc，所以四边形cneb是平行四边形，所以cn/be，所以df/be，所以四点共面。（2）因为所以mbg，所以，即，所以mb=1，因为ae=1，所以四边形abme是矩形，所以embb又平面abba平面bccb，且em在平面abba内，所以面（3）面，所以bf，mh，所以mhe就是截面和面所成锐二面角的平面角，emh=，所以，me=ab=3，mhb，所以3：mh=bf：1，bf=，所以mh=，所以=5.（2007辽宁文、理）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中

11、，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为（i）证明：；（ii）求的长，并求点到平面的距离5.本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力。满分12分。（）证明：连结cd，三棱柱abc-a1b1c1是直三棱柱。cc1平面abc，cd为c1d在平面abc内的射影，abc中，ac=bc，d为ab中点。abcd，abc1d，a1b1ab，a1b1c1d。（）解法一：过点a作ce的平行线，交ed的延长线于f，连结mf.d、e分别为ab、bc的中点。deac。又afce，ceac，afde。ma平面abc，af为mf在平面abc内的射影。mfde，mfa为二面角m-de-a

12、的平面角，mfa30。在rtmaf中，af,am=.作acmf，垂足为g。mfde,afde,de平面amf,平面mde平面amf.ag平面mde在rtgaf中，gfa30，af=,ag=,即a到平面mde的距离为。cade,ca平面mde,c到平面mde的距离与a到平面mde的距离相等，为。解法二：过点a作ce的平行线，交ed的延长线于f，连结mf，d、e分别为ab、cb的中点，deac,又afce,ceac,afde,ma平面abc,af为mf在平面abc内的射影，mfde,mfa为二面角m-de-a的平面角，mfa30。在rtmaf中，af=bc=,am=.8分设c到平面mde的距离为h

13、。,，h=，即c到平面mde的距离为。12分6（2007上海文）（本题满分12分）在正四棱锥中，直线与平面所成的角为，求正四棱锥的体积6解：作平面，垂足为连接，是 正方形的中心，是直线与平面所成的角 ， ， 7.（2007天津文）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，是的中点（）求和平面所成的角的大小；（）证明平面；（）求二面角的大小7.本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力满分12分（）解：在四棱锥中，因底面，平面，故又，从而平面故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角在中，故所以和平面所成的角的大小为（）证明：在四棱锥中

14、，因底面，平面，故由条件，面又面，由，可得是的中点，综上得平面（）解：过点作，垂足为，连结由（）知，平面，在平面内的射影是，则因此是二面角的平面角由已知，可得设，可得，在中，则在中，所以二面角的大小8.（2007天津理）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，是的中点（）证明；（）证明平面；（）求二面角的大小8本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力满分12分（）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故，平面而平面，（）证明：由，可得是的中点，由（）知，且，所以平面而平面，底面在底面内的射影是，又，综上得平面（）解法一：过点作，垂足为，

15、连结则（）知，平面，在平面内的射影是，则因此是二面角的平面角由已知，得设，可得在中，则在中，所以二面角的大小是解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为过点作，垂足为，故平面过点作，垂足为，连结，故因此是二面角的平面角由已知，可得，设，可得，于是，在中，所以二面角的大小是9.（2007浙江文）(本题14分)在如图所示的几何体中，ea平面abc，db平面abc，acbc，且ac=bc=bd=2ae，m是ab的中点 (i)求证：cm em： ()求de与平面emc所成角的正切值9本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理能力满分14分 方法一： (i)证

16、明：因为ac=bc，m是ab的中点， 所以cmab 又ea 平面abc， 所以cmem()解：过点m作mh平面cde，垂足是h，连结ch并延长交ed于点f，连结mf、md， fcm是直线cm和平面cde所成的角 因为mh平面cde， 所以mhed， 又因为cm平面edm， 所以cmed， 则ed平面cmf，因此edmf设eaa，bdbcac2 a，在直角梯形abde中，ab2a，m是ab的中点，所以de3a，em，md，得emd是直角三角形，其中emd90所以mf 在rtcmf中，tanfcm1，所以fcm=45，故cm与平面cde所成的角是45选校网 高考频

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